Risultato carino
Ho trovato una formula generale da cui come caso particolare ho ricavato questo risultato carino
$(pi^2-6ln^2(2))/12=sum_(n=1)^infty 1/(2^n n^2)$
che ne pensate? Se vi interessa posso postare la dimostrazione.
Ciao!
$(pi^2-6ln^2(2))/12=sum_(n=1)^infty 1/(2^n n^2)$
che ne pensate? Se vi interessa posso postare la dimostrazione.
Ciao!
Risposte
"Reynolds":
[quote="eafkuor"]Ogni tanto non riesco a credere che hai 14 anni... :O
Ricordatevi del grande Ulisse Dini, laureato in matematica alla Normale di Pisa (mi pare)
all'età di soli 19 anni... Il tizio che ha fatto il teorema che è il punto
di raccordo principale tra analisi e geometria differenziale...[/quote]
Ma come ha fatto a laurearsi a 19 anni? Non ci vuole il diplomaper entrare all'università?
No perché se mi dite che non serve io ci provo oggi stesso ad entrare in Normale...
"eafkuor":
Ogni tanto non riesco a credere che hai 14 anni... :O
Ricordatevi del grande Ulisse Dini, laureato in matematica alla Normale di Pisa (mi pare)
all'età di soli 19 anni... Il tizio che ha fatto il teorema che è il punto
di raccordo principale tra analisi e geometria differenziale...
"carlo23":
[quote="eafkuor"]Ma dai, non devi neanche chiedercelo!
Dallo sviluppo in serie di Maclaurin di $ln(1+x)$ ricaviamo
$int {ln(1-x)}/x dx=- sum_(n=1)^infty x^n/(n^2)$
.
.
.
da cui manipolando e ricordando che $zeta(2)=pi^2/6$ si ha
$pi^2/6-ln(beta)ln(1-beta)=sum_(n=1)^infty (beta^n+(1-beta)^n)/(n^2)$
il mio risultato si ricava ponendo $beta=1/2$. Altri risultati interessanti, ma più complessi, si possono ottenere ponendo $beta=e^-1$,$beta=e^(-pi^2/6)$... però ricordando che deve essere $beta in ]0,1[$.
Ciao!
[/quote]Chissà perchè ma sto ragionamento che hai fatto mi ricorda MOOOOOOOOOOOOOOLTO la funzione zeta di riemann
che ci sia qualche nesso?
si insomma il fatto che nel ragionamento non solo c'è la congettura di riemann ma anche che hai dimostrato che $int {ln(1-x)}/x dx = zeta(2) = pi^2/6$
ma anche il fatto che per dimostrare la convergenza di tale serie hai dovuto porre $beta=1/2$, che centri qualcosa con il fatto che $"La parte reale di ogni radice non banale è" 1/2$ ?!?
secondo me studia il caso generalizzato a $zeta(s)$ magari derivando la serie ti esce un risultato strano..
mah mi sa che siamo arrivato ad un risultato più che buono.. complimenti per le capacita
Questo Carlo23 è un genio incompreso!!!!!!!!
Alla sua tenera età io bevevo ancora il latte con il biberon, mentre lui ci delizia con eleganti dimostrazioni matematiche.
Complimenti Carlo23, diventerai un John Nash.
Alla sua tenera età io bevevo ancora il latte con il biberon, mentre lui ci delizia con eleganti dimostrazioni matematiche.
Complimenti Carlo23, diventerai un John Nash.
Mi viene un brivido se provo a confrontarti con i ragazzi della tua età che guardano Maria de Filippi...
Lo sai che Pascal a 12 anni dimostrò qualcosa come il 23° teorema di Euclide da solo? Suo padre tra l'altro era stato anch'egli matematico (scoprì la famosa "chiocciola" di Pascal) e aveva addirittura proibito al figlio di studiare la geometria. Ma il piccolo Pascal studiò di nascosto e poi...beh poi è storia.
Morale della favola...vai avanti più che puoi.
In bocca al lupo
Alberto
Lo sai che Pascal a 12 anni dimostrò qualcosa come il 23° teorema di Euclide da solo? Suo padre tra l'altro era stato anch'egli matematico (scoprì la famosa "chiocciola" di Pascal) e aveva addirittura proibito al figlio di studiare la geometria. Ma il piccolo Pascal studiò di nascosto e poi...beh poi è storia.
