$prod_(1)^(oo)sqrt(k) in ZZ$ ?
Un risultato strano: è possibile che:
$prod_(1)^(oo)sqrt(k) in ZZ$
sia vera?
Avrei trovato una dimostrazione:
Essendoci nella lista dei fattori da moltiplicare fra loro le radici quadrate di ogni numero naturale, per ogni radice di un numero $n$ sarà presente, più avanti, anche quella di $n^3$. Questo perché la lista dei fattori è infinita.
Ma essendo $sqrt(x)*sqrt(x^3)=sqrt(x^4)=x^2$, ed essendo $x,x^2 in ZZ$, allora il prodotto sarà composto da fattori interi!
Due domande: se siete così gentili da rispondere, vi ringrazio di cuore.
1) La dimostrazione è corretta?
2) E' un risultato originale? (Questo lo ritengo assai improbabile
, quindi altra domanda: se non è originale, chi l'ha dimostrata?)
3)Già che ci siamo, vista la dimostrazione, è vero anche che: $prod_(1)^(oo)sqrt(k) = prod_(1)^(oo)k^2$ ?
Grazie per la vostra attenzione e per la collaborazione.
andrew
$prod_(1)^(oo)sqrt(k) in ZZ$
sia vera?
Avrei trovato una dimostrazione:
Essendoci nella lista dei fattori da moltiplicare fra loro le radici quadrate di ogni numero naturale, per ogni radice di un numero $n$ sarà presente, più avanti, anche quella di $n^3$. Questo perché la lista dei fattori è infinita.
Ma essendo $sqrt(x)*sqrt(x^3)=sqrt(x^4)=x^2$, ed essendo $x,x^2 in ZZ$, allora il prodotto sarà composto da fattori interi!
Due domande: se siete così gentili da rispondere, vi ringrazio di cuore.
1) La dimostrazione è corretta?
2) E' un risultato originale? (Questo lo ritengo assai improbabile
, quindi altra domanda: se non è originale, chi l'ha dimostrata?)3)Già che ci siamo, vista la dimostrazione, è vero anche che: $prod_(1)^(oo)sqrt(k) = prod_(1)^(oo)k^2$ ?
Grazie per la vostra attenzione e per la collaborazione.
andrew
Risposte
Sì il succo è che quella produttoria è un simbolo che come è stato detto è solo l'abbreviazione del limite di una successione. Dato che questo limite è infinito non si può affermare che quella produttoria (come simbolo) rappresenti un numero quindi non è in particolar modo un intero.
Quanto alla domanda: "allora possiamo almeno affermare con certezza che $∏_1^∞ksqrt$ è uguale al prodotto di un'infinità di numeri interi?" io la penserei così:
prima di dire se a=b bisogna che definiamo a e b in maniera inequivocabile.
a è il limite di una successione divergente cioè non esiste: dire che una successione numerica è divergente vuol dire che non esiste un numero intorno al quale la successione si "addensa" all'infinito, bensì posso trovare un termine della successione più grande di qualsiasi costante positiva fissata.
b=prodotto infinito di numeri interi: anche questa non è una definizione perchè il prodotto è un'operazione e come tale agisce su un numero finito (in realtà 2) di numeri. Non ha sesno parlare di prodotto infinito. Anche qui stiamo forzando le parole per sottintendere un passaggio al limite.
Allora se fai queste considerazioni ti accorgi che le due cose sono uguali perchè sono definite nella stessa maniera cioè a=a.
Quanto alla domanda: "allora possiamo almeno affermare con certezza che $∏_1^∞ksqrt$ è uguale al prodotto di un'infinità di numeri interi?" io la penserei così:
prima di dire se a=b bisogna che definiamo a e b in maniera inequivocabile.
a è il limite di una successione divergente cioè non esiste: dire che una successione numerica è divergente vuol dire che non esiste un numero intorno al quale la successione si "addensa" all'infinito, bensì posso trovare un termine della successione più grande di qualsiasi costante positiva fissata.
b=prodotto infinito di numeri interi: anche questa non è una definizione perchè il prodotto è un'operazione e come tale agisce su un numero finito (in realtà 2) di numeri. Non ha sesno parlare di prodotto infinito. Anche qui stiamo forzando le parole per sottintendere un passaggio al limite.
Allora se fai queste considerazioni ti accorgi che le due cose sono uguali perchè sono definite nella stessa maniera cioè a=a.
"franced":
[quote="andrew.cgs"]Un risultato strano: è possibile che:
$prod_(1)^(oo)sqrt(k) in ZZ$
sia vera?
Dunque, tu hai un prodotto infinito.
Possiamo stabilire che il limite di questo prodotto sia intero?
Per poter stabilire che un numero sia intero, dobbiamo prima avere il numero tra le mani, giusto?
Il tuo prodotto infinito diverge, quindi la tua congettura non ha senso![/quote]
Lo so:
"andrew.cgs":
La mia inesperienza mi porta a fare errori banali: meno male che ci siete voi!
