Prepararsi per il dottorato
Ciao a tutti, sto studiando per prