Preparazione all'esame di matematica discreta: Consigli
Salve a tutti,
apro questo thread alla ricerca di qualche consiglio riguardo alla preparazione di un esame di matematica discreta, per vedere un pò se sto procedendo bene ma anche per capire un pò cosa mi attende all'esame.
Ora come ora riesco, con il tempo a disposizione, solo a studiare gli argomenti nuovi e a farne gli esercizi allegati, e già per fare questi signfica che devo passare un intera giornata solo su matemtica discreta (e solitamente in un giorno o più materie da studiare).
Il lato positivo è che riesco a capire gli argomenti di volta in volta (ricorsione e dimostrazioni per induzione a parte che credo riuscirò a capire al meglio solo con il tempo e la pratica
), il lato negativo è che oggi ho dato una prova di autovalutazione (una specie di esonero dove alla fine non ci sarà voto e la correzione la si farà "globalmente in aula") e mi sono accorto che non ricordarmi bene tutti gli argomenti spesso e volentieri mi sfugge qualche formula e mi blocco.
L'unica cosa che avevo pensato e di mettermi nelle vacanze di natale e rivedermi tutti gli argomenti, e per ogni argomenti farmi una valanga di esercizi in maniera tale che mi rimangano impressi.
Per la serie: Una giornata dedicata SOLO al calcolo di equazioni diofantee; Una giornata solo su esercizi di logica e via discorrendo.
Secondo voi sto procedendo bene? Anche perchè a parte come già detto induzione e ricorsione che devo per forza di cose riguardarmi con più calma, gli altri argomenti mi frega spesso e volentieri la dimenticanza di qualche definizione. Per altro spero anche che tra lo scritto e l'orale ci sia almeno una settimana di distanza, perchè impararmi anche le dimostrazioni sarà veramente un dramma.
Purtroppo come avrete già capito non eccello in memoria, e credo che in matematica questa non sia una bella cosa.
apro questo thread alla ricerca di qualche consiglio riguardo alla preparazione di un esame di matematica discreta, per vedere un pò se sto procedendo bene ma anche per capire un pò cosa mi attende all'esame.
Ora come ora riesco, con il tempo a disposizione, solo a studiare gli argomenti nuovi e a farne gli esercizi allegati, e già per fare questi signfica che devo passare un intera giornata solo su matemtica discreta (e solitamente in un giorno o più materie da studiare).
Il lato positivo è che riesco a capire gli argomenti di volta in volta (ricorsione e dimostrazioni per induzione a parte che credo riuscirò a capire al meglio solo con il tempo e la pratica
), il lato negativo è che oggi ho dato una prova di autovalutazione (una specie di esonero dove alla fine non ci sarà voto e la correzione la si farà "globalmente in aula") e mi sono accorto che non ricordarmi bene tutti gli argomenti spesso e volentieri mi sfugge qualche formula e mi blocco.L'unica cosa che avevo pensato e di mettermi nelle vacanze di natale e rivedermi tutti gli argomenti, e per ogni argomenti farmi una valanga di esercizi in maniera tale che mi rimangano impressi.
Per la serie: Una giornata dedicata SOLO al calcolo di equazioni diofantee; Una giornata solo su esercizi di logica e via discorrendo.
Secondo voi sto procedendo bene? Anche perchè a parte come già detto induzione e ricorsione che devo per forza di cose riguardarmi con più calma, gli altri argomenti mi frega spesso e volentieri la dimenticanza di qualche definizione. Per altro spero anche che tra lo scritto e l'orale ci sia almeno una settimana di distanza, perchè impararmi anche le dimostrazioni sarà veramente un dramma.
Purtroppo come avrete già capito non eccello in memoria, e credo che in matematica questa non sia una bella cosa.
Risposte
Sinceramente la matematica è sempre stata un pò il mio tallone di achille, ma ce la sto mettendo tutta a questa esame, non mi aspetto un 30 per intenderci, però sarei molto felice se riuscissi a passarlo.
