Problemino geometria

[alfiotto]

si vogliono collegare due punti P e Q di un teritorio piano, situati dalle parti opposte di un canale retilineo che ha larghezza costante. Il punto P dista 1 Km dal canale, mentre il punto Q dista 3 Km dal canale. Fissata una riva del canale, sia P' il punto su quella riva che ha distanza minima da P. Inoltre sia Q' il punto, su quella stessa riva, che ha distanza minima da Q. supponendo che il ponte per attraversare il canale sia perpendicolare alle sponde, dove conviene costruire il ponte per minimizzare la lunghezza del percorso fra P e Q?

mi potete dare anche un'idea del ragionamento da seguire?
grazie

Alfi

[wedge]

scusate ragazzi, ho un po' questo vizio di porre sempre tutto sul piano cartesiano...
bravo archimede, molto elegante!

[alfiotto]

grazie ragazzi.
anzi, mitici...
alla prossima

Alfi

[vecchio1]

perfetto, vedo che la mia idea è stata già rapita da altri! bella la soluzione di archimende! anche se ammetto che avevo subito pensato ad un procedimento tipo quello di wedge...

[Sk_Anonymous]

Si puo' ragionare piu' elementarmente cosi'.
Poiche il ponte deve essere perpendicolare alle due sponde,tutti i cammini che vanno da P a Q hanno in comune (fig1) la distanza tra le stesse (ovvero la larghezza del canale) che si puo' quindi eliminare.E' allora evidente ,a questo punto, che il minimo cammino
e' quello che unisce P e Q ed il punto X in cui va costruito il ponte
e' l'intersezione di PQ con le due sponde riunite( fig2).
Dalla similitudine dei triangoli PXP' e QXQ' si trae:
PX/XQ=P'X/XQ'=PP'/QQ'=1/3.
In conclusione il punto X e' quello che ,a partire da P o da P',divide
PQ o P'Q' nel rapporto 1:3.
ciao.

[wedge]

mettiamo P al centro di un piano cartesiano P (0,0), il canale sarà definito da due rette verticali x=1 e x=(1+L) con L larghezza del canale. Q si troverà in (L+4,d) (il problema non ci dice quanto distano tra loro P e Q!)
poniamo l'incognita k sull'asse y con 0 P'(1,k)
Q'(L+1,k)
la lunghezza del percorso sarà data da f(k)=PP'+QQ'+P'Q'=SQRT(k^2+1)+SQRT(9+d^2+k^2-2dk)+L
risolvendo la derivata prima f'(k)>0 avremo kmin=d/4
il risultato non dipende dalla larghezza del canale

[vecchio1]

secondo me manca la distanza tra Q' e P'...cmq in tal caso basterebbe esprimere tutto in funzione di d...e cmq concordo con Mamo, non dipnde sicuramente dalla lunghezza del ponte!!
bisogna solo minimizzare la funzione che vede sommarsi il segmento obliquo che va da A al ponte a quello che va da B al ponte.

ora devo andare e non ho tempo di stare a fare conti..
però appena torno a casa ci penso, ammesso che qualcuno non abbia già fatto

ciao
il vecchio

[MaMo2]

Penso che la soluzione non dipenda dalla larghezza del canale.

[alfiotto]

e già.
anch'io temo che la larghezza abbia una sua importanza e vada considerata. il problema è che non ne ho la più pallida idea di come fare!
comunque grazie.

Alfi

[david_e1]

Cosi' ad istinto direi che siccome il percorso piu' breve per andare da A a B e' quello passante per la retta individuata da questi due punti, conviene fare il ponte esattamente nel punto di incontro fra la retta che unisce P e Q e il canale.

Tuttavia cosi' facendo ho considerato la larghezza del canale trascurabile...

Altrimenti il problema diventa molto piu' complicato...