Principio di induzione: assioma o teorema

[giuseppe87x]

Ho sempre saputo che il principio di induzione fosse uno dei cinque assiomi di Peano.
Recentemente ho trovato alcune semplici dimostrazioni dell'induzione basate sul principio del minimo intero.
Ora mi viene da chiedervi: si tratta di un teorema o di un assioma?

[CA10]

In una teoria matematica la scelta degli assiomi da cui partire è arbitraria. Dipende dallo stile della trattazione e perché no, dai gusti. Quindi il Principio di Induzione può essere assunto come assioma in una trattazione tradizionale dell'Aritmetica (come aveva fatto Peano) ma in un contesto do teoria degli insiemi può essere dimostrato partendo da altri assiomi.

[giuseppe87x]

Riporto direttamente la dimostrazione (semplicissima tra l'altro)

Theorem (Principle of Mathematical Induction)

If a set $S$ of non-negative integers contains the integer $0$, and also contains
the integer $n+1$ whenever it contains the integer $n$, then $S = N$.

Proof:
Assume this is not the case and so, by the Well-Ordering Principle there exists a least positive integer $k$
not in S. Observe that $k > 0$, since $0 ∈ S$ and there is no positive integer smaller than $0$. As $k−1 < k$, we see that
$k−1 ∈ S$. But by assumption $k−1+1$ is also in $S$, since the successor of each element in the set is also in the
set. Hence $k = k−1+1$ is also in the set, a contradiction. Thus $S = N.$

EDIT: the well-ordering principle è il principio del minimo intero.

[blackdie]

volgio vederla.

[Principe2]

già... il principio d'induzione e il principio del minimo sono
equivalenti... fra l'altro la dimostrazione è un capolavoro...
la metto a richiesta...
(fra l'altro si dovrebbe trovare in un mio antichissimo post
intitolato "tre assiomi e una dimostrazione".. che però ora non
trovo)

[Nidhogg]

"giuseppe87x":Ho sempre saputo che il principio di induzione fosse uno dei cinque assiomi di Peano.
Recentemente ho trovato alcune semplici dimostrazioni dell'induzione basate sul principio del minimo intero.
Ora mi viene da chiedervi: si tratta di un teorema o di un assioma?

L'induzione è un assioma o un teorema?

Generalmente, il principio di induzione è indicato come assioma dei numeri naturali: ad esempio, negli assiomi di Peano è il quinto e ultimo della lista, ed esso non può in effetti essere dimostrato a partire dagli altri assiomi. La teoria che si ottiene considerando gli assiomi classici di Peano formalizzati (vedi PA) eccettuato il principio di induzione viene chiamata Aritmetica di Robinson ed ammette modelli alternativi in cui il principio di induzione è falso.

Esistono però alcuni sistemi logici in cui esso può essere dimostrato: ad esempio, quando viene usato l'assioma

L'insieme dei numeri naturali è bene ordinato

ovvero

Ogni sottoinsieme non vuoto dell'insieme dei numeri naturali ha un numero minimo

noto anche come Principio del Buon Ordinamento per i numeri naturali. In realtà, questo assioma aggiuntivo è una formulazione alternativa del principio di induzione matematica: i due assiomi sono infatti equivalenti.

Da wikipedia....

Ciao!