Oggi mi sono un pò buttato giù perchè altri invece sono riusciti a completarla tutta l'autovalutazione ricordandosi al volo tutte le formule, io sono riuscito a dimenticarli il corollario del piccolo teorema di fermat riguardo alle congruenze, e mi sono person nel mettere a sistema una stupidissima equazione diofantea. E mi sono sentito "perso". In compenso però sono riuscito a dimostrare che una relazione fosse di equivalenza benchè non le rivedevo da molto.
Il punto è che ci sto mettendo davvero molto impegno, non voglio ritrovarmi a trascinarmi dietro esami non passati.
La professoressa invece, benchè non rivolta a me, ha sempre "molto tatto" nell'abbattere qualcuno che si è dimenticato qualcosa. Dal suo punto di vista sarà tutto facile e tutto detto e ridetto, ma io questi argometni di matematica discreta gli sto sentendo nominare per la prima volta in questa sede, ed è uno sforzo non da poco.
Oggi mi sono un pò buttato giù perchè altri invece sono riusciti a completarla tutta l'autovalutazione ricordandosi al volo tutte le formule, io sono riuscito a dimenticarli il corollario del piccolo teorema di fermat riguardo alle congruenze, e mi sono person nel mettere a sistema una stupidissima equazione diofantea. E mi sono sentito "perso". In compenso però sono riuscito a dimostrare che una relazione fosse di equivalenza benchè non le rivedevo da molto.
Il punto è che ci sto mettendo davvero molto impegno, non voglio ritrovarmi a trascinarmi dietro esami non passati.
La professoressa invece, benchè non rivolta a me, ha sempre "molto tatto" nell'abbattere qualcuno che si è dimenticato qualcosa. Dal suo punto di vista sarà tutto facile e tutto detto e ridetto, ma io questi argometni di matematica discreta gli sto sentendo nominare per la prima volta in questa sede, ed è uno sforzo non da poco.
Letto.
Mi sono fatto un'idea leggendo questa tua frase
Mi dai l'impressione che tu stia prendendo la materia troppo sul mnemonico, il che confermerebbe perché a volte fai confusione nel ragionamento (mi sono visto qualche topic).
Comunque mi sento di tranquillizzarti, per adesso mi concentrerei più sulla parte pratica, appunto con questo spirito
Facendo esercizi ti costruisci metodo e strategia, e alla fine per forze di cose anche la formula ricorderai.
Io l'altra volta avevo davanti un'equazione diofantea, e non risolvendole da molto ci avrei messo un pochino per ricostruire la formula iniziale, tant'è che sono andato a vederla.
Ma non penso che il dramma alla fine sia questo, come testimonia il fatto che molti professori lasciano tenere formulari anche durante le prove.
Quindi alla latina: rem tene, verba (anzi, formulae!) sequentur
Mi sono fatto un'idea leggendo questa tua frase
Parli di congruenze? ti devi ricordare tutte le formule "notevoli" da applicare; Parli di relazioni? devi ricordarti tutte le varie notazioni.
Mi dai l'impressione che tu stia prendendo la materia troppo sul mnemonico, il che confermerebbe perché a volte fai confusione nel ragionamento (mi sono visto qualche topic).
Comunque mi sento di tranquillizzarti, per adesso mi concentrerei più sulla parte pratica, appunto con questo spirito
L'unica cosa che avevo pensato e di mettermi nelle vacanze di natale e rivedermi tutti gli argomenti, e per ogni argomenti farmi una valanga di esercizi in maniera tale che mi rimangano impressi.
Facendo esercizi ti costruisci metodo e strategia, e alla fine per forze di cose anche la formula ricorderai.
Io l'altra volta avevo davanti un'equazione diofantea, e non risolvendole da molto ci avrei messo un pochino per ricostruire la formula iniziale, tant'è che sono andato a vederla.
Ma non penso che il dramma alla fine sia questo, come testimonia il fatto che molti professori lasciano tenere formulari anche durante le prove.
