Problemi di Hilbert

[Il Pitagorico]

Ho una grande curiosità riguardo ai 23 problemi di Hilbert, quali sono stati risolti, quali ancora no? E quelli risolti quale soluzione hanno? Mi potreste dare una spiegazione semplice semplice su ogni problema, per favore.
Vi ringrazio molto per la vostra attenzione.
Saluti
Il Pitagorico
PS. Su Wikipedia non ci ho capito niente ed è spiegato molto male

[Stellinelm]

"Paolo90":Un problema molto affascinante è il quinto, anche per la storia che c'è dietro alla sua risoluzione.

purtroppo non ne capisco neanchè l'enunciato ..

[Paolo902]

Un problema molto affascinante è il quinto, anche per la storia che c'è dietro alla sua risoluzione.

[Stellinelm]

"Delirium":
La questione della cardinalità a cui fai riferimento è leggermente diversa: infatti si può provare, utilizzando l'idea del paradosso di Russell, che \( \text{card} X < \text{card} \mathcal{P}(X)\) ove \(X\) è un insieme qualunque, finito o infinito.
La gerarchia degli infiniti nasce anche da questo fatto.

grz !

[Sk_Anonymous]

"Stellinelm":Mi incuriosisce il problema numero 1 : l'ipotesi del continuo .
Nonostante vi sia una dimostrazione in virtù della quale si ha che esistono infiniti più infiniti di altri ,
non riesco a "farmene una ragione" e mi chiedo : se si dimostrasse che in realtà
la diagonale di Cantor genera un paradosso per cui non esistono , in realtà , infiniti più infiniti di altri
l'ipotesi el continuo sarebbe in un certo senso "dimostrata" , non avendo ragion d'essere e se si come ?

Allora: l'ipotesi del continuo afferma che \(\displaystyle \aleph_1 = 2^{\aleph_0} \) e cioè che non esiste alcun insieme infinito che abbia cardinalità strettamente compresa tra quella di \(\displaystyle \mathbb{N} \) e di \(\displaystyle \mathbb{R} \). Intorno agli anni trenta del Novecento Gödel trova un modello detto dei costruibili ove \(\displaystyle \aleph_1 = 2^{\aleph_0} \); trent'anni dopo Paul Cohen ne trova un altro, detto dei generici, in cui \(\displaystyle \aleph_1 < 2^{\aleph_0} \). In sostanza si aveva che \[\text{ZF} \vdash \neg \text{CH} \] ma anche \[\text{ZF} \vdash \text{CH} \]
Ovverosia: \(\text{C(ontinuum) H(ypothesis)}\) è indipendente dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel.

La questione della cardinalità a cui fai riferimento è leggermente diversa: infatti si può provare, utilizzando l'idea del paradosso di Russell, che \( \text{card} X < \text{card} \mathcal{P}(X)\) ove \(X\) è un insieme qualunque, finito o infinito.
La gerarchia degli infiniti nasce anche da questo fatto.

[Stellinelm]

Mi incuriosisce il problema numero 1 : l'ipotesi del continuo .
Nonostante vi sia una dimostrazione in virtù della quale si ha che esistono infiniti più infiniti di altri ,
non riesco a "farmene una ragione" e mi chiedo : se si dimostrasse che in realtà
la diagonale di Cantor genera un paradosso per cui non esistono , in realtà , infiniti più infiniti di altri
l'ipotesi el continuo sarebbe in un certo senso "dimostrata" , non avendo ragion d'essere e se si come ?

[Zero87]

"Il Pitagorico":anche un po' di cose sull'Ipotesi di Riemann

"Il Pitagorico":Comunque ci sono tre a cui sono particolarmente interessato: il terzo, il settimo e il diciottesimo. Potreste darmi informazioni in più su questi?

Rimando anche io a wikipedia che per lo meno da molti riferimenti, alcuni anche piuttosto comprensibili (altre pagine di wikipedia intendo ).

[Seneca1]

@Il Pitagorico: non penso proprio che tu sia matematicamente maturo per addentrarti nell'argomento, se l'età che hai inserito sul forum corrisponde a verità. Ti consiglio di limitarti alle informazioni divulgative (per lo più sulla storia dei problemi che hai citato) che si trovano su Wikipedia.

[Il Pitagorico]

grazie Pianoth, comunque sto già leggendo un po' di roba che si concentra sull'ipotesi del continuo e sulla incompletezza della matematica e anche un po' di cose sull'Ipotesi di Riemann. Comunque ci sono tre a cui sono particolarmente interessato: il terzo, il settimo e il diciottesimo. Potreste darmi informazioni in più su questi?

[Pianoth]

È una domanda troppo generale, i problemi sono troppo complessi per dare una spiegazione semplice semplice su ogni problema... Il massimo che ti posso consigliare è di vedere sulla wikipedia in inglese, lì è spiegata piuttosto bene (concordo con te sul fatto che in italiano non è ben organizzata)... Se non conosci bene l'inglese al limite chiedi per i problemi che ti interessano di più, vedremo che cosa si può dire in modo che non sembrino troppo difficili (si spera). Comunque esiste anche un ventiquattresimo problema di Hilbert, non ancora risolto, che non fu pubblicato come parte della lista dei 23.