Quesito di logica
Salve,
volevo postarlo nel forum di logica ma poi dandoci un'occhiata mi è sembrato un dubbio troppo banale per quel forum
Potete farmi un "valore" di X e uno di Y che rendono vera la proposizione 1 (che segue) e falsa la proposizione 2?
Proposizione 1: \(\displaystyle X \Rightarrow Y \)
Proposizione 2: \(\displaystyle !Y \Rightarrow !X \)
volevo postarlo nel forum di logica ma poi dandoci un'occhiata mi è sembrato un dubbio troppo banale per quel forum
Potete farmi un "valore" di X e uno di Y che rendono vera la proposizione 1 (che segue) e falsa la proposizione 2?
Proposizione 1: \(\displaystyle X \Rightarrow Y \)
Proposizione 2: \(\displaystyle !Y \Rightarrow !X \)
Risposte
Intendevo che da un'implicazione $A -> B$ non puoi trarre questa
NON sono equivalenti.
"jack22":
Per esempio, è ovvio che possiamo trarne \( A \to B \lor C \) per qualunque \( C \)
NON sono equivalenti.
"axpgn":
Se è così quella che hai scritto non è equivalente ad un'implicazione ...
Ma non avevi detto che l'implicazione originaria e la contrapositiva hanno sempre lo stesso valore di verità?
Quindi sono equivalenti. Se ti dico una o se ti dico l'altra non cambia niente, no?
Cosa intendi per "trarne conclusioni" ? Trovare proposizioni equivalenti ?
Se è così quella che hai scritto non è equivalente ad un'implicazione ...
Un'implicazione $A\ ->\ B$ la puoi riscrivere così $not A\ vv B$
Se è così quella che hai scritto non è equivalente ad un'implicazione ...
Un'implicazione $A\ ->\ B$ la puoi riscrivere così $not A\ vv B$
A partire da \( A \to B \), quali altre conclusioni possiamo trarne, oltre a \( \neg B \to \neg A\)?
Mi riferisco a conclusioni non banali. Per esempio, è ovvio che possiamo trarne \( A \to B \lor C \) per qualunque \( C \)
Mi riferisco a conclusioni non banali. Per esempio, è ovvio che possiamo trarne \( A \to B \lor C \) per qualunque \( C \)
Corretta la svista, grazie.
Lo so, può sembrare una cosa banale, un esercizio vacuo, però a me sembra una cosa interessante dal punto di vista logico.
Lo so, può sembrare una cosa banale, un esercizio vacuo, però a me sembra una cosa interessante dal punto di vista logico.
@Indrjo
[ot]Correggila, così non va bene ...[/ot]
Non è proprio così ... io mi sono limitato a dire che quelle due implicazioni hanno lo stesso valore di verità, la tautologia l'hai costruita tu "collegando" le due; se permetti, però, questo è un esercizio un po' "vacuo", nel senso che se hai due proposizioni che hanno lo stesso valore di verità (ovvero equivalenti) puoi sempre costruire una bi-implicazione con le due proposizioni.
È più "utile/interessante" prendere una proposizione (relativamente) complicata e dimostrare che è una tautologia (quando lo è
) ... IMHO
Cordialmente, Alex
[ot]Correggila, così non va bene ...[/ot]
Non è proprio così ... io mi sono limitato a dire che quelle due implicazioni hanno lo stesso valore di verità, la tautologia l'hai costruita tu "collegando" le due; se permetti, però, questo è un esercizio un po' "vacuo", nel senso che se hai due proposizioni che hanno lo stesso valore di verità (ovvero equivalenti) puoi sempre costruire una bi-implicazione con le due proposizioni.
È più "utile/interessante" prendere una proposizione (relativamente) complicata e dimostrare che è una tautologia (quando lo è
) ... IMHOCordialmente, Alex
Sì.
Questa cosa si può esprimere dicendo brevemente che
\[(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)\]
è una tautologia. Infatti essendo sempre vera e trattandosi di una coimplicazione, devono avere entrambe lo stesso valore di verità $A \Rightarrow B$ e $\neg B \Rightarrow \neg A$.
"axpgn":
No posibile ... la 2) è lla "contrapositive" della 1) (non so come si dica in italiano ...
Questa cosa si può esprimere dicendo brevemente che
\[(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)\]
è una tautologia. Infatti essendo sempre vera e trattandosi di una coimplicazione, devono avere entrambe lo stesso valore di verità $A \Rightarrow B$ e $\neg B \Rightarrow \neg A$.
"Indrjo Dedej":
... Ho visto anche la tua risposta e anche tu hai usato un tautologia.
Ti stai riferendo a me? Nel caso, dove?
"jack22":
Grazie!
Potete farmi (per curiosità personale) un esempio con questa proposizione?
\( ((\lnot A \to B) \land (\lnot A \to \lnot B)) \to A \)
Dovrebbe essere la reductio ad absurdum ma quella formula su wikipedia non c'è
Qui c'è scritto che la stessa cosa [\(\lnot A\)] implica sia \(B\) sia il suo contrario \(\lnot B\). Questo non è possibile perché \(B\) può essere vera o falsa, ma non entrambe; quindi \(\lnot A\) non può essere vera, quindi \(A\) è vera.