Quindi alla latina: rem tene, verba (anzi, formulae!) sequentur
Questo è il programma, conta che ora siamo a 2/3 del programma grossomodo. Il punto è che ogni cosa ha il suo bel "set" di formule.
Parli di congruenze? ti devi ricordare tutte le formule "notevoli" da applicare; Parli di relazioni? devi ricordarti tutte le varie notazioni.
Il punto è che non sono argomenti difficili, ma al contempo sono tutte cose che non basta "leggerle" per fartele rimanere impressa, ma solo farle, farle e rifarle.
Il Corso di Laurea è in Informatica, facoltà di scienze.
Cenni di teoria degli insiemi . 4ore
Concetto di insieme . Rappresentazioni di un insieme. Operazioni tra
insiemi e loro fondamentali proprieta'. Concetto di n-pla ordinata e di
prodotto cartesiano di n insiemi. Caso particolare di n=2 e
proprieta'.Cardinalita' di un insieme finito e determinazione della
cardinalita' dell'unione di due insiemi finiti e del prodotto di
insiemi finiti.
Cenni di logica. 8 ore
La logica delle proposizioni : le proposizioni,i connettivi logici e
loro uso nella composizione di proposizioni.Formule proposizionali e
tavole di verita’.Le tautologie e le contraddizioni.Le tautologie come
regole di inferenza in una dimostrazione.Implicazione logica ed
equivalenza logica e loro legame con le tautologie.
.La logica dei predicati : i predicati,i quantificatori e loro uso per
quantificare un predicato. Negazione di predicati quantificati. Metodi
di dimostrazione:diretta, indiretta, per assurdo.
L'induzione matematica e le relazioni ricorsive . 6 ore
Il principio di induzione completa come tecnica di dimostrazione. La
cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito.Definizioni
ricorsive di sequenze e relazioni ricorsive. Formula chiusa di una
relazione ricorsiva. In particolare la relazione ricorsiva e formula
chiusa della sequenza dei numeri di Fibonacci come soluzione del
problema di modellizzazione della crescita di una popolazione di
conigli. La relazione ricorsiva e formula chiusa della sequenza dei
numeri di Lucas come soluzione al gioco della torre di Hanoi.
Combinatoria. 4 ore
La regola del prodotto ,la regola della somma, il principio di
inclusione-esclusione e loro applicazione a problemi concreti di
conteggio. Il coefficiente binomiale. Il triangolo di Pascal e la
potenza n-sima di un binomio. La cardinalita' dell'insieme delle parti
di cardinalita' k, di un insieme di cardinalita' n. Applicazione a
problemi pratici.
I numeri interi. 7 ore
L'algoritmo della divisione . I numeri primi . Esistenza di infiniti
numeri primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Criteri per
stabilire se un numero intero positivo e' primo: il crivello di
Eratostene e il metodo di Fermat.
Massimo comune divisore di due interi e l'algoritmo euclideo delle
divisioni successive per determinare il M.C.D. positivo tra due interi
e una identita’ di Bezout. Numeri tra loro coprimi ,caratterizzazione.
Minimo comune multiplo di due interi e sua determinazione.Le equazioni
diofantee: compatibilita’ e soluzioni. Applicazioni a problemi pratici.
Relazioni e funzioni. 11 ore
Relazioni binarie . Rappresentazione di una relazione binaria tra
insiemi finiti in forma matriciale e mediante un grafo diretto.
Relazioni funzionali ed applicazioni. Applicazioni ingettive,surgettive,
bigettive. L'applicazione composta e proprieta'. Applicazioni
invertibili e l' applicazione inversa di una bigezione.
Numero delle applicazioni tra insiemi finiti, numero delle applicazioni
ingettive e delle bigezioni tra insiemi finiti.Permutazioni su
oggetti ,cicli ,trasposizioni,classe di una permutazione.Operazioni su
un insieme e proprieta’.
