Sarà vero?
ciao a tutti!
oggi il mio professore ci ha chiesto di verificare se è giusto dimostrare il teorema dell'unicità del limite in questo modo:
se $lim_(x->x_0) f(x)=a$ e $lim_(x->x_0) f(x)=b$
allora per la proprietà transitiva $a=b$ e il teorema è così dimostrato!
mi sono stupita molto quando ha presentato questo tipo di dimostrazione.... ma nn sono in grado di dire se questa dim è coerente o meno... sapreste darmi una mano? grazie!
oggi il mio professore ci ha chiesto di verificare se è giusto dimostrare il teorema dell'unicità del limite in questo modo:
se $lim_(x->x_0) f(x)=a$ e $lim_(x->x_0) f(x)=b$
allora per la proprietà transitiva $a=b$ e il teorema è così dimostrato!
mi sono stupita molto quando ha presentato questo tipo di dimostrazione.... ma nn sono in grado di dire se questa dim è coerente o meno... sapreste darmi una mano? grazie!
Risposte
E' sbagliatissimo, da dilettanti della matematica!!!
Se fosse vero potremmo dimostrare esistenza e unicità di qualunque ente
Comunque per asserire questa cosa occorre preliminarmente dimostrare l'unicità, che è proprio il nostro scopo!
Se fosse vero potremmo dimostrare esistenza e unicità di qualunque ente
Comunque per asserire questa cosa occorre preliminarmente dimostrare l'unicità, che è proprio il nostro scopo!
@luluemicia
Condivido.
Mi era sfuggito il tuo post.
5 mesi per la risposta. Doveva essere una domanda ben difficile o del tutto stupida
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Mi era sfuggito il tuo post.
5 mesi per la risposta. Doveva essere una domanda ben difficile o del tutto stupida
La condizione che il punto sia di accumulazione per il dominio è, oltre che suff., anche necessaria per l'unicità del limite (altrimenti non c'è alcuna x che dista meno di epsilon ........ e, quindi, l'implicazione passa "perchè l'ipo. non è soddisfatta").
"Mr.X":
Scusate ma mi stavo esercitando per scrivere le formule.
Puoi esercitarti anche con il tasto "Anteprima".
"Mr.X":
e^(ipi)=-1
Concordo. Così però è più bella: $e^(ipi)=-1$, o $e^(ipi)+1=0$.
Scusate ma mi stavo esercitando per scrivere le formule. 
$e^(ipi)=-1$
e^(ipi)=-1
"FreshBuddy":
per elgiovo ci tenevo a precisare che quando ho detto ragionamanto corretto mi riferivo ai passaggi cioè che a è uguale a b se sia a che b sono uguali a qualcos'altro
Non ho detto ciò che ho detto per contraddire te, non avevo neanche letto.
per elgiovo ci tenevo a precisare che quando ho detto ragionamanto corretto mi riferivo ai passaggi cioè che a è uguale a b se sia a che b sono uguali a qualcos'altro
la def di limite è fatta così (o, almeno, la si può vedere così):
dati:
$A \subseteq RR$, $f:A \to RR$, $x_0 \in RR$, $a \in RR$, diciamo che:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se... (e qui c'è la solita pappadella con epsilon e delta o loro varianti a seconda dei gusti)"
ora, quanto sopra definisce una proprietà dei quattro "enti matematici" (stasera sono particolarmente neo-platonico) $A,f,x_0,a$
quindi anche una relazione fra la terna $A,f,x_0$ ed $a$
dove sta detto che si tratta di una relazione di tipo funzionale, ovvero che, qualora vi sia un $a$ in relazione con $A,f,x_0$, questo sia unico?
non è scritto da nessuna parte, esplicitamente, nella definizione
ma lo si può dedurre se facciamo l'ipotesi che $x_0$ sia di accumulazione per $A$
meglio di una camomilla, vero?
buonanotte
dati:
$A \subseteq RR$, $f:A \to RR$, $x_0 \in RR$, $a \in RR$, diciamo che:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se... (e qui c'è la solita pappadella con epsilon e delta o loro varianti a seconda dei gusti)"
ora, quanto sopra definisce una proprietà dei quattro "enti matematici" (stasera sono particolarmente neo-platonico) $A,f,x_0,a$
quindi anche una relazione fra la terna $A,f,x_0$ ed $a$
dove sta detto che si tratta di una relazione di tipo funzionale, ovvero che, qualora vi sia un $a$ in relazione con $A,f,x_0$, questo sia unico?
non è scritto da nessuna parte, esplicitamente, nella definizione
ma lo si può dedurre se facciamo l'ipotesi che $x_0$ sia di accumulazione per $A$
meglio di una camomilla, vero?
buonanotte
io credo che la sua fasulla dimostrazione sia in realtà una conseguenza del teorema stesso:
il fatto che i due limiti coincidano vuol dire ovviamente che $a=b$
ed inoltre il limite di una funzione nn è detto che sia un numero ben definito, come ha detto Fioravante Patrone: può essere +/-infinito o addirittura indefinito!
nn ho capito questo passaggio.... saresti cosi gentile da farmelo capire? forse sono stanca e nn capisco + niente....
il fatto che i due limiti coincidano vuol dire ovviamente che $a=b$
ed inoltre il limite di una funzione nn è detto che sia un numero ben definito, come ha detto Fioravante Patrone: può essere +/-infinito o addirittura indefinito!
se avesse detto, correttamente: "siano $a,b \in RR$ tali che soddisfino entrambi la def di limite..." magari uno si rendeva conto che, fino a che non si è dimostrato che il limite è unico, non si può neanche scrivere una cosa come:
$lim_(x->x_0) f(x)=a$
nn ho capito questo passaggio.... saresti cosi gentile da farmelo capire? forse sono stanca e nn capisco + niente....
"goldengirl":
ciao a tutti!
oggi il mio professore ci ha chiesto di verificare se è giusto dimostrare il teorema dell'unicità del limite in questo modo:
se $lim_(x->x_0) f(x)=a$ e $lim_(x->x_0) f(x)=b$
allora per la proprietà transitiva $a=b$ e il teorema è così dimostrato!
mi sono stupita molto quando ha presentato questo tipo di dimostrazione.... ma nn sono in grado di dire se questa dim è coerente o meno... sapreste darmi una mano? grazie!
il ragionamento presenta una tautologia(mi pare si dica cosi) nel senso che usi la tesi da dimostrare all'interno dello stesso teorema e quindi la dimostrazione è errata
"goldengirl":
ciao a tutti!
oggi il mio professore ci ha chiesto di verificare se è giusto dimostrare il teorema dell'unicità del limite in questo modo:
se $lim_(x->x_0) f(x)=a$ e $lim_(x->x_0) f(x)=b$
allora per la proprietà transitiva $a=b$ e il teorema è così dimostrato!
mi sono stupita molto quando ha presentato questo tipo di dimostrazione.... ma nn sono in grado di dire se questa dim è coerente o meno... sapreste darmi una mano? grazie!
naturalmente il prof ha anche giocato un po' sull'imbroglio...
non ha precisato bene le proposizioni da cui parte, anzi, le ha scritte in modo (volutamente) non corretto
se l'avesse detto giusto, sarebbe stato evidente
così scrivendolo, voleva indurre nell'errore di non riflettere sul fatto che non è detto che $lim_(x->x_0) f(x)$ sia un numero
se avesse detto, correttamente: "siano $a,b \in RR$ tali che soddisfino entrambi la def di limite..." magari uno si rendeva conto che, fino a che non si è dimostrato che il limite è unico, non si può neanche scrivere una cosa come:
$lim_(x->x_0) f(x)=a$
già che ci siamo, è vero che condizione necessaria (oltre che sufficiente) per l'unicità del limite è che $x_0$ sia di accumulazione per il dominio di definizione di $f$?
ciao
Dopo aver dimostrato il teorema con metodi più appropriati, si può sfruttare questo argomento in modo interessante. Se si trovasse con due metodi diversi il limite di una funzione in un punto e si trovassero espressioni diverse per tale limite, si potrebbero eguagliare tali espressioni senza colpo ferire, proprio in virtù del teorema.
Il ragionamento è sbagliato perchè non si può usare la proprietà transitiva se ancora non si è dimostrato che il limite è unico.
il ragiojnamento è corretto perche' equivale a dire
$k=a=b$
pero' non credo che basti per dimostrare l'unicita' del limite l'ipotesi è proprio quello che si deve dimostrare...quindo ragionandoci meglio credo di poter dire che è sbagliato...pero' aspetta altre conferme
$k=a=b$
pero' non credo che basti per dimostrare l'unicita' del limite l'ipotesi è proprio quello che si deve dimostrare...quindo ragionandoci meglio credo di poter dire che è sbagliato...pero' aspetta altre conferme
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