Probabilita' (domanda quasi filosofica)
Ciao a tutti,
volevo chiedere maggiori informazioni su una questione che mi ha particolarmente colpito e che riguarda il calcolo delle probabilita' e le probabilita' in se'.
"Probabilmente" sara' una di quelle domande la cui risposta e' o troppo semplice o troppo difficile.
Se io lancio un dado ed esce 1, e poi lo rilancio, come fa il mio dado ad avere "memoria" dell'evento passato e quindi "probabilmente" a darmi un valore diverso dall'1? Qual e' la spiegazione fisico/matematica del fenomeno?
Che voi sappiate, posso trovare una spiegazione a questa domanda su quelche testo o su qualche sito?
Grazie!
L.
volevo chiedere maggiori informazioni su una questione che mi ha particolarmente colpito e che riguarda il calcolo delle probabilita' e le probabilita' in se'.
"Probabilmente" sara' una di quelle domande la cui risposta e' o troppo semplice o troppo difficile.
Se io lancio un dado ed esce 1, e poi lo rilancio, come fa il mio dado ad avere "memoria" dell'evento passato e quindi "probabilmente" a darmi un valore diverso dall'1? Qual e' la spiegazione fisico/matematica del fenomeno?
Che voi sappiate, posso trovare una spiegazione a questa domanda su quelche testo o su qualche sito?
Grazie!
L.
Risposte
Ciao a tutti e grazie per le risposte!
Ho capito dove ho sbagliato (errore anche piuttosto bruttino nella dimostrazioncina) e inoltre il modello matematico non si tocca perche' altrimenti si deve contraddire l'ipotesi di equiprobabilita'.
Quello su cui al limite si potrebbe sindacare (forse
) e' il modello statistico e in particolare se l'equiprobabilita' e la mancanza di memoria sono solo concetti astratti e buoni modelli per molti processi aleatori reali oppure sono modelli perfetti ma non del tutto ottimi. (che facciano schifo non lo prendo in considerazione
Intrepretare i dati del lotto sinceramente non mi eccita moltissimo, inoltre Stefano mi dice a questo livello e' particolarmente complicato.
Pero' si potrebbe tentare una simulazione informatica del problema.
Io non sono un brillante programmatore ma l'idea sarebbe quella di fare una serie di lanci di dadi e "scommettere" sui ritardi. Dopo parecchi lanci vedere se si va' in rosso oppure si guadagna.
Chissa?
Ciao,
L.
Ho capito dove ho sbagliato (errore anche piuttosto bruttino nella dimostrazioncina) e inoltre il modello matematico non si tocca perche' altrimenti si deve contraddire l'ipotesi di equiprobabilita'.
Quello su cui al limite si potrebbe sindacare (forse
) e' il modello statistico e in particolare se l'equiprobabilita' e la mancanza di memoria sono solo concetti astratti e buoni modelli per molti processi aleatori reali oppure sono modelli perfetti ma non del tutto ottimi. (che facciano schifo non lo prendo in considerazione Intrepretare i dati del lotto sinceramente non mi eccita moltissimo, inoltre Stefano mi dice a questo livello e' particolarmente complicato.
Pero' si potrebbe tentare una simulazione informatica del problema.
Io non sono un brillante programmatore ma l'idea sarebbe quella di fare una serie di lanci di dadi e "scommettere" sui ritardi. Dopo parecchi lanci vedere se si va' in rosso oppure si guadagna.
Chissa?
Ciao,
L.
Ah, non lo sapevo proprio! In ogni caso le mescoleranno le palline... credo... boh... mi sto inoltrando in particolari futili... Grazie del chiarimento cmq!!! Ciao
goblyn
goblyn
Cia goblyn,
quello che ho scritto dipende da come funziona concretamente l´estrazione del lotto. Da una settimana all´altra le urne vengono sigillate e chiuse, e non vengono utilizzate per altri motivi [almeno era cosí fino a qualche anno fa]. Per questo motivo la configurazione rimane sostanzialmente invariata da un´estrazione all´altra. Chiedo venia per non aver scritto esplicitamente questo dettaglio.