Comunque, se ∞ non è reale (quindi neanche intero), allora possiamo almeno affermare con certezza che ∏1∞k è uguale al prodotto di un'infinità di numeri interi?
Il mio precedente post fa un'altra domanda, visto che la prima era insensata.
"andrew.cgs":
Un risultato strano: è possibile che:
$prod_(1)^(oo)sqrt(k) in ZZ$
sia vera?
Dunque, tu hai un prodotto infinito.
Possiamo stabilire che il limite di questo prodotto sia intero?
Per poter stabilire che un numero sia intero, dobbiamo prima avere il numero tra le mani, giusto?
Il tuo prodotto infinito diverge, quindi la tua congettura non ha senso!
"andrew.cgs":
se si può considerare numero intero anche se è infinito...
La mia inesperienza mi porta a fare errori banali: meno male che ci siete voi!
Comunque, se $oo$ non è reale (quindi neanche intero), allora possiamo almeno affermare con certezza che $prod_1^(oo)sqrt(k)$ è uguale al prodotto di un'infinità di numeri interi?
In precedenza ho messo che dava un prodotto intero assumendo per vero che $oo$ fosse intero. Visto che non lo è, possiamo almeno dire, in questo caso, che la produttoria citata da me sia uguale al prodotto di infiniti numeri interi.
Insomma, uguale a $1*4*9*16*25*36*49*81*100*121*...$, saltando cioè tutte le seste potenze?
Se ho capito bene ciò che intendevate dire nei vostri post, il problema stava nel fatto che $oo$ non è $ZZ$. Se è così, si può dichiarare risolta la questione, o qualcosa non va ancora bene?
Grazie ancora!
andrew
Beh, diciamo che ci sono già state discussioni sul significato di una produttoria infinita... Ma adesso non trovo il thread.
Leggendo il simbolo $\Pi{k=1}^\infty{a_k}$, l'ho inteso come $\lim_{n \rightarrow \infty}{\Pi{k=1}^n{a_k}}$, se così non è non so cosa possa significare nella mente di andrew.
Altrimenti si può provare a definire una produttoria infinita attraverso la serie corrispondente.
Mi spiego: voglio calcolare $\Pi{k=1}^\infty{a_k}$.
Scrivo $a_k = e^{\log{a_k}}$ e decido che $\Pi{k=1}^\infty{a_k} = \sum_{k=1}^\infty{\log{a_k}}$, a questo punto dovrei solo cercare di calcolare il limite della serie $\sum_{k=1}^\infty{\log{a_k}}$.
Leggendo il simbolo $\Pi{k=1}^\infty{a_k}$, l'ho inteso come $\lim_{n \rightarrow \infty}{\Pi{k=1}^n{a_k}}$, se così non è non so cosa possa significare nella mente di andrew.
Altrimenti si può provare a definire una produttoria infinita attraverso la serie corrispondente.
Mi spiego: voglio calcolare $\Pi{k=1}^\infty{a_k}$.
Scrivo $a_k = e^{\log{a_k}}$ e decido che $\Pi{k=1}^\infty{a_k} = \sum_{k=1}^\infty{\log{a_k}}$, a questo punto dovrei solo cercare di calcolare il limite della serie $\sum_{k=1}^\infty{\log{a_k}}$.
"codino75":
secondo me innanzitutto dobbbiamo metterci d'accordo su cosa si intende per
$prod_1^oo sqrt K$
quoto in pieno codino. Il fatto è che $prod_1^oo sqrt K$ non sappiamo precisamente cosa sia: un prodotto infinito di numeri come lo possiamo definire un numero? Ad esempio, $sum_1^oo (1/n!)$ sappiamo essere uguale a $e$, perchè è dimostrto che converge, e sappiamo a quale preciso numero converge. Per questo possiamo quindi considerarla un numero a tutti gli effetti. Il problema della tua serie è che non converge a un numero ben preciso, anzi, sembra piuttosto impaziente di divergere
E $+oo$ non appatiene nemmeno ai reali, come fa ad appartenere agli interi?
"fedeb":
un trucchetto grazioso che si puo sfruttare sulle serie divergenti: dimostro che la serie armonica diverge
$1+1/2+1/3+1/4+...>1/2+1/2+1/4+1/4+...$ sostituendo ogni termine 'in posizione dispari' nel LHS con un numero minore nel RHS. appare evidente pero che $1/2+1/2=1$, $1/4+1/4=1/2$ e cosi via , e la somma di tutto cio è proprio la serie armonica. si ha quindi $s>s$, assurdo.
