Significato citazione
Salve a tutti,
spesso mi è capitato di leggere una citazione, anche qui nel forum, di cui però ignoro il significato.
Nessuno ci scaccerà dal paradiso che Cantor ha creato per noi. (Hilbert)
Cosa intendeva dire Hilbert? Potete darmi delucidazioni in merito?
Grazie mille
spesso mi è capitato di leggere una citazione, anche qui nel forum, di cui però ignoro il significato.
Nessuno ci scaccerà dal paradiso che Cantor ha creato per noi. (Hilbert)
Cosa intendeva dire Hilbert? Potete darmi delucidazioni in merito?
Grazie mille
Risposte
"zorn":
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
"fields":
Il concetto di $P(NN)$ e' talmente ineffabile
Giuro che non sapevo che esistessero i cardinali "ineffabili"
Eh sì sono davvero affascinanti i grandi cardinali... in confronto il cardinale del continuo non è che un minuscolo insiemino... il fatto interessante è che cardinali così immensi come i misurabili hanno conseguenze in Analisi Matematica... e comunque nella scala dei grandi cardinali che posto sotto i misurabili sono appena intorno alla metà della lista...
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_la ... properties
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_la ... properties
E pensare che $\mathcal P(NN)$ non e', in fondo, che un insieme piccolo piccolo, se confrontato con gli oggetti inimmaginabilmente grandi di cui si occupa la teoria degli insiemi (cardinali misurabili...)! Di fronte ad una vastita' cosi' sterminata, cosi' insondabile, qual e' quella del ''paradiso'' di cui Cantor ci ha spalancato le porte, e' naturale che ci prenda un senso di sgomento, ed e' allora comprensibile anche la reazione degli intuizionisti.
Eh, eh, sì la sfida è stata fraintesa. Io ho sfidato a pensare una stringa binaria infinita non generabile da un computer, ovvero a pensare noi stessi nell'atto di inventare e scrivere una tale stringa, dal primo numero all'infinito. E ho chiesto con che criterio, numero per numero, scegliereste le cifre da scrivere.
L'esempio di Levacci non funziona per la mia sfida, perché lui non può in alcun modo sapere qual è la stringa binaria numero n nella sua enumerazione e quindi non può nemmeno pensare di poter pensare, al modo descritto sopra, alla sua stringa costruita per diagonalizzazione.
Il senso della sfida è questo. Gli intuizionisti lo dicono cosa vuol dire che un qualcosa "esiste". Una cosa esiste, se la puoi costruire. Ma un classicista come definisce il concetto di "esistenza"?
Se un classicista definisce l'esistenza di insiemi (quali sono le stringhe binarie infinite) per via assiomatica, come in ZFC, allora dobbiamo concludere che $P(NN)$, l'insieme delle stringhe binarie infinite, esiste perché... lo dice lui, benché la cosa non sia per nulla scontata. E infatti se andiamo a vedere i modelli di ZFC, vediamo che $P(NN)$ può essere interpretato come insieme numerabile, e che quindi ciò che il classicista ha definito non era quello che lui stesso voleva...
Il classicista afferma che è limitativo fermarsi a considerare insiemi numerabili, eppure lui stesso non sa definire quelli non numerabili, come $P(NN)$.
La mia sfida vuol far vedere quanto è difficile, se non impossibile, anche il solo pensiero di certe stringhe binarie infinite e che la posizione classica alla fine dei conti non è così potente... Il concetto di $P(NN)$ è talmente ineffabile da risultare anche insondabile e poco sensato.
Con tutto ciò, io non sono né classicista né intuizionista, cerco semplicemente di capire il senso di certi concetti, dati per ovvi ma che ovvi non sono...
L'esempio di Levacci non funziona per la mia sfida, perché lui non può in alcun modo sapere qual è la stringa binaria numero n nella sua enumerazione e quindi non può nemmeno pensare di poter pensare, al modo descritto sopra, alla sua stringa costruita per diagonalizzazione.