Morale della favola...vai avanti più che puoi.
In bocca al lupo
Alberto
C'è da aggiungere anche che Carlo è un grande Programmatore, con la P maiuscola...con Visual Basic ha fatto simulazioni straordinarie che io non saprei neanche lontanamente fare.
beh ho letto la tua "storia" carlo e anche se non ho prove concrete mi piace crederti... perciò complimenti! ah sai anche io avevo il tappeto con le strade per le macchinine... ci si sente ciao
cavoli, se è vero che Eulero è arrivato a quel risultato in tarda età siamo di fronte ad un genio, ma che dico...di più 
carletto tu hai 14 anni?
"HiTLeuLeR":
Non ho nulla da dissentire, infatti.
Ah, bene allora
Non ho nulla da dissentire, infatti. Né ho mai pensato che potesse essere tempo perso discutere con altri. Diversamente non sarei qui, adesso, a ragionar con te... Semplicemente mi sono limitato a trovarti un link e levarti così il dubbio (assolutamente lecito!) che il tuo risultato potesse essere originale nelle tue argomentazioni dimostrative, quand'anche non nella sostanza.
Semplicemente mi sono limitato a trovarti un link e levarti così il dubbio (assolutamente lecito!) che il tuo risultato potesse essere originale nelle tue argomentazioni dimostrative, quand'anche non nella sostanza.
"HiTLeuLeR":
A me dispiace ogni volta vestire i panni di chi deve dare delusioni o smontare le tesi altrui, però... è anche vero che la gente un po' se la va cercando!Ora, carlo, non fraintendermi, ma di risultati analoghi al tuo sono pieni zeppi un po' tutti i libri di analisi. Resta comunque lodevole l'impegno, se certi percorsi dimostrativi (concedimi il privilegio del dubbio, dacché non ti conosco) sono - come sempre è detto in questi casi! - tutta e sola farina del tuo sacco. Non commettere tuttavia l'imprudenza di pensare che sia poi così facile, soprattutto in un settore tanto navigato come l'analisi, trovare risultati originali o soluzioni innovative a vecchi problemi. E giusto perché il mio discorso non dia l'impressione d'essere solamente aria e fumo, provate a dare una cliccatina
Saluti...
Bah, non smonti i sogni di nessuno, l'umanità studia la matematica da tantissimo tempo è ovvio che sono già stati ricavati un'innumerevole quantità di risultati, ora fossi venuto a dire che 1+1=2 allora ti capirei, invece ho comunicato un mio risultato per poi scoprire che era già stato scoperto da Eulero, cosa c'è di male?
Io sono contento di aver scoperto da solo un risultato a mio parere interessante, non è che mi sia messo in testa chissà cosa, quando non esisteva il nostro odierno sistema di comunicazioni capitava moltissimi matematici in parti diverse del mondo giungessero agli stessi risultati credendo di essere i primi e gli unici.
Credo che discutere con altri di una prorpria soluzione a un determinato problema non possa che essere costruttivo, certamente non tempo perso... quindi non riesco proprio a capire che cosa tu abbia da dissentire.
PS questa poi è la sezione CONGETTURE E LIBERA RICERCA fatta apposta per cose di questo tipo, fa un pò te...
Ciao!
A me dispiace ogni volta vestire i panni di chi deve dare delusioni o smontare le tesi altrui, però... è anche vero che la gente un po' se la va cercando! Ora, carlo, non fraintendermi, ma di risultati analoghi al tuo sono pieni zeppi un po' tutti i libri di analisi. Resta comunque lodevole l'impegno, se certi percorsi dimostrativi (concedimi il privilegio del dubbio, dacché non ti conosco) sono - come sempre è detto in questi casi! - tutta e sola farina del tuo sacco. Non commettere tuttavia l'imprudenza di pensare che sia poi così facile, soprattutto in un settore tanto navigato come l'analisi, trovare risultati originali o soluzioni innovative a vecchi problemi. E giusto perché il mio discorso non dia l'impressione d'essere solamente aria e fumo, provate a dare una cliccatina QUI. Saluti...