Se la somma procede all'infinito, allora $1+1/2+1/3+1/4...=1/2+1/2+1/4+1/4...$. Non lo nego. Per lo stesso motivo affermo che possono essere moltiplicate fra loro le radici quadrate di tutti i numeri naturali per ottenere un risultato intero. Ovviamente la serie di radici quadrate dev'essere infinita, e anche il prodotto sarà una serie infinita di numeri interi, e se si può considerare numero intero anche se è infinito...
un trucchetto grazioso che si puo sfruttare sulle serie divergenti: dimostro che la serie armonica diverge
$1+1/2+1/3+1/4+...>1/2+1/2+1/4+1/4+...$ sostituendo ogni termine 'in posizione dispari' nel LHS con un numero minore nel RHS. appare evidente pero che $1/2+1/2=1$, $1/4+1/4=1/2$ e cosi via , e la somma di tutto cio è proprio la serie armonica. si ha quindi $s>s$, assurdo.
quello che volevo far emergere da questa mezza barzelletta è che credo che con gli infiniti certi ragionamenti perdano senso... premesso che non ho mai letto nulla sull'argomento, credo che Cantor abbia dato un notevole contributo nella risoluzioni di simili problemi (se non sbaglio differenziando gli infiniti in ordini diversi)
$1+1/2+1/3+1/4+...>1/2+1/2+1/4+1/4+...$ sostituendo ogni termine 'in posizione dispari' nel LHS con un numero minore nel RHS. appare evidente pero che $1/2+1/2=1$, $1/4+1/4=1/2$ e cosi via , e la somma di tutto cio è proprio la serie armonica. si ha quindi $s>s$, assurdo.
quello che volevo far emergere da questa mezza barzelletta è che credo che con gli infiniti certi ragionamenti perdano senso... premesso che non ho mai letto nulla sull'argomento, credo che Cantor abbia dato un notevole contributo nella risoluzioni di simili problemi (se non sbaglio differenziando gli infiniti in ordini diversi)
Tu hai dimostrato che SE quella produttoria converge, allora converge ad un intero. Ma si dà il caso che diverga...
secondo me innanzitutto dobbbiamo metterci d'accordo su cosa si intende per
$prod_1^oo sqrt K$
$prod_1^oo sqrt K$
Ecco cosa non andava nel punto 3 !!!
La risposta alla terza domanda è negativa, ed ecco perchè:
$prod_1^(oo)sqrt(k)=sqrt(1)*sqrt(2)*sqrt(3)*...$
L'avevo dimostrato dichiarando che si potevano anzitutto moltiplicare $sqrt(x)*sqrt(x^3)*$, allora, ad esempio con $x=2$, l'8 verrà semplificato, e non sarà moltiplicato per il proprio cubo, che a sua volta però potrà essere moltiplicato per il proprio cubo.
Se l'8 sparisce, però, non si avrà $sqrt(8)*sqrt(8^3)=sqrt(8^4)=8^2=64$, quindi 64 non sarà compreso nella lista dei fattori quadrati perfetti in $prod_1^(oo)k^2$. E da 49 si passerà subito ad 81 ! E questo vale per tutti i numeri che sono $x^6$, cioè seste potenze perfette, come il 64, che è $$.
Giusto?
(Il procedimento qui riportato non dovrebbe però invalidare $prod_1^(oo)sqrt(k) in ZZ$).
Grazie ancora per l'attenzione.
La risposta alla terza domanda è negativa, ed ecco perchè:
$prod_1^(oo)sqrt(k)=sqrt(1)*sqrt(2)*sqrt(3)*...$
L'avevo dimostrato dichiarando che si potevano anzitutto moltiplicare $sqrt(x)*sqrt(x^3)*$, allora, ad esempio con $x=2$, l'8 verrà semplificato, e non sarà moltiplicato per il proprio cubo, che a sua volta però potrà essere moltiplicato per il proprio cubo.
Se l'8 sparisce, però, non si avrà $sqrt(8)*sqrt(8^3)=sqrt(8^4)=8^2=64$, quindi 64 non sarà compreso nella lista dei fattori quadrati perfetti in $prod_1^(oo)k^2$. E da 49 si passerà subito ad 81 ! E questo vale per tutti i numeri che sono $x^6$, cioè seste potenze perfette, come il 64, che è $$.
Giusto?
(Il procedimento qui riportato non dovrebbe però invalidare $prod_1^(oo)sqrt(k) in ZZ$).
Grazie ancora per l'attenzione.
@ e^iteta
Innanzitutto, grazie per la risposta.
Ho verificato ma non mi sembra ci siano problemi simili a quello che hai citato, almeno nel primo punto. Sul terzo inizio ad avere qualche dubbio...
Innanzitutto, grazie per la risposta.
Ho verificato ma non mi sembra ci siano problemi simili a quello che hai citato, almeno nel primo punto. Sul terzo inizio ad avere qualche dubbio...
guarda io nn ho molta voce in capitolo per risponderti, però onestamente mi sembra un ragionamento analogo a quando si dice che $sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n=1-1+1-1+1-1+1...=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=0$ che però è errato come tutti sanno. in poche parole credo che siccome quella produttoria non converge tu non possa fare questa "ricombinazione" che si baserebbe poi sulla proprietà commutativa..
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