Problema da "Che cos'è la matematica?"
Per svagarmi mi sto dilettando in questi (semplici) esercizi dal mitico libro suddetto... ma mi sa che ho trovato un errore!
Possibile che ci sia un errore?
Esercizio (13) pagina 628:
Se $z$ è un numero complesso, dimostrare con il principio d'induzione che $z+1/z^n$ si può esprimere come un polinomio di grado $n$ nella quantità $w=z+1/z$.
Ovviamente l'asserto è vero per n=1
Ma se proviamo per n=2:
posto $z+1/z^2=a_0+a_1w+a_2w^2$ e fatti i dovuti conti, per il principio d'identità dei polinomi:
$a_2=0$
$a_1=1$
$a_0+2a_2=0$
$a_2=0$
$a_2=1$
che è chiaramente incompatibile.
Cos'ho sbagliato?
Possibile che ci sia un errore?
Esercizio (13) pagina 628:
Se $z$ è un numero complesso, dimostrare con il principio d'induzione che $z+1/z^n$ si può esprimere come un polinomio di grado $n$ nella quantità $w=z+1/z$.
Ovviamente l'asserto è vero per n=1
Ma se proviamo per n=2:
posto $z+1/z^2=a_0+a_1w+a_2w^2$ e fatti i dovuti conti, per il principio d'identità dei polinomi:
$a_2=0$
$a_1=1$
$a_0+2a_2=0$
$a_2=0$
$a_2=1$
che è chiaramente incompatibile.
Cos'ho sbagliato?
Risposte
Ho controllato nell'edizione inglese del libro. Il quesito che gli autori avevano in mente è quello indicato da Gabriel.
"Gaal Dornick":
e il problema "errato" allora ha soluzione?
Il problema "errato" non è errato se lo interpreti come ho fatto io. Infatti, per ogni $z!=0$, banalmente esiste sempre un polinomio di grado $n$ che mappa $z+1/z$ in $z+1/z^n$.
Puo' darsi che la mia lettura sia acrobatica
, ma il testo e' sufficientemente ambiguo da legittimare tale interpretazione.
A parte che per $n = 1$, è evidente che no.
@Fields
ok,tutto chiaro ora.
@Gabriel..così tu dici che c'è l'errore di stampa.. e il problema "errato" allora ha soluzione?
ok,tutto chiaro ora.
@Gabriel..così tu dici che c'è l'errore di stampa.. e il problema "errato" allora ha soluzione?
Refusi di stampa: sarebbe $z^n + 1/z^n$, e non $z + 1/z^n$. La tesi è banalmente vera per $n = 0$ ed $n = 1$. D'altronde, $(z + 1/z) \cdot (z^n + 1/z^n) = z^{n+1} + 1/z^{n+1} + z^{n-1} + 1/z^{n-1}$, per ogni $z \in CC$ \ $\{0\}$ ed ogni $n = 1, 2, \ldots$ I.e., $z^{n+1} + 1/z^{n+1} = (z + 1/z) \cdot (z^n + 1/z^n) - (z^{n-1} + 1/z^{n-1}) $. Da qui la tesi, per induzione estesa, ammesso $n \ge 1$. []
Semplicemente non puoi applicare il principio di identità dei polinomi. L'equazione $z+1/z^(n)=p(w)$ non vale per tutti gli $z$, perche' il polinomio $p(w)$ dipende da $z$, non e' fisso. La tua equazione si scrive correttamente cosi': $z+1/z^(n)=p_z(w)$, dove $p_z(w)$ e' un membro di una famiglia di polinomi indicizzata da $z$, e il fatto che due polinomi abbiano valori uguali per un valore di $z$ non implica chiaramente che siano uguali.
Mi sforzo, ma non riesco a capire, e non capisco come la mia dimostrazione non si mantenga valida: cioè: dov'è l'errore di approccio?
"Gaal Dornick":
Cos'ho sbagliato?
L'errore è che il testo non ti dice che esiste un polinomio $p(w)$ tale che per ogni $z!=0$ $z+1/(z^n)=p(w)$; bensì ti chiede di dimostrare che per ogni $z$ esiste un polinomio $p(w)$ tale che $z+1/(z^n)=p(w)$, avendo posto $w=z+1/z$.
In sostanza l'alternanza dei quantificatori cambia: $\exists\forall$ vs $\forall\exists$
Ho spostato qui questo post, mi sembra la sezione più idonea. Cancello l'altro tuo post in cui hai lincato questo.
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