Relazioni di equivalenza e congruenze lineari. 13 ore
Relazioni di equivalenza su un insieme, classi di equivalenza e
proprieta'. L'insieme quoziente. Relazioni di equivalenza compatibili
con una operazione ,operazioni indotte sul quoziente e relative
proprieta’.Partizioni di un insieme e legame tra partizioni ed insiemi
quozienti.. La relazione di congruenza” modulo n “e sue proprieta'.
L'insieme Zn delle classi resto.Operazioni in Zn ed aritmetica
modulare. Il piccolo teorema di Fermat. Il teorema di Eulero-Fermat* e
sua applicazione nel sistema R.S.A. nel campo della crittologia.
Congruenze lineari: loro compatibilita’ e soluzioni. Sistemi di
congruenze lineari. Il teorema cinese del resto* e sue applicazioni.
Relazioni d’ordine e reticoli. 12 ore
Relazioni d’ordine su un insieme e relazioni di ordine
totale .Diagramma di Hasse di un insieme ordinato finito. Maggioranti ,
minoranti, estremo superiore ed inferiore di un sottoinsieme di un
insieme ordinato. Elementi minimali e massimali , massimo e minimo di
un insieme ordinato. Reticoli ordinati,reticoli algebrici e loro
equivalenza. Sottoreticoli, morfismi ed isomorfismi di reticoli .I
reticoli finiti isomorfi hanno lo stesso diagramma di Hasse. Reticoli
distributivi. I reticoli M3 e N5 e relative proprieta’.
Caratterizzazione dei reticoli distributivi*Reticoli limitati,
complementati e reticoli di Boole. Leggi di de Morgan. Teorema di
classificazione dei reticoli di Boole finiti* e loro cardinalita’.
Strutture algebriche 20 ore
Monoidi: concetto di monoide . Potenze in un monoide e loro
proprieta’*. Morfismi ed isomorfismi di monoidi. Il monoide delle
parole di un alfabeto.Il monoide (Zn,∙)e caratterizzazione dei suoi
elementi invertibili. Monoide generato da una parte e relativo teorema
di struttura*.Monoidi ciclici.
Gruppi: concetto di gruppo. Potenze in un gruppo e loro
proprieta’*.Le leggi di cancellazione. Sottogruppi e loro
caratterizzazione. Morfismi ed isomorfismi tra gruppi e loro
proprieta’.Sottogruppi generati da una parte e relativo teorema di
struttura*.Gruppi ciclici . Periodo di un elemento di un gruppo e sua
caratterizzazione. Determinazione e numero dei generatori di un gruppo
ciclico. Teorema di classificazione dei gruppi ciclici*.. Teorema di
Lagrange* e suoi corollari. Il gruppo prodotto diretto di gruppi ed il
reticolo dei sottogruppi di un gruppo. I sottogruppi di un gruppo
ciclico sono ciclici.* La dimostrazione per i sottogruppi di (Z,+).
Esempi significativi di gruppi:IL gruppo (Zn,+),il gruppo Sn
delle permutazioni su n oggetti, il gruppo degli elementi invertibili
di un monoide.
Anelli, corpi e campiefinizioni, semplici proprieta’ ed esempi
significativi: l’anello Z degli interi, l’anello Zn delle classi
resto,il campo Q dei numeri razionali,il campo R dei numeri reali, il
campo (Zp ,+,.)con p primo.L’anello prodotto diretto di anelli
Applicazione del teorema cinese del resto per operare in Zn , con n
esprimibile come prodotto di interi a due a due coprimi.Gli anelli di
Boole e loro semplici proprieta’. L’anello di Boole delle n-ple
ordinate di elementi di Z2 .Legame tra anelli di Boole ed algebre
di Boole.L’anello dei polinomi (K[x],+,·).Massimo comune divisore e
minimo comune multiplo di due polinomi e loro determinazione.
Parallelismo con l’anello degli interi.Teorema di Ruffini e sua
conseguenza sulla riducibilita’ di un polinomio..
Polinomi irriducibili e teorema di fattorizzazione*. Ricerca degli zeri
razionali di un polinomio a coefficienti interi..
