Somma dei quadrati dei numeri Naturali
Ciao,
con questo post intendo soltando condividere per chi fosse interessato la risposta a come passare da S=1+4+9+16+...n^2 a S=(n*(n+1)*(2*n+1))/6.
Si trova al link
http://mathforum.org/library/drmath/view/56920.html
Notevole, almeno per me, ed imprevedibile, il punto di partenza per ritrovare la formula (somma di quadrati),
l'espressione (relazione cubica):= (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
Forse qualcuno di voi conosce altre vie per raggiungere lo stesso risultato, sarebbe interessante confrontarle.
ciao
PS un link interno a quello indicato, verrifica la formula trovata, cioé la prova per induzione. Avevo chiesto aiuto presso altro Forum, ma la materia era stata giudicata di scarsa complessità e importanza. Uno sguardo alla risposta ottenuta dovrebbe far cambiare idea in proposito. Insomma, non misembra poi così "banale"!
con questo post intendo soltando condividere per chi fosse interessato la risposta a come passare da S=1+4+9+16+...n^2 a S=(n*(n+1)*(2*n+1))/6.
Si trova al link
http://mathforum.org/library/drmath/view/56920.html
Notevole, almeno per me, ed imprevedibile, il punto di partenza per ritrovare la formula (somma di quadrati),
l'espressione (relazione cubica):= (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
Forse qualcuno di voi conosce altre vie per raggiungere lo stesso risultato, sarebbe interessante confrontarle.
ciao
PS un link interno a quello indicato, verrifica la formula trovata, cioé la prova per induzione. Avevo chiesto aiuto presso altro Forum, ma la materia era stata giudicata di scarsa complessità e importanza. Uno sguardo alla risposta ottenuta dovrebbe far cambiare idea in proposito. Insomma, non misembra poi così "banale"!
Risposte
"Sergio":
[quote="Fioravante Patrone"]- so che per le somme dei primi $n$ numeri c'è una formula che me la esprime con un polinomio di secondo grado
E se non lo sapessi?
[/quote]'gnurant'
Tra i tanti modi che ho visto per dimostrare quella formula, eccone uno: è ben noto che
[tex]$\sum_{n=1}^N x^n=\frac{x^{N+1}-1}{x-1}$[/tex].
Applicando l'"operatore" [tex]$\left(x \frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)^2$[/tex] a entrambi i membri e ponendo [tex]$x=1$[/tex], sulla sinistra c'è la somma dei primi [tex]$N$[/tex] quadrati, e sulla destra c'è la formula che cerchiamo:
[tex]$\sum_{n=1}^N n^2=\left(x \frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)^2 \left.\left\{\frac{x^{N+1}-1}{x-1}\right\}\right|_{x=1}$[/tex].
Dopo un pò di conti, scopri che
[tex]$\sum_{n=1}^N n^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$[/tex].
[tex]$\sum_{n=1}^N x^n=\frac{x^{N+1}-1}{x-1}$[/tex].
Applicando l'"operatore" [tex]$\left(x \frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)^2$[/tex] a entrambi i membri e ponendo [tex]$x=1$[/tex], sulla sinistra c'è la somma dei primi [tex]$N$[/tex] quadrati, e sulla destra c'è la formula che cerchiamo:
[tex]$\sum_{n=1}^N n^2=\left(x \frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)^2 \left.\left\{\frac{x^{N+1}-1}{x-1}\right\}\right|_{x=1}$[/tex].
Dopo un pò di conti, scopri che
[tex]$\sum_{n=1}^N n^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$[/tex].
"MrHope":
.....Notevole, almeno per me, ed imprevedibile, il punto di partenza per ritrovare la formula (somma di quadrati),
l'espressione (relazione cubica):= (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
Forse qualcuno di voi conosce altre vie per raggiungere lo stesso risultato, sarebbe interessante confrontarle.
Sono ricordi di almeno 40 anni fa, allora avevamo studiato il "Calcolo alle Diferenze" con le Funzioni Fattoriali fino alla Funzione $Gamma$ con la formula di Gregory-Newton e la regola di Leibniz per arrivare alle Proprietà della Sommazione per somme definite ed il teorema fondamentale per il calcolo delle somme, che assomigliava ad un calcolo integrale definito tra estremi. Non ricordo altro, ma mi pare che quella teoria permetteva di calcolare somme non solo per i quadrati dei naturali e non solo per quadrati di numeri. Faccio una ricerca nel mio archivio (il soffitto dove tengo la cassaforte in cui conservo anche un becco di un pappagallo che mi è morto nel '23!) e, se positiva, mi faccio vivo.
"WiZaRd":
Salve MrHope.
Innanzitutto ti informo che ho richiesto lo spostamento di questo topic in una sezione più appropriata, ergo, quando sarà effettutato lo spostamento, dovresti trovare questo topic in Superiori.
In secondo luogo ti chiedo di scrivere le formule utilizzando i compilatori di formule: puoi trovare le istruzioni nei topic segnati come Importante nella sezione "Il nostro Forum", oppure puoi cliccare il tasto "Formule" che compare a sinistra quando clicchi su "Rispondi" e verrai guidato nella composizione delle formule stesse.