A presto
quello che ho scritto dipende da come funziona concretamente l´estrazione del lotto. Da una settimana all´altra le urne vengono sigillate e chiuse, e non vengono utilizzate per altri motivi [almeno era cosí fino a qualche anno fa]. Per questo motivo la configurazione rimane sostanzialmente invariata da un´estrazione all´altra. Chiedo venia per non aver scritto esplicitamente questo dettaglio.
A presto
Ciao Stefano.
Non capisco cosa intendi dire col fatto che "è un sistema fisico quello con cui si estraggono le palline".
Da un estrazione a quella del concorso successivo la configurazione delle palline sarà completamente sconvolta, no? Come fa tale sistema quindi ad avere memoria dello stato del concorso precedente?
Dal mio punto di vista estrazioni appartenenti a concorsi differenti sono indipendenti. Non esiste legame.
goblyn
Non capisco cosa intendi dire col fatto che "è un sistema fisico quello con cui si estraggono le palline".
Da un estrazione a quella del concorso successivo la configurazione delle palline sarà completamente sconvolta, no? Come fa tale sistema quindi ad avere memoria dello stato del concorso precedente?
Dal mio punto di vista estrazioni appartenenti a concorsi differenti sono indipendenti. Non esiste legame.
goblyn
Salve,
cerchiamo di chiarire i termini dei problemi. CONCRETAMENTE abbiamo un urna con delle palline con nunmeri da 1 a 90 che vengono estratte a 5 alla volta. IDEALMENTE si considera questo esperimento come un esperimento in cui i risultati successivi dell´esperimento sono fra loro indipendenti - torneró piú tardi sui limiti di questo modello e su come essi possano essere sfruttati.
Il modello IDEALE che si usa per analizzare questo tipo di esperimenti sono gli spazi di probabilitá; queste "cose" sono degli spazi che contengono tutti i risultati possibili e che ad ogni risultato o insieme di risultati associano un valore (la probabilitá) che si calcola come un integrale (o come una serie, per spazi discreti). La legge dei grandi numeri - che vale per successioni di esperimenti fra loro indipendenti - afferma che la misura nello spazio di probabilitá, di un evento che si discosti molto dal valore atteso diminuisce, quanto piú grande diviene il numero di esperimenti che ripetiamo.
Cosa significa questo in CONCRETO?
Significa che A PRIORI possiamo dire che piú effettuiamo prove, piú diminuisce la probabilitá che la frequenza effettiva differisca dalla frequenza teorica.
In altre parole, io posso dire ora: "Nelle prossime 10 prove la probabilitá che esca sempre testa - caso semplice del testa o croce - é 1/2^10"
Dato peró che nel nostro modello ideale gli esperimenti sono fra loro indipendenti, non posso affermare
"Dato che sono uscite 9 teste, la probabilitá che ora esca croce é 1/2 + e"
Questo sarebbe violare le regole che noi abbiamo messo come ipotesi dei nostri calcoli, ovvero che gli esperimenti siano fra loro indipendenti.
Nella REALTÁ peró, le prove non sono indipendenti.
Questo non vuol dire che abbiano ragione coloro che credono nella teoria dei ritardi, che é sbagliata. Vuol dire peró che il loro approccio non é in assoluto errato. Bisogna ricordare che, infatti, é un sistema fisico quello con cui vengono estratte le palline, che al suo interno tendono a conservare una configurazione simile. Quello che si puó dire, ad esempio, é che gruppi di numeri tendano ad uscire insieme, oppure, che per la struttura interna, che difficilmente cambia radicalmente nel tempo, le probabilitá di estrazione seguano dei cicli.
Analizzare da un punto di vista correttamente matematico-statistico queste faccende, tuttavia, richiede 2 cose
1) Tempo, per organizzare i dati
2) Scienza, per saperli interpretare
Infine vorrei dire che gli strumenti matematici che permettono di fare analisi di questo tipo sono notevolmente avanzati (direi Dottorato di Ricerca) e che sono a me noti solo molto superficialmente.