@axpgn
Visto il primo post ho immaginato volesse delle equivalenze logiche.
Ho visto anche la tua risposta e anche tu hai usato un tautologia.
@jack22
Prendiamo il tuo esempio. Sappiamo che se il gallo canta, il sole è sorto. Ma il sole non è sorto. Cosa deduciamo? Il gallo non canta. E questo è il primo di quello che ti avevo proposto.
Il secondo l'hai visto tu.
Vediamo il terzo. Il terzo fornisce un modo per negare una implicazione: per negare la verità di "se il gallo canta, il sole è sorto" mi basta dire che "il gallo canta, ma il sole non è sorto".
A me quella forma che tu riporti mi sembra un po' troppo sofisticata. E anche facendo un esempio non credo si capisca.
"axpgn":
Una tautologia è una proposizione che è sempre vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni semplici che la compongono; non mi pare che sia ciò che chiede ...
Visto il primo post ho immaginato volesse delle equivalenze logiche.
"jack22":
Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera?
Ho visto anche la tua risposta e anche tu hai usato un tautologia.
@jack22
Prendiamo il tuo esempio. Sappiamo che se il gallo canta, il sole è sorto. Ma il sole non è sorto. Cosa deduciamo? Il gallo non canta. E questo è il primo di quello che ti avevo proposto.
Il secondo l'hai visto tu.
Vediamo il terzo. Il terzo fornisce un modo per negare una implicazione: per negare la verità di "se il gallo canta, il sole è sorto" mi basta dire che "il gallo canta, ma il sole non è sorto".
A me quella forma che tu riporti mi sembra un po' troppo sofisticata. E anche facendo un esempio non credo si capisca.
"jack22":
Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera?
Cosa intendi? Non capisco ...
@Indrjo
Una tautologia è una proposizione che è sempre vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni semplici che la compongono; non mi pare che sia ciò che chiede ...
"Indrjo Dedej":
La reductio ab absurdum la puoi esprimere in diversi modi: per esempio
$[(A \Rightarrow B) ^^ \neg B] \Rightarrow \neg A$
$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$
$\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A ^^ \neg B)$
Esistono anche altri modi equivalenti. Quello che citi tu non l'ho mai visto.
Questa forma l'ho trovata qui (ma non so se è giusta)
Cosa intendi? Farti vedere che è sempre vera o come si usa?
Per esempio, per la contrapositiva:
\( \displaystyle P\rightarrow Q \Leftrightarrow \displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P \)
mi sono fatto l'esempio:
P="il gallo ha cantato"
Q="il sole è sorto"
Se il gallo ha cantato, allora il sole è sorto. Se il sole non è sorto, allora il gallo non ha cantato (perchè se avesse cantato il sole sarebbe sorto)
Qualcosa del genere
La reductio ab absurdum la puoi esprimere in diversi modi: per esempio
$[(A \Rightarrow B) ^^ \neg B] \Rightarrow \neg A$
$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$
$\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A ^^ \neg B)$
Esistono anche altri modi equivalenti. Quello che citi tu non l'ho mai visto.
Cosa intendi? Farti vedere che è sempre vera o come si usa?
Poi un'altra domanda: a che livelli punta il tuo interesse?
$[(A \Rightarrow B) ^^ \neg B] \Rightarrow \neg A$
$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$
$\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A ^^ \neg B)$
Esistono anche altri modi equivalenti. Quello che citi tu non l'ho mai visto.
"jack22":
Potete farmi (per curiosità personale) un esempio con questa proposizione?
Cosa intendi? Farti vedere che è sempre vera o come si usa?
Poi un'altra domanda: a che livelli punta il tuo interesse?
Grazie!
Potete farmi (per curiosità personale) un esempio con questa proposizione?
\( ((\lnot A \to B) \land (\lnot A \to \lnot B)) \to A \)
Dovrebbe essere la reductio ad absurdum ma quella formula su wikipedia non c'è
Potete farmi (per curiosità personale) un esempio con questa proposizione?
\( ((\lnot A \to B) \land (\lnot A \to \lnot B)) \to A \)
Dovrebbe essere la reductio ad absurdum ma quella formula su wikipedia non c'è
Con $!X$ si intende la negazione di $X$ ? Se è così "contronominali" intendevi forse?
Cerca le tautologie.
"jack22":
Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera? Dove posso trovare dispense che trattino di questi argomenti?
Cerca le tautologie.
Ottimo grazie 
Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera?
Dove posso trovare dispense che trattino di questi argomenti?
Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera?
Dove posso trovare dispense che trattino di questi argomenti?
No posibile ... la 2) è la "contrapositive" della 1) (non so come si dica in italiano ... ) ... ovvero se è vera una delle due, è vera anche l'altra ... e se è falsa una delle due è falsa anche l'altra ... in definitiva, hanno sempre lo stesso valore di verità
) ... ovvero se è vera una delle due, è vera anche l'altra ... e se è falsa una delle due è falsa anche l'altra ... in definitiva, hanno sempre lo stesso valore di verità
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