Quanto al problema, io non capisco il problema qual è: la domanda qual è?
Il problema é di trovare una formula chiusa per la sommatoria dei quadrati dei numeri naturali da 0 a n
La formula risolutiva é nota e tabulata in qualche vecchio manuale, o prontuario di formule (nel mio caso Handbook of Chemistry and Physics, XXX1 ed, a cura di Charles D. Hodgman, M.S, Cleveland1949, p. 269). Non si trova invece, almeno é la mia esperienza, il procedimento per pervenire a questa formula, e la verifica induttiva del suo valore generale. Mi pareva pertanto quanto meno interessante l'aver trovato dopo mesi di ricerche vane il sito che offre la soluzione e la prova. Il mio computer per qualche ragione di sicurezza non mi permette di far uso del vostro plug-in per l'inseriemnto delle formule, chiedo venia se allora la riporto come posso: {S(i^2)=(1/6)*n*(n+1)*(2*n+1), i, 0,..n)}
Poiché non si tratta di farina del mio sacco, ho riportato il link di DRMath cui avevo chiesto aiuto in merito alla questione e ricevuto risposta il giorno stesso.
Col vantaggio che là il discorso é la trattato con completezza e secondo varie prospettive. A sostegno della sensatezza della questione posta.
Grazie
@Fioravante
OK capo
OK capo
La questione che tu poni è interessante: spesso uno si chiede, di fronte a problemi simili, da dove diavolo possa arrivare quella formula...
Spesso una soluzione consiste nell'immergere il problema in una classe più ampia. Come illustrato brillantemente da Polya in "La scoperta matematica".
Non ho consultato il link. Il mio modo di approcciare il problema è abbastanza "terra terra".
- so che per le somme dei primi $n$ numeri c'è una formula che me la esprime con un polinomio di secondo grado
- se sommo i quadrati, sopotutto ho $n$ termini "del tipo" $n^2$. Quindi potrebbe valere la pena provare se non c'è un polinomio di terzo grado che mi da il risultato "in forma chiusa"
- metto 4 coefficenti a caso e vedo come devono essere, imponendo la correttezza della formula per 1, 2, 3 e 4
- a questo punto, se tutto va bene, la formula dovrebbe essere trovata e non resta che provare che è giusta per induzione
- se va male (periodo ipotetico dell'mpossibilità, come sappiamo...), la mia risposta è: boh? E, se mi pare il caso, ci penso un po' di più
Mi scuso con WiZaRd, ma a mio parere il tuo post è di aspetto "generale" e quindi lo lascerei qui. Ma se sono in minoranza, ubbidiscerò
Spesso una soluzione consiste nell'immergere il problema in una classe più ampia. Come illustrato brillantemente da Polya in "La scoperta matematica".
Non ho consultato il link. Il mio modo di approcciare il problema è abbastanza "terra terra".
- so che per le somme dei primi $n$ numeri c'è una formula che me la esprime con un polinomio di secondo grado
- se sommo i quadrati, sopotutto ho $n$ termini "del tipo" $n^2$. Quindi potrebbe valere la pena provare se non c'è un polinomio di terzo grado che mi da il risultato "in forma chiusa"
- metto 4 coefficenti a caso e vedo come devono essere, imponendo la correttezza della formula per 1, 2, 3 e 4
- a questo punto, se tutto va bene, la formula dovrebbe essere trovata e non resta che provare che è giusta per induzione
- se va male (periodo ipotetico dell'mpossibilità, come sappiamo...), la mia risposta è: boh? E, se mi pare il caso, ci penso un po' di più
Mi scuso con WiZaRd, ma a mio parere il tuo post è di aspetto "generale" e quindi lo lascerei qui. Ma se sono in minoranza, ubbidiscerò
Salve MrHope.
Innanzitutto ti informo che ho richiesto lo spostamento di questo topic in una sezione più appropriata, ergo, quando sarà effettutato lo spostamento, dovresti trovare questo topic in Superiori.
In secondo luogo ti chiedo di scrivere le formule utilizzando i compilatori di formule: puoi trovare le istruzioni nei topic segnati come Importante nella sezione "Il nostro Forum", oppure puoi cliccare il tasto "Formule" che compare a sinistra quando clicchi su "Rispondi" e verrai guidato nella composizione delle formule stesse.
Quanto al problema, io non capisco il problema qual è: la domanda qual è?
Innanzitutto ti informo che ho richiesto lo spostamento di questo topic in una sezione più appropriata, ergo, quando sarà effettutato lo spostamento, dovresti trovare questo topic in Superiori.
In secondo luogo ti chiedo di scrivere le formule utilizzando i compilatori di formule: puoi trovare le istruzioni nei topic segnati come Importante nella sezione "Il nostro Forum", oppure puoi cliccare il tasto "Formule" che compare a sinistra quando clicchi su "Rispondi" e verrai guidato nella composizione delle formule stesse.
Quanto al problema, io non capisco il problema qual è: la domanda qual è?
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