Spero di essere stato utile,
Stefano
cerchiamo di chiarire i termini dei problemi. CONCRETAMENTE abbiamo un urna con delle palline con nunmeri da 1 a 90 che vengono estratte a 5 alla volta. IDEALMENTE si considera questo esperimento come un esperimento in cui i risultati successivi dell´esperimento sono fra loro indipendenti - torneró piú tardi sui limiti di questo modello e su come essi possano essere sfruttati.
Il modello IDEALE che si usa per analizzare questo tipo di esperimenti sono gli spazi di probabilitá; queste "cose" sono degli spazi che contengono tutti i risultati possibili e che ad ogni risultato o insieme di risultati associano un valore (la probabilitá) che si calcola come un integrale (o come una serie, per spazi discreti). La legge dei grandi numeri - che vale per successioni di esperimenti fra loro indipendenti - afferma che la misura nello spazio di probabilitá, di un evento che si discosti molto dal valore atteso diminuisce, quanto piú grande diviene il numero di esperimenti che ripetiamo.
Cosa significa questo in CONCRETO?
Significa che A PRIORI possiamo dire che piú effettuiamo prove, piú diminuisce la probabilitá che la frequenza effettiva differisca dalla frequenza teorica.
In altre parole, io posso dire ora: "Nelle prossime 10 prove la probabilitá che esca sempre testa - caso semplice del testa o croce - é 1/2^10"
Dato peró che nel nostro modello ideale gli esperimenti sono fra loro indipendenti, non posso affermare
"Dato che sono uscite 9 teste, la probabilitá che ora esca croce é 1/2 + e"
Questo sarebbe violare le regole che noi abbiamo messo come ipotesi dei nostri calcoli, ovvero che gli esperimenti siano fra loro indipendenti.
Nella REALTÁ peró, le prove non sono indipendenti.
Questo non vuol dire che abbiano ragione coloro che credono nella teoria dei ritardi, che é sbagliata. Vuol dire peró che il loro approccio non é in assoluto errato. Bisogna ricordare che, infatti, é un sistema fisico quello con cui vengono estratte le palline, che al suo interno tendono a conservare una configurazione simile. Quello che si puó dire, ad esempio, é che gruppi di numeri tendano ad uscire insieme, oppure, che per la struttura interna, che difficilmente cambia radicalmente nel tempo, le probabilitá di estrazione seguano dei cicli.
Analizzare da un punto di vista correttamente matematico-statistico queste faccende, tuttavia, richiede 2 cose
1) Tempo, per organizzare i dati
2) Scienza, per saperli interpretare
Infine vorrei dire che gli strumenti matematici che permettono di fare analisi di questo tipo sono notevolmente avanzati (direi Dottorato di Ricerca) e che sono a me noti solo molto superficialmente.
Spero di essere stato utile,
Stefano
Io credo che l'errore consista nel pensare a k come ad una variabile.
Se k fosse variabile, siccome P(A)=1/k, anche l'evento A sarebbe variabile, cioè avremmo a che a fare non con un solo evento A, ma con una successione di eventi A(k): in questo caso le relazioni da noi scritte a cominciare da lim (n->00) P[ |f(A)-P(A)|< epslon ]=1, non sarebbero più lecite, nè tanto meno le conseguenze.
Quello che voglio dire è che l'uguaglianza F[k]=1/k sussiste solo se si suppone k prefissato, cioè solo se ci riferiamo allo stesso evento A. E tale uguaglianza, come già detto, non è affatto contraddittoria per k prefissato.
Se tu volessi cambiare k, avresti un altro evento A(k) e quindi un'altra Fk[k], mentre il limite lim (n->00) P[ |f(A)-P(A)|< epslon ]=1 si riferisce al medesimo evento A! Non è quindi utilizzabile per affermare l'esistenza dell'asintoto 1.