Ora, carlo, non fraintendermi, ma di risultati analoghi al tuo sono pieni zeppi un po' tutti i libri di analisi. Resta comunque lodevole l'impegno, se certi percorsi dimostrativi (concedimi il privilegio del dubbio, dacché non ti conosco) sono - come sempre è detto in questi casi! - tutta e sola farina del tuo sacco. Non commettere tuttavia l'imprudenza di pensare che sia poi così facile, soprattutto in un settore tanto navigato come l'analisi, trovare risultati originali o soluzioni innovative a vecchi problemi. E giusto perché il mio discorso non dia l'impressione d'essere solamente aria e fumo, provate a dare una cliccatina QUI. Saluti...
"carlo23":
Se qualcuno conosce risultati simili, magari anche senza saper la dimostrazione, sarebbe gentile a postarli.
Ciao!
Mi rispondo da solo, cercando assiduamente su wolfram function site, per chi non lo conoscesse è un sito con migliaia di formule e risultati matematici senza neanche una dimostrazione però, ho scoperto che il mio non è un risultato nuovo, ma era già stato scoperto niente meno da il grande Eulero!
Purtroppo come dicevo wolfram non riporta la dimostrazione di Eulero quindi non sò se sia o meno simile alla mia, anche se credo sia diversa poichè Eulero ha ricavato i valori pari di $zeta$ (un problema simile al mio risultato) ricorrendo alla formula produttuale della funzione seno, è probabile che abbia fatto qualcosa di simile per il mio risultato mentre io di seno non ne ho neanche parlato.
Ciao!
"eafkuor":
Ogni tanto non riesco a credere che hai 14 anni... :O
Beh, comunque mi chiedo se si possano calcolare altri valori di quella particolare serie, ad esempio
$sum_(n=1)^infty 1/(3^n n^2)$
infatti la mia formula funzionava giusto per $2$ poichè $1/2=1-1/2$, come fare in altri casi?
Se qualcuno conosce risultati simili, magari anche senza saper la dimostrazione, sarebbe gentile a postarli.
Ciao!
Ogni tanto non riesco a credere che hai 14 anni... :O
"eafkuor":
Ma dai, non devi neanche chiedercelo!
Dallo sviluppo in serie di Maclaurin di $ln(1+x)$ ricaviamo
$int {ln(1-x)}/x dx=- sum_(n=1)^infty x^n/(n^2)$
ora prendendo $alpha in ]0,1[$ abbiamo
$int_0^alpha {ln(1-x)}/x dx =- sum_(n=1)^infty alpha^n/(n^2)$
possiamo fare il cambio di variabile $x=1-e^-y$ e $dx=e^-ydy$
$int_0^-ln(1-alpha) y/(1-e^-y) dy = sum_(n=1)^infty alpha^n/(n^2)$
sviluppando in serie l'integrale
$int_0^-ln(1-alpha) sum_(n=1)^infty ye^(-ny) dy = sum_(n=1)^infty alpha^n/(n^2)$
e sapendo che per $n != 0$ si ha
$int_0^-ln(1-alpha) ye^(-ny)=((1-alpha)^n[nln(1-alpha)-1]-1)/k^2
otteniamo
$sum_(n=1)^infty ((1-alpha)^n[nln(1-alpha)-1]+1)/k^2 =sum_(n=1)^infty alpha^n/(n^2)$
facendo il pratico cambio $1-alpha=beta$ si ha
$sum_(n=1)^infty ((beta)^n[nln(beta)-1]+1)/k^2 =sum_(n=1)^infty (1-beta)^n/(n^2)$
da cui manipolando e ricordando che $zeta(2)=pi^2/6$ si ha
$pi^2/6-ln(beta)ln(1-beta)=sum_(n=1)^infty (beta^n+(1-beta)^n)/(n^2)$
il mio risultato si ricava ponendo $beta=1/2$. Altri risultati interessanti, ma più complessi, si possono ottenere ponendo $beta=e^-1$,$beta=e^(-pi^2/6)$... però ricordando che deve essere $beta in ]0,1[$.
Ciao!
Ma dai, non devi neanche chiedercelo!
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