Parli di congruenze? ti devi ricordare tutte le formule "notevoli" da applicare; Parli di relazioni? devi ricordarti tutte le varie notazioni.
Il punto è che non sono argomenti difficili, ma al contempo sono tutte cose che non basta "leggerle" per fartele rimanere impressa, ma solo farle, farle e rifarle.
Il Corso di Laurea è in Informatica, facoltà di scienze.
Cenni di teoria degli insiemi . 4ore
Concetto di insieme . Rappresentazioni di un insieme. Operazioni tra
insiemi e loro fondamentali proprieta'. Concetto di n-pla ordinata e di
prodotto cartesiano di n insiemi. Caso particolare di n=2 e
proprieta'.Cardinalita' di un insieme finito e determinazione della
cardinalita' dell'unione di due insiemi finiti e del prodotto di
insiemi finiti.
Cenni di logica. 8 ore
La logica delle proposizioni : le proposizioni,i connettivi logici e
loro uso nella composizione di proposizioni.Formule proposizionali e
tavole di verita’.Le tautologie e le contraddizioni.Le tautologie come
regole di inferenza in una dimostrazione.Implicazione logica ed
equivalenza logica e loro legame con le tautologie.
.La logica dei predicati : i predicati,i quantificatori e loro uso per
quantificare un predicato. Negazione di predicati quantificati. Metodi
di dimostrazione:diretta, indiretta, per assurdo.
L'induzione matematica e le relazioni ricorsive . 6 ore
Il principio di induzione completa come tecnica di dimostrazione. La
cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito.Definizioni
ricorsive di sequenze e relazioni ricorsive. Formula chiusa di una
relazione ricorsiva. In particolare la relazione ricorsiva e formula
chiusa della sequenza dei numeri di Fibonacci come soluzione del
problema di modellizzazione della crescita di una popolazione di
conigli. La relazione ricorsiva e formula chiusa della sequenza dei
numeri di Lucas come soluzione al gioco della torre di Hanoi.
Combinatoria. 4 ore
La regola del prodotto ,la regola della somma, il principio di
inclusione-esclusione e loro applicazione a problemi concreti di
conteggio. Il coefficiente binomiale. Il triangolo di Pascal e la
potenza n-sima di un binomio. La cardinalita' dell'insieme delle parti
di cardinalita' k, di un insieme di cardinalita' n. Applicazione a
problemi pratici.
I numeri interi. 7 ore
L'algoritmo della divisione . I numeri primi . Esistenza di infiniti
numeri primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Criteri per
stabilire se un numero intero positivo e' primo: il crivello di
Eratostene e il metodo di Fermat.
Massimo comune divisore di due interi e l'algoritmo euclideo delle
divisioni successive per determinare il M.C.D. positivo tra due interi
e una identita’ di Bezout. Numeri tra loro coprimi ,caratterizzazione.
Minimo comune multiplo di due interi e sua determinazione.Le equazioni
diofantee: compatibilita’ e soluzioni. Applicazioni a problemi pratici.
Relazioni e funzioni. 11 ore
Relazioni binarie . Rappresentazione di una relazione binaria tra
insiemi finiti in forma matriciale e mediante un grafo diretto.
Relazioni funzionali ed applicazioni. Applicazioni ingettive,surgettive,
bigettive. L'applicazione composta e proprieta'. Applicazioni
invertibili e l' applicazione inversa di una bigezione.
Numero delle applicazioni tra insiemi finiti, numero delle applicazioni
ingettive e delle bigezioni tra insiemi finiti.Permutazioni su
oggetti ,cicli ,trasposizioni,classe di una permutazione.Operazioni su
un insieme e proprieta’.
Relazioni di equivalenza e congruenze lineari. 13 ore
Relazioni di equivalenza su un insieme, classi di equivalenza e
proprieta'. L'insieme quoziente. Relazioni di equivalenza compatibili
con una operazione ,operazioni indotte sul quoziente e relative
proprieta’.Partizioni di un insieme e legame tra partizioni ed insiemi
quozienti.. La relazione di congruenza” modulo n “e sue proprieta'.