L'errore di fondo è quello di cambiare di volta in volta la probabilità dell'evento preso in considerazione.
Nel caso del gioco del lotto non c'è dubbio che k=90 e non puoi affatto considerare k variabile a meno che passi dal gioco del lotto ad un altro. Il tuo ragionamento non si può applicare al gioco del lotto, nè ad un altro qualsiasi gioco. E come se nel corso della tua dimostrazione cambiassi le regole e le modalità del gioco: è questo il motivo per cui poi le cose non tornano.
Angelo
Se k fosse variabile, siccome P(A)=1/k, anche l'evento A sarebbe variabile, cioè avremmo a che a fare non con un solo evento A, ma con una successione di eventi A(k): in questo caso le relazioni da noi scritte a cominciare da lim (n->00) P[ |f(A)-P(A)|< epslon ]=1, non sarebbero più lecite, nè tanto meno le conseguenze.
Quello che voglio dire è che l'uguaglianza F[k]=1/k sussiste solo se si suppone k prefissato, cioè solo se ci riferiamo allo stesso evento A. E tale uguaglianza, come già detto, non è affatto contraddittoria per k prefissato.
Se tu volessi cambiare k, avresti un altro evento A(k) e quindi un'altra Fk[k], mentre il limite lim (n->00) P[ |f(A)-P(A)|< epslon ]=1 si riferisce al medesimo evento A! Non è quindi utilizzabile per affermare l'esistenza dell'asintoto 1.
L'errore di fondo è quello di cambiare di volta in volta la probabilità dell'evento preso in considerazione.
Nel caso del gioco del lotto non c'è dubbio che k=90 e non puoi affatto considerare k variabile a meno che passi dal gioco del lotto ad un altro. Il tuo ragionamento non si può applicare al gioco del lotto, nè ad un altro qualsiasi gioco. E come se nel corso della tua dimostrazione cambiassi le regole e le modalità del gioco: è questo il motivo per cui poi le cose non tornano.
Angelo
E' passato un po' di tempo ma ancora ho questo dubbio, quindi continuo la vecchia discussione 
Riassumendo quindi vorrei capire se ha una qualche base matematica il fatto, ampiamente diffuso, che alcuni giocatori del lotto puntino sui numeri usciti da più tempo. Questo implicherebbe una contraddizione (ogni numero ha sempre la stessa probabilità di uscire a ciascuna estrazione) sciolta col fatto questi giocatori probabilmente sbagliano ad applicare la legge dei grandi numeri.
Il fatto e' che , riprendendo il vecchio discorso, k e' variabile e puo' essere quindi maggiore o minore di 1/epsilon.
Se e' minore allora vale quello che dicevo prima e cioe':
P[fk(A)=1]=F(k)
Se e' maggiore invece (per un numero k infinito di tentativi) :
epsilon*k > 1 e quindi
P[ fk(A) > 1 - k*epslon ] = F(k)
diventa
P[fk(A)]=F(k)=1
praticamente quindi F(k) sarebbe una funzione avente un asintoto in 1 e origine (0 , P(A) ).
Grazie, in particolare a te Angelo per le risposte,
Lorenzo
Modificato da - lorenzo il 10/03/2003 23:14:36
Riassumendo quindi vorrei capire se ha una qualche base matematica il fatto, ampiamente diffuso, che alcuni giocatori del lotto puntino sui numeri usciti da più tempo. Questo implicherebbe una contraddizione (ogni numero ha sempre la stessa probabilità di uscire a ciascuna estrazione) sciolta col fatto questi giocatori probabilmente sbagliano ad applicare la legge dei grandi numeri.
Il fatto e' che , riprendendo il vecchio discorso, k e' variabile e puo' essere quindi maggiore o minore di 1/epsilon.
Se e' minore allora vale quello che dicevo prima e cioe':
P[fk(A)=1]=F(k)
Se e' maggiore invece (per un numero k infinito di tentativi) :
epsilon*k > 1 e quindi
P[ fk(A) > 1 - k*epslon ] = F(k)
diventa
P[fk(A)]=F(k)=1
praticamente quindi F(k) sarebbe una funzione avente un asintoto in 1 e origine (0 , P(A) ).
Grazie, in particolare a te Angelo per le risposte,
Lorenzo
Modificato da - lorenzo il 10/03/2003 23:14:36
Se vuoi rendere il prodotto k*epslon<1, devi supporre il valore di k fissato in tutto il procedimento. Se k fosse variabile a piacere e potesse quindi assumere valori grandi a piacere, 1/k non avrebbe un minimo positivo e perciò non potremmo ricavare l'epslon desiderato. Di conseguenza, essendo k fissato, non è più possibile affermare che F[k] è prossimo a 1 (solo per k-->00 F[k] tende a 1).
Come già detto,la probabilità che l'evento si verifichi nel k-esimo tentativo, P[fk(A)=1]=F(k), rimane sempre 1/k con k fissato.
Non puoi più dire che si arriva ad un assurdo perchè l'uguaglianza F[k]=1/k è coerente malgrado a primo membro ci sia una funzione che tende a 1 e a secondo membro ci sia una funzione infinitesima. La coerenza è garantita dal fatto che, essendo k fissato, non puoi più calcolare il limite per k-->00.
Io non vedo alcuna contraddizione, la contraddizione poteva esserci solo considerando un numero grande a piacere di prove E, ma in tal caso non sarebbe stato possibile trovare epslon<1/E.
Se la mia risposta fosse ancora poco convincente, sarebbe opportuno che tu specificassi nei particolari dove si trova l'assurdo e che spiegassi perchè si tratta di un assurdo.
A me pare che non ci sia più alcun fatto contraddittorio.
Angelo
Come già detto,la probabilità che l'evento si verifichi nel k-esimo tentativo, P[fk(A)=1]=F(k), rimane sempre 1/k con k fissato.
Non puoi più dire che si arriva ad un assurdo perchè l'uguaglianza F[k]=1/k è coerente malgrado a primo membro ci sia una funzione che tende a 1 e a secondo membro ci sia una funzione infinitesima. La coerenza è garantita dal fatto che, essendo k fissato, non puoi più calcolare il limite per k-->00.
Io non vedo alcuna contraddizione, la contraddizione poteva esserci solo considerando un numero grande a piacere di prove E, ma in tal caso non sarebbe stato possibile trovare epslon<1/E.
Se la mia risposta fosse ancora poco convincente, sarebbe opportuno che tu specificassi nei particolari dove si trova l'assurdo e che spiegassi perchè si tratta di un assurdo.
A me pare che non ci sia più alcun fatto contraddittorio.
Angelo
Giustissimo!
riprendo da dove hai lasciato tu correggendo pero' la mia definizione di "E= numero grande a piacere" e sostituendola con la più appropriata
k = costante indicante il numero dei tentativi effettuati
P[ |fk(A) - 1| < k*epslon ] = F(k)
discutiamo il modulo:
fk(A) per definizione e' 1 o 0 pertanto -1<=(fk(A)-1)<=0 quindi
|fk(A)-1| = 1-fk(A)
allora:
P[ fk(A) > 1 - k*epslon ] = F(k)
dato che 0< k*epsilon < 1 per definizione essendo epsilon un numero piccolo a piacere (e il nostro piacere e' che sia più piccolo di 1/k), e che fk(A) può valere soltanto 0 od 1, l'evento
(fk(A)>1-k*epsilon) e' verificato se e solo se fk(A) e' verificato (e viceversa).
pertanto
P[fk(A)=1]=F(k)
e siamo alle solite
Ciao!
L.
riprendo da dove hai lasciato tu correggendo pero' la mia definizione di "E= numero grande a piacere" e sostituendola con la più appropriata
k = costante indicante il numero dei tentativi effettuati
P[ |fk(A) - 1| < k*epslon ] = F(k)
discutiamo il modulo:
fk(A) per definizione e' 1 o 0 pertanto -1<=(fk(A)-1)<=0 quindi
|fk(A)-1| = 1-fk(A)
allora:
P[ fk(A) > 1 - k*epslon ] = F(k)
dato che 0< k*epsilon < 1 per definizione essendo epsilon un numero piccolo a piacere (e il nostro piacere e' che sia più piccolo di 1/k), e che fk(A) può valere soltanto 0 od 1, l'evento
(fk(A)>1-k*epsilon) e' verificato se e solo se fk(A) e' verificato (e viceversa).
pertanto
P[fk(A)=1]=F(k)
e siamo alle solite
Ciao!
L.
La legge dei grandi numeri non implica che esista il limite seguente:
lim(n->oo)f(A)=P(A).
Infatti l'esistenza del limite assicurerebbe che per ogni n>n* f(A) differisca da P(A) in valore assoluto di un valore minore di un certo epslon prefissato. Mentre la legge dei grandi numeri afferma solo che in genere l'approssimazione migliora al crescere del numero delle prove, ma non si esclude che possa in certi casi peggiorare.
Riguardo il seguente passaggio, ho delle perplessità.
P[lim(n->E)f(A)=P(A)]=F(E)
con F(E) che dovrebbe avvicinarsi ad 1 tanto maggiore e' E ed essere uguale ad 1 se E tende ad infinito.
Innanzitutto che significa lim(n->E)? Il concetto di limite si può introdurre solo verso un punto di accumulazione (proprio o improprio).
Inoltre la probabilità che si verifichi esattamente un'uguaglianza è, a parte rare eccezioni, pressocchè nulla: è più opportuno considerare la probabilità che si verifichi una disuguaglianza.
Sussiste però una relazione simile a quella da te scritta, e cioè per ogni epslon positivo esiste il limite:
lim (n->00) P[ |f(A)-P(A)|< epslon ]=1.
Quest'ultima relazione dovrebbe, a mio parere, essere il punto di partenza del tuo ragionamento.
Fissato epslon>0, si ponga,
P[ |(f1(A)+f2(A)+...+fE(A))/E - P(A)| < epslon ] = F(E).
F(E) si avvicina ad 1 tanto maggiore e' E e tende ad 1 se E tende ad infinito.
P[ |(f1(A)+f2(A)+...+fE(A)) - E*P(A)| < E*epslon ] = F(E)
Supponendo che P(A) = 1/E e che Fj = 0 se 1<= j < E, si ottiene,
P[ |fE(A) - 1| < E*epslon ] = F(E),
da cui non segue l'assurdo da te indicato.
Angelo
lim(n->oo)f(A)=P(A).
Infatti l'esistenza del limite assicurerebbe che per ogni n>n* f(A) differisca da P(A) in valore assoluto di un valore minore di un certo epslon prefissato. Mentre la legge dei grandi numeri afferma solo che in genere l'approssimazione migliora al crescere del numero delle prove, ma non si esclude che possa in certi casi peggiorare.
Riguardo il seguente passaggio, ho delle perplessità.
P[lim(n->E)f(A)=P(A)]=F(E)
con F(E) che dovrebbe avvicinarsi ad 1 tanto maggiore e' E ed essere uguale ad 1 se E tende ad infinito.
Innanzitutto che significa lim(n->E)? Il concetto di limite si può introdurre solo verso un punto di accumulazione (proprio o improprio).
Inoltre la probabilità che si verifichi esattamente un'uguaglianza è, a parte rare eccezioni, pressocchè nulla: è più opportuno considerare la probabilità che si verifichi una disuguaglianza.
Sussiste però una relazione simile a quella da te scritta, e cioè per ogni epslon positivo esiste il limite:
lim (n->00) P[ |f(A)-P(A)|< epslon ]=1.
Quest'ultima relazione dovrebbe, a mio parere, essere il punto di partenza del tuo ragionamento.
Fissato epslon>0, si ponga,
P[ |(f1(A)+f2(A)+...+fE(A))/E - P(A)| < epslon ] = F(E).
F(E) si avvicina ad 1 tanto maggiore e' E e tende ad 1 se E tende ad infinito.
P[ |(f1(A)+f2(A)+...+fE(A)) - E*P(A)| < E*epslon ] = F(E)
Supponendo che P(A) = 1/E e che Fj = 0 se 1<= j < E, si ottiene,
P[ |fE(A) - 1| < E*epslon ] = F(E),
da cui non segue l'assurdo da te indicato.
Angelo
Ciao Angelo,
anzitutto grazie per la chiarezza della tua risposta (no, non gioco al lotto comunque ).
Tuttavia c'e' ancora una cosa che non mi risulta chiara sulla legge dei grandi numeri. Provo a scriverlo in maniera matematica (scusate il poco rigore!) prima pero' ho bisogno di alcune convenzioni:
f(A) = frequenza relativa con cui si verifica l'evento A
P(A) = probabilita' con cui si verifica l'evento A
fj(A)= indica se nel j-esimo tentativo si e' verificato l'evento A. In questo caso vale uno, altrimenti vale 0.
n= numero dei tentativi
oo= infinito
E=numero grande a piacere (non infinito pero', non esageriamo!)
F(E) = funzione di E
Partendo dalla definizione:
La legge dei grandi numeri afferma che in numero sufficientemente elevato di prove la frequenza relativa si approssima alla probabilità dell'evento e tale approssimazione in genere migliora al crescere del numero delle prove.
lim(n->oo)f(A)=P(A)
P[lim(n->E)f(A)=P(A)]=F(E)
con F(E) che dovrebbe avvicinarsi ad 1 tanto maggiore e' E ed essere uguale ad 1 se E tende ad infinito.
Questo qua sopra in particolare dovrebbe essere il passaggio piu' critico. E' corretto secondo voi? Perche' se fosse corretto, seguirebbe:
P[ ( f1(A)+f2(A)+...+fE(A) )/E=P(A) ]=F(E)
P[ f1(A)+f2(A)+...fE(A) =E*P(A) ]=F(E)
supponiamo che P(A) =1/E e che Fj = 0 se 1<= j < E
P[ fE(A)=1 ] = F(E)
quindi in questo ultimo caso avremmo che P'(A) = P(A) + F(E)=F(E)/E
Dove ho sbagliato?
Saluti a tutti!
L.
anzitutto grazie per la chiarezza della tua risposta (no, non gioco al lotto comunque
).Tuttavia c'e' ancora una cosa che non mi risulta chiara sulla legge dei grandi numeri. Provo a scriverlo in maniera matematica (scusate il poco rigore!) prima pero' ho bisogno di alcune convenzioni:
f(A) = frequenza relativa con cui si verifica l'evento A
P(A) = probabilita' con cui si verifica l'evento A
fj(A)= indica se nel j-esimo tentativo si e' verificato l'evento A. In questo caso vale uno, altrimenti vale 0.
n= numero dei tentativi
oo= infinito
E=numero grande a piacere (non infinito pero', non esageriamo!)
F(E) = funzione di E
Partendo dalla definizione:
La legge dei grandi numeri afferma che in numero sufficientemente elevato di prove la frequenza relativa si approssima alla probabilità dell'evento e tale approssimazione in genere migliora al crescere del numero delle prove.
lim(n->oo)f(A)=P(A)
P[lim(n->E)f(A)=P(A)]=F(E)
con F(E) che dovrebbe avvicinarsi ad 1 tanto maggiore e' E ed essere uguale ad 1 se E tende ad infinito.
Questo qua sopra in particolare dovrebbe essere il passaggio piu' critico. E' corretto secondo voi? Perche' se fosse corretto, seguirebbe:
P[ ( f1(A)+f2(A)+...+fE(A) )/E=P(A) ]=F(E)
P[ f1(A)+f2(A)+...fE(A) =E*P(A) ]=F(E)
supponiamo che P(A) =1/E e che Fj = 0 se 1<= j < E
P[ fE(A)=1 ] = F(E)
quindi in questo ultimo caso avremmo che P'(A) = P(A) + F(E)=F(E)/E
Dove ho sbagliato?
