Relazione tra funzioni dei divisori

[TomSawyer1]

Qualcuno saprebbe dirmi qualcosa sulla relazione tra la funzione che somma i divisori di un numero, i.e. sigma(n), e quella che conta i divisori di un numero, i.e. d(n)?

[carlo232]

"Crook":Qualcuno saprebbe dirmi qualcosa sulla relazione tra la funzione che somma i divisori di un numero, i.e. sigma(n), e quella che conta i divisori di un numero, i.e. d(n)?

Non ho capito bene la tua domanda però so un po' di cose sulla funzione sigma generalizzata ovvero la funzione definita
come $\sigma_a(n)$ uguale alla somma delle potenze a-esime di tutti i divisori di n.

$sigma_a(n)=sum_(d|n) d^a$

Per a=0 si ha la funzione che conta i divisori di un numero a volte anche indicata con d(n), e per a=1 si ha funzione che somma i divisori di un numero.

Alcuni risultati generali sono

$sum_(n=1)^(\infty) (sigma_k(n))/(n^s)=zeta(s)zeta(s-k)$

dove $zeta(s)$ è la funzione zeta di Riemann.

$sum_(n=1)^(\infty) sigma_1(n)x^n=sum_(n=1)^(\infty) x^n/(1-x^n)$

$-sum_(n=1)^(\infty) ln(1-x^n)=sum_(n=1)^(\infty) x^n/(sigma_1(n))$

$sum_(n=1)^(N) sigma_1(n)=Nzeta(2)+O(N)$

$sum_(n=1)^(N) sigma_0(n)=N(lnN+gamma+O(x^-1))+O(N)$

dove $gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni