Problemino
Ecco un problemino interessante: determinare al variare di x nei reali non negativi il carattere del seguente limite: x^(x^(x^(x^(...))...) dove il numero di x tende a + infinito.
Dimostrare, se non si è fatto il punto precedente, che nel caso x=sqrt(2) il limite esiste ed è finito e determinarne il valore.
Dimostrare, se non si è fatto il punto precedente, che nel caso x=sqrt(2) il limite esiste ed è finito e determinarne il valore.
Risposte
Quando ti ho detto che è un attrattore ho voluto dire una cosa rigorosa! E cioè che nella prima delle due intersezioni il grafico di y=x^L interseca la retta y=L con pendenza in valore assoluto minore di 1! E poi non è vero che la successione è monotona, anzi concverge avvinghiandosi intorno al punto di attrazione alternativamente per difetto e per eccesso!
Cavia
Cavia
Eliminiamo questa scemata che è meglio.
Modificato da - publiosulpicio il 14/01/2004 23:34:12
Modificato da - publiosulpicio il 14/01/2004 23:34:12
Diciamo che la tua soluzione non è rigorosa, ma questo non lo dico solo per rompere le palle, infatti tu dici che se x=sqrt(2) c'è anche la soluzione L=4, ma questo è chiaramente assurdo, L o è uguale a 4 o è uguale a 2, si tratta pur sempre di un limite!!
Il fatto è che usi troppo liberamente l'equazione g(x)=x, dove g(x) è la funzione ricorsiva. Anche i risultati del primo punto sono giusti, ma l'argomentazione non è sicuramente esauriente, infatti tu parti dalla solita L^x=x, e massimizzi il valore di L, ma non si può usare L^x=x se non si è prima dimostrato che L esista per certi x. La cosa che consiglio di fare è la seguente: dimostrare che si tratta di una successione crescente, e questo è banale, (quando x>1 s'intende) ma limitata, questo implica l'esistenza del limite e quindi permette di usare L^x=x, che altrimenti non può essere usata, se non per avere un'idea di quale sia il valore per cui la funzione passa dal convergere al divergere, ma di certo non da una dimostrazione rigorosa!
Il fatto è che usi troppo liberamente l'equazione g(x)=x, dove g(x) è la funzione ricorsiva. Anche i risultati del primo punto sono giusti, ma l'argomentazione non è sicuramente esauriente, infatti tu parti dalla solita L^x=x, e massimizzi il valore di L, ma non si può usare L^x=x se non si è prima dimostrato che L esista per certi x. La cosa che consiglio di fare è la seguente: dimostrare che si tratta di una successione crescente, e questo è banale, (quando x>1 s'intende) ma limitata, questo implica l'esistenza del limite e quindi permette di usare L^x=x, che altrimenti non può essere usata, se non per avere un'idea di quale sia il valore per cui la funzione passa dal convergere al divergere, ma di certo non da una dimostrazione rigorosa!
Ok. C'è anche la soluzione L=4.
Ragiono così:
considero la funzione y=x^L (al variare di L) e la funzione y=L. Quando i due grafici sono tangenti? Impongo che la derivata di x^L valga uno e che la retta tangente abbia intercetta zero. Ciò avviene per x=e^(1/e)=1.44466786101.
Per valori di a
Cavia
Ragiono così:
considero la funzione y=x^L (al variare di L) e la funzione y=L. Quando i due grafici sono tangenti? Impongo che la derivata di x^L valga uno e che la retta tangente abbia intercetta zero. Ciò avviene per x=e^(1/e)=1.44466786101.
Per valori di a
Cavia
Si, la risposta alla seconda domanda è 2, comunque prima di arrivare ala soluzione dell'equazione sqrt(2)^x=x (che tra l'altro ha anche un'altra sol, bisogna dimostrare che quella che va bene è proprio 2) bisogna mostrare che il limite esiste... non è difficile, ma bisogna farlo.
Per quanti riguarda la prima domanda?
Per quanti riguarda la prima domanda?
Risposta volante:
Si tratta di calcolare se la successione con
a(0)=1,
a(n+1)=x^(a(n))
ha limite per n->+oo con x>0.
Se a(n)->L allora deve essere L=x^L
Per x=sqrt(2)=2^0.5 la condizione diventa
L=2^(L/2), che ammette la soluzione L=2.
Mi viene allora da scommettere che la risposta alla seconda domanda è 2. Per la prima, devo pensarci!
Cavia
Si tratta di calcolare se la successione con
a(0)=1,
a(n+1)=x^(a(n))
ha limite per n->+oo con x>0.
Se a(n)->L allora deve essere L=x^L
Per x=sqrt(2)=2^0.5 la condizione diventa
L=2^(L/2), che ammette la soluzione L=2.
Mi viene allora da scommettere che la risposta alla seconda domanda è 2. Per la prima, devo pensarci!
Cavia
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