Il senso della sfida è questo. Gli intuizionisti lo dicono cosa vuol dire che un qualcosa "esiste". Una cosa esiste, se la puoi costruire. Ma un classicista come definisce il concetto di "esistenza"?
Se un classicista definisce l'esistenza di insiemi (quali sono le stringhe binarie infinite) per via assiomatica, come in ZFC, allora dobbiamo concludere che $P(NN)$, l'insieme delle stringhe binarie infinite, esiste perché... lo dice lui, benché la cosa non sia per nulla scontata. E infatti se andiamo a vedere i modelli di ZFC, vediamo che $P(NN)$ può essere interpretato come insieme numerabile, e che quindi ciò che il classicista ha definito non era quello che lui stesso voleva...
Il classicista afferma che è limitativo fermarsi a considerare insiemi numerabili, eppure lui stesso non sa definire quelli non numerabili, come $P(NN)$.
La mia sfida vuol far vedere quanto è difficile, se non impossibile, anche il solo pensiero di certe stringhe binarie infinite e che la posizione classica alla fine dei conti non è così potente... Il concetto di $P(NN)$ è talmente ineffabile da risultare anche insondabile e poco sensato.
Con tutto ciò, io non sono né classicista né intuizionista, cerco semplicemente di capire il senso di certi concetti, dati per ovvi ma che ovvi non sono...
Mi muovo a tentoni nei dintorni della sfida proposta da fields, ma solo per curiosità. Di informatica teorica non so praticamente nulla . Vado quindi per ipotesi. Se, e si tratta di un se enorme, i computer possono generare solo una quantità numerabile di stringhe, allora posso facilmente dimostrare via diagonalizzazione che esiste almeno una stringa binaria infinita non computabile. Questo non conclude quasi nulla. Nella mia ottica l'esistenza di un ente non implica la capacità di poterlo costruire, mentre la richiesta è puramente intuizionista. Un altro modo per non rispondere alla domanda sarebbe dire qualcosa come: "scelgo una stringa il cui modo più breve di descriverla sia la stringa stessa." Questo comunque non mi dà nessuna informazione sui numeri che appartengono alla stringa, nè su eventuali criteri con cui sceglierli. Si torna sempre daccapo 
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Ho il sospetto fondato (vedi seconda proposizione scritta) di aver frainteso la sfida. Nel caso, attendo lumi
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. Vado quindi per ipotesi. Se, e si tratta di un se enorme, i computer possono generare solo una quantità numerabile di stringhe, allora posso facilmente dimostrare via diagonalizzazione che esiste almeno una stringa binaria infinita non computabile. Questo non conclude quasi nulla. Nella mia ottica l'esistenza di un ente non implica la capacità di poterlo costruire, mentre la richiesta è puramente intuizionista. Un altro modo per non rispondere alla domanda sarebbe dire qualcosa come: "scelgo una stringa il cui modo più breve di descriverla sia la stringa stessa." Questo comunque non mi dà nessuna informazione sui numeri che appartengono alla stringa, nè su eventuali criteri con cui sceglierli. Si torna sempre daccapo . Ho il sospetto fondato (vedi seconda proposizione scritta) di aver frainteso la sfida. Nel caso, attendo lumi
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Giusto... quindi solo alcuni trascendenti godono di questa proprietà... spero qualcuno ne sappia qualcosa... 
"zorn":
meno male che è tramontato l'intuizionismo...
Veramente splende come non mai...