Saluti a tutti!
L.
Il dato non ha e non può avere memoria dell'evento passato (a meno che sia un dado truccato!) così come una ruota del lotto non ha memoria dei numeri delle precedenti estrazioni.
Ogni mumero ha la stessa probabilità di essere estratto anche se è "uscito" nella precedente estrazione. Questa è una di quelle cose che risulta davvero difficile a far capire ai giocatori del lotto. Più hanno esperienza di gioco, più si convingono che sia più probabile l'estrazione di un numero che presenta maggiori ritardi rispetto all'estrazione di un numero che è "uscito" la settimana prima.
La spiegazione di ciò non risiede nella fisica matematica, ma nella psicologia umana che ritiene "improbabile" la coincidenza di estrazioni successive, in realtà è altrettanto improbabile che in due estrazioni successive "escano" specifici numeri diversi: la probabilità che vengano estratti in settimane consecutive i numeri 3 e 3 è la stessa che vengano estratti i numeri 3 e 45.
A confondere maggiormente le idee dei giocatori è la loro errata interpretazione della cosiddetta legge dei grandi numeri.
La legge dei grandi numeri afferma che in numero sufficientemente elevato di prove la frequenza relativa si approssima alla probabilità dell'evento e tale approssimazione in genere migliora al crescere del numero delle prove.
La legge dei grandi numeri non ci dice quale sia il numero di prove minimo affinchè si possa affermare che la frequenza si avvicina alla probabilità e quindi un eventuale ritardo di un numero anche di 10000 settimane non garantisce che il numero debba essere al più presto estratto o abbia probabilità maggiore di essere estratto (affinchè si renda la frequenza relativa più prossima alla probabilità).
Oltretutto la legge dei grandi numeri non assicura neanche che al crescere delle prove l'approssimazione della frequenza relativa alla probabilità migliori.
In un qualsiasi libro di Calcolo delle probabilità si può trovare una spiegazione esaustiva del significato di probabilità e della sua correlazione con la frequenza relativa.
Angelo
Ogni mumero ha la stessa probabilità di essere estratto anche se è "uscito" nella precedente estrazione. Questa è una di quelle cose che risulta davvero difficile a far capire ai giocatori del lotto. Più hanno esperienza di gioco, più si convingono che sia più probabile l'estrazione di un numero che presenta maggiori ritardi rispetto all'estrazione di un numero che è "uscito" la settimana prima.
La spiegazione di ciò non risiede nella fisica matematica, ma nella psicologia umana che ritiene "improbabile" la coincidenza di estrazioni successive, in realtà è altrettanto improbabile che in due estrazioni successive "escano" specifici numeri diversi: la probabilità che vengano estratti in settimane consecutive i numeri 3 e 3 è la stessa che vengano estratti i numeri 3 e 45.
A confondere maggiormente le idee dei giocatori è la loro errata interpretazione della cosiddetta legge dei grandi numeri.
La legge dei grandi numeri afferma che in numero sufficientemente elevato di prove la frequenza relativa si approssima alla probabilità dell'evento e tale approssimazione in genere migliora al crescere del numero delle prove.
La legge dei grandi numeri non ci dice quale sia il numero di prove minimo affinchè si possa affermare che la frequenza si avvicina alla probabilità e quindi un eventuale ritardo di un numero anche di 10000 settimane non garantisce che il numero debba essere al più presto estratto o abbia probabilità maggiore di essere estratto (affinchè si renda la frequenza relativa più prossima alla probabilità).
Oltretutto la legge dei grandi numeri non assicura neanche che al crescere delle prove l'approssimazione della frequenza relativa alla probabilità migliori.
In un qualsiasi libro di Calcolo delle probabilità si può trovare una spiegazione esaustiva del significato di probabilità e della sua correlazione con la frequenza relativa.
Angelo
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