L'insieme Zn delle classi resto.Operazioni in Zn ed aritmetica
modulare. Il piccolo teorema di Fermat. Il teorema di Eulero-Fermat* e
sua applicazione nel sistema R.S.A. nel campo della crittologia.
Congruenze lineari: loro compatibilita’ e soluzioni. Sistemi di
congruenze lineari. Il teorema cinese del resto* e sue applicazioni.
Relazioni d’ordine e reticoli. 12 ore
Relazioni d’ordine su un insieme e relazioni di ordine
totale .Diagramma di Hasse di un insieme ordinato finito. Maggioranti ,
minoranti, estremo superiore ed inferiore di un sottoinsieme di un
insieme ordinato. Elementi minimali e massimali , massimo e minimo di
un insieme ordinato. Reticoli ordinati,reticoli algebrici e loro
equivalenza. Sottoreticoli, morfismi ed isomorfismi di reticoli .I
reticoli finiti isomorfi hanno lo stesso diagramma di Hasse. Reticoli
distributivi. I reticoli M3 e N5 e relative proprieta’.
Caratterizzazione dei reticoli distributivi*Reticoli limitati,
complementati e reticoli di Boole. Leggi di de Morgan. Teorema di
classificazione dei reticoli di Boole finiti* e loro cardinalita’.
Strutture algebriche 20 ore
Monoidi: concetto di monoide . Potenze in un monoide e loro
proprieta’*. Morfismi ed isomorfismi di monoidi. Il monoide delle
parole di un alfabeto.Il monoide (Zn,∙)e caratterizzazione dei suoi
elementi invertibili. Monoide generato da una parte e relativo teorema
di struttura*.Monoidi ciclici.
Gruppi: concetto di gruppo. Potenze in un gruppo e loro
proprieta’*.Le leggi di cancellazione. Sottogruppi e loro
caratterizzazione. Morfismi ed isomorfismi tra gruppi e loro
proprieta’.Sottogruppi generati da una parte e relativo teorema di
struttura*.Gruppi ciclici . Periodo di un elemento di un gruppo e sua
caratterizzazione. Determinazione e numero dei generatori di un gruppo
ciclico. Teorema di classificazione dei gruppi ciclici*.. Teorema di
Lagrange* e suoi corollari. Il gruppo prodotto diretto di gruppi ed il
reticolo dei sottogruppi di un gruppo. I sottogruppi di un gruppo
ciclico sono ciclici.* La dimostrazione per i sottogruppi di (Z,+).
Esempi significativi di gruppi:IL gruppo (Zn,+),il gruppo Sn
delle permutazioni su n oggetti, il gruppo degli elementi invertibili
di un monoide.
Anelli, corpi e campi
efinizioni, semplici proprieta’ ed esempi significativi: l’anello Z degli interi, l’anello Zn delle classi
resto,il campo Q dei numeri razionali,il campo R dei numeri reali, il
campo (Zp ,+,.)con p primo.L’anello prodotto diretto di anelli
Applicazione del teorema cinese del resto per operare in Zn , con n
esprimibile come prodotto di interi a due a due coprimi.Gli anelli di
Boole e loro semplici proprieta’. L’anello di Boole delle n-ple
ordinate di elementi di Z2 .Legame tra anelli di Boole ed algebre
di Boole.L’anello dei polinomi (K[x],+,·).Massimo comune divisore e
minimo comune multiplo di due polinomi e loro determinazione.
Parallelismo con l’anello degli interi.Teorema di Ruffini e sua
conseguenza sulla riducibilita’ di un polinomio..
Polinomi irriducibili e teorema di fattorizzazione*. Ricerca degli zeri
razionali di un polinomio a coefficienti interi..
Per capire meglio: in che consiste il programma?
Magari se lo ricopi col copia-incolla potresti facilitare la valutazione della cosa
Magari specificare anche il cdl.
Magari se lo ricopi col copia-incolla potresti facilitare la valutazione della cosa
Magari specificare anche il cdl.
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