Anzi, ogni dì che passa è un po' più importante per l'informatica teorica.Comunque, alla fine, sia la logica classica sia la logica intuizionista sia la teoria degli insiemi altro non sono che sistemi formali con assiomi e regole di deduzione, e le dimostrazioni di fatto sono sequenze finite di simboli. A me vanno benissimo le affermazioni più inverosimili sugli infiniti e le asserzioni di esistenza di numeri reali non computabili, tanto alla fine sono stringhe finite
Devo dire che però, più ci rifletto, più mi domando se "esista" veramente gente come $P(NN)$ e compagnia bella. Propongo una sfida: cercate di pensare ad una stringa binaria infinita non generabile da un computer. Provate a immaginarvi nell'infinito a scrivere su un foglio infinito una stringa binaria infinita non computabile da un computer. Con che criterio scegliereste le cifre? Con che criterio, sopratutto, le scegliereste per essere certi che la stringa binaria infinita che costruite, una cifra dopo l'altra all'infinito, sia davvero non generabile da un computer?
Non sapevo nulla su questa proprietà, ma direi che non vale per tutti i numeri trascendenti. La costante di Liouville, $sum_(k=1)^(+oo) 10^(-k!)$ con k naturale, è un numero trascendente e la sua espansione decimale contiene solo l'$1$ e lo $0$.
E' evidente che questo controesempio non dice nulla riguardo a $pi$, che potrebbe sempre far parte di una classe di trascendenti per cui la proprietà invece vale.
Non so di più.
E' evidente che questo controesempio non dice nulla riguardo a $pi$, che potrebbe sempre far parte di una classe di trascendenti per cui la proprietà invece vale.
Non so di più.
No, perché dovrei, la penso come te...
Scusa una curiosità riguardo a $pi$: una volta sentii dire che nel suo sviluppo decimale posso trovare una qualunque stringa finita di cifre decimali (e questa proprietà era condivisa con i trascendenti). Ora tu mi dici che non è invece presente la stringa $7777777777$ nel suo sviluppo?
Sai (probabilmente) qualcosa più di me a riguardo?
Scusa una curiosità riguardo a $pi$: una volta sentii dire che nel suo sviluppo decimale posso trovare una qualunque stringa finita di cifre decimali (e questa proprietà era condivisa con i trascendenti). Ora tu mi dici che non è invece presente la stringa $7777777777$ nel suo sviluppo?
Sai (probabilmente) qualcosa più di me a riguardo?
Decine di righe e ho dimenticato di ringraziare zorn 
. Ringraziare di cosa? Bè non mi ha mandato a quel paese .
. Ringraziare di cosa? Bè non mi ha mandato a quel paese .
Sì, avevo letto. Si parlò di simili argomenti anche in altri topic. Personalmente non sono ostile all'intuizionismo in quanto tale. Ciò che mi infastidisce è la furia iconoclasta nell'eliminare tutto ciò che intuizionismo non è. Nessun classico fa fatica ad ammettere che una dimostrazione costruttiva dimostra "di più" di una per assurdo, ma da qui a dichiarare che una per assurdo (per essere più precisi, un utilizzo del tertium non datur) non dimostra niente...
Qualche esempio può chiarire meglio la situazione (soprattutto a chi scrive
).
Prendiamo le seguenti definizioni: - $k$ è il massimo numero primo per cui $k+1$ è ancora primo e se questo numero non dovesse esistere $k=0$,
-$l$ è il massimo numero primo per cui $l+2$ è ancora primo e se questo numero non dovesse esistere $l=0$.
Nel primo caso si definisce univocamente il numero $2$. Nell'altro caso per un intuizionista la definizione è mal posta e non definisce nulla, almeno finchè la congettura dei primi gemelli non viene risolta. Per quanto mi riguarda, mi sembra naturale che anche la seconda definisca un numero. Indipendentemente dalla nostra capacità di determinare di quale numero si tratti. In altre parole il processo di mutilazione della matematica, di cui parla Hilbert, fa sì che la seconda definizione e una del tipo $k$ è il massimo numero per cui le galline fanno le uova piatte, siano matematicamente equivalenti.
