Sistema terribile

[Duch1]

Ciao!

Mi potreste aiutare con questo sistema?

x³+8y³=9a³
x²-2xy+4y²=3a²


Chi si cimenta?
Mica è omogeneo? no, vero?

Ho avuto un'ottima intuizione: chiamare con qualsiasi lettera (quindi ricorrendo agli artifici) 2y. Giusto? Nella prima equzione troviamo infatti 8y³, nella seconda, scomponendo, ci spunta di nuovo 2y...
Però non sono riuscito a farlo!:(

Le soluzioni sono: x=a, y=a;
x=2a; y=a/2.

[fireball1]

Direi che si può risolvere facilmente scomponendo la somma di cubi.
Infatti possiamo riscrivere la prima equazione così:
(x + 2y)(x² - 2xy + 4y²) = 9a³
Sapendo che x² - 2xy + 4y² = 3a², sostituiamo
nella prima equazione e otteniamo:
3a²(x + 2y) = 9a³, da cui x + 2y = 3a
e quindi x = 3a - 2y
Sostituendo nella seconda si ha:
(3a - 2y)² - 2y(3a - 2y) + 4y² = 3a²
9a² - 12ay + 4y² - 6ay + 4y² + 4y² = 3a²
12y² - 18ay + 6a² = 0
Dividendo per 6:
2y² - 3ay + a² = 0
y = (3a(9a² - 8a²))/4 = (3aa)/4
Due soluzioni: y = a e y = a/2
Sostituendo nell'equazione in grassetto
si trovano i corrispondenti valori della x
(ovvero, per y = a si ottiene x = a, e per y = a/2 si ottiene x = 2a)

Modificato da - fireball il 23/05/2004 21:14:55