Un ragionamento analogo si può fare su un esempio di Heyting riguardante i numeri reali. Gli intuizionisti li definiscono indirettamente tramite i generatori di numeri reali, qualcosa di molto simile alle successioni di Cauchy. Una successione ${r_n}$ di numeri razionali è un generatore di numero reale sse $\forall k\exists n\forall p(r_(n+p)-r_p<1/k)$. La differenza con la condizione di Cauchy è nel modo di interpretare l'esistenziale. In questo contesto è necessario proporre una procedura costruttiva per determinare n. Prendiamo ora un problema aperto P, teoricamente risolvibile in modo costruttivo (Heyting sceglie un problema relativo alle cifre che compaiono nell'espansione decimale di $pi$: non è noto se si hanno dieci 7 consecutivi). Definiamo quindi ${r_n}$ in questo modo: si pone $r_k = 1/2^k$ se nella successione delle prime $k$ cifre di $pi$ non compaiono dieci 7 consecutivi; altrimenti si pone $r_k=1$ a partire dal $k$ che indica la posizione dell'ultimo 7 della prima sequenza di dieci 7 consecutivi. La successione ovviamente converge o a $0$ o a $1$. Non si tratta però, secondo un approccio costruttivo, di un generatore di numero reale. Infatti non siamo in grado di scegliere tra i due limiti della successione. Il problema, in fondo, è lo stesso di prima. Come già detto trovo fuorviante e forse anche pericolosa la pretesa di far coincidere le nostre conoscenze e capacità matematiche, fissate ad un dato momento storico, con la matematica stessa.
In conclusione mi pare probabile che i fondamenti della matematica classica presentino delle zone d'ombra e degli elementi di platonismo. La cura proposta però è più dannosa della malattia, o presunta tale. Per guarire un dito amputa l'arto.
Scusate la lunghezza e soprattutto le probabili imprecisioni. Per chiudere e sorridere un po' di tutta questa filosofia della matematica un classico di Feynman: "I filosofi della scienza servono agli scienzati quanto gli ornitologi agli uccelli."
Ps: nell'unica vera formula che ho scritto manca un valore assoluto. Latex, my friend...
Qualche esempio può chiarire meglio la situazione (soprattutto a chi scrive
).Prendiamo le seguenti definizioni: - $k$ è il massimo numero primo per cui $k+1$ è ancora primo e se questo numero non dovesse esistere $k=0$,
-$l$ è il massimo numero primo per cui $l+2$ è ancora primo e se questo numero non dovesse esistere $l=0$.
Nel primo caso si definisce univocamente il numero $2$. Nell'altro caso per un intuizionista la definizione è mal posta e non definisce nulla, almeno finchè la congettura dei primi gemelli non viene risolta. Per quanto mi riguarda, mi sembra naturale che anche la seconda definisca un numero. Indipendentemente dalla nostra capacità di determinare di quale numero si tratti. In altre parole il processo di mutilazione della matematica, di cui parla Hilbert, fa sì che la seconda definizione e una del tipo $k$ è il massimo numero per cui le galline fanno le uova piatte, siano matematicamente equivalenti.
Un ragionamento analogo si può fare su un esempio di Heyting riguardante i numeri reali. Gli intuizionisti li definiscono indirettamente tramite i generatori di numeri reali, qualcosa di molto simile alle successioni di Cauchy. Una successione ${r_n}$ di numeri razionali è un generatore di numero reale sse $\forall k\exists n\forall p(r_(n+p)-r_p<1/k)$. La differenza con la condizione di Cauchy è nel modo di interpretare l'esistenziale. In questo contesto è necessario proporre una procedura costruttiva per determinare n. Prendiamo ora un problema aperto P, teoricamente risolvibile in modo costruttivo (Heyting sceglie un problema relativo alle cifre che compaiono nell'espansione decimale di $pi$: non è noto se si hanno dieci 7 consecutivi). Definiamo quindi ${r_n}$ in questo modo: si pone $r_k = 1/2^k$ se nella successione delle prime $k$ cifre di $pi$ non compaiono dieci 7 consecutivi; altrimenti si pone $r_k=1$ a partire dal $k$ che indica la posizione dell'ultimo 7 della prima sequenza di dieci 7 consecutivi. La successione ovviamente converge o a $0$ o a $1$. Non si tratta però, secondo un approccio costruttivo, di un generatore di numero reale. Infatti non siamo in grado di scegliere tra i due limiti della successione. Il problema, in fondo, è lo stesso di prima. Come già detto trovo fuorviante e forse anche pericolosa la pretesa di far coincidere le nostre conoscenze e capacità matematiche, fissate ad un dato momento storico, con la matematica stessa.
In conclusione mi pare probabile che i fondamenti della matematica classica presentino delle zone d'ombra e degli elementi di platonismo. La cura proposta però è più dannosa della malattia, o presunta tale. Per guarire un dito amputa l'arto.
Scusate la lunghezza e soprattutto le probabili imprecisioni. Per chiudere e sorridere un po' di tutta questa filosofia della matematica un classico di Feynman: "I filosofi della scienza servono agli scienzati quanto gli ornitologi agli uccelli."
Ps: nell'unica vera formula che ho scritto manca un valore assoluto. Latex, my friend...
Musica per le mie orecchie Levacci!!!
E' proprio così!!!
Ne parlai anche su questo topic, dacci un'occhiata se ti va
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21818
E' proprio così!!!
Ne parlai anche su questo topic, dacci un'occhiata se ti va
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21818
Brevi ringraziamenti a fields (grazie fields, ) e via con una manciata di parole altrui.
Hilbert [1922]:
Ciò che fanno Weyl e Brouwer consiste, in linea di massima, nel percorrere la via che fu già di Kronecker: essi cercano di fondare la matematica gettando a mare tutto ciò che a loro appare scomodo e istituendo una dittatura del divieto. Ma ciò significa smembrare e mutilare la nostra scienza, e seguendo questi riformatori corriamo il pericolo di perdere una gran parte dei nostri più preziosi tesori(...); no, Brouwer non è, come sostiene Weyl, la rivoluzione bensì solo la ripetizione con vecchi metodi di un tentativo di putsch che a suo tempo, pur essendo stato intrapreso con maggior risolutezza, fallì miseramente e che adesso è condannato in partenza all'insuccesso poichè il potere statale è stato così ben armato e rafforzato da Frege, Dedekind e Cantor.
Ecco Poincarè:
http://www.speedyshare.com/705165831.html.
Gentzen è scomparso nel marasma del mio computer, spero di avere presto sue notizie.
) e via con una manciata di parole altrui. Hilbert [1922]:
Ciò che fanno Weyl e Brouwer consiste, in linea di massima, nel percorrere la via che fu già di Kronecker: essi cercano di fondare la matematica gettando a mare tutto ciò che a loro appare scomodo e istituendo una dittatura del divieto. Ma ciò significa smembrare e mutilare la nostra scienza, e seguendo questi riformatori corriamo il pericolo di perdere una gran parte dei nostri più preziosi tesori(...); no, Brouwer non è, come sostiene Weyl, la rivoluzione bensì solo la ripetizione con vecchi metodi di un tentativo di putsch che a suo tempo, pur essendo stato intrapreso con maggior risolutezza, fallì miseramente e che adesso è condannato in partenza all'insuccesso poichè il potere statale è stato così ben armato e rafforzato da Frege, Dedekind e Cantor.
Ecco Poincarè:
http://www.speedyshare.com/705165831.html.
Gentzen è scomparso nel marasma del mio computer, spero di avere presto sue notizie.
Levacci postaci il link!
Comunque anche a me non sono per nulla simpatici Kronecker e compagnia anzi... meno male che è tramontato l'intuizionismo...
Comunque anche a me non sono per nulla simpatici Kronecker e compagnia anzi... meno male che è tramontato l'intuizionismo...
"Levacci":
Ps: ho due brevi articoli di Poincarè e Gentzen proprio sulla questione. Vorrei sapere se posso allegarli al prossimo messaggio ed eventualmente in che modo.
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 628#158628
Ultimamente escono sempre fuori gli intuizionisti (Kronecker, Brouwer, Heyting e tutti gli altri). Anche se vengono scacciati dalla porta principale, riappaiono per vie secondarie.
L'intento polemico della frase di Hilbert, tramite la scelta non casuale del verbo "scacciare", è rivolto verso la matematica intuizionista, che riteneva (e ritiene tuttora; l'intuizionismo non è assolutamente archeologia della matematica e si trova un po' ovunque in varie vesti) la teoria cantoriana degli insieme come fallace, illegittima o addirittura metafisica. Da qui in poi la questione si fa a dir poco ingarbugliata, anche a causa del tono oscuro ed oracolare di Brouwer. A costo di imprecisioni, si può dire che la colpa più grave che gli intuizionisti imputano alla matematica classica è l'uso strabordante dell'infinito. Ritengono, quindi, che la matematica si dovrebbe limitare a trattare con l'infinito potenziale e che non abbia senso parlare di insieme infiniti come totalità già date. Gli insieme andrebbero sempre definiti costruttivamente.
La mia antipatia nei confronti degli intuizionisti già trapela dalle ultime righe e non vorrei farla esplodere.
Se qualcuno dovesse essere interessato, nel pomeriggio posso scrivere sul forum qualche simpatico stravolgimento dell'analisi elementare che si deduce dalle premesse intuizioniste.
Ps: ho due brevi articoli di Poincarè e Gentzen proprio sulla questione. Vorrei sapere se posso allegarli al prossimo messaggio ed eventualmente in che modo.
L'intento polemico della frase di Hilbert, tramite la scelta non casuale del verbo "scacciare", è rivolto verso la matematica intuizionista, che riteneva (e ritiene tuttora; l'intuizionismo non è assolutamente archeologia della matematica e si trova un po' ovunque in varie vesti) la teoria cantoriana degli insieme come fallace, illegittima o addirittura metafisica. Da qui in poi la questione si fa a dir poco ingarbugliata, anche a causa del tono oscuro ed oracolare di Brouwer. A costo di imprecisioni, si può dire che la colpa più grave che gli intuizionisti imputano alla matematica classica è l'uso strabordante dell'infinito. Ritengono, quindi, che la matematica si dovrebbe limitare a trattare con l'infinito potenziale e che non abbia senso parlare di insieme infiniti come totalità già date. Gli insieme andrebbero sempre definiti costruttivamente.
La mia antipatia nei confronti degli intuizionisti già trapela dalle ultime righe e non vorrei farla esplodere.
Se qualcuno dovesse essere interessato, nel pomeriggio posso scrivere sul forum qualche simpatico stravolgimento dell'analisi elementare che si deduce dalle premesse intuizioniste.
Ps: ho due brevi articoli di Poincarè e Gentzen proprio sulla questione. Vorrei sapere se posso allegarli al prossimo messaggio ed eventualmente in che modo.
Se ricordo bene c'era anche chi la pensava all'opposto di Hilbert, parlando di opera demoniaca, ma non ricordo bene chi.
Beh vorrei dire l'aver scoperto che esistono diversi tipi di infiniti (più precisamente non tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità) crea un paradiso da cui non è più possibile tornare indietro...
"blackdie":
Eh gia.
Ah allora eri tu... non ricordavo male
Grazie Camillo.
Non ho letto tutto l'articolo (anche perchè alcuni termini matematici non li capivo), in sostanza ho capito questo:
Hilbert considera un paradiso l'infinità dimostrata da Cantor, e asserisce che essendo dimostrata, nessuno ce la toglierà.
Ho capito bene?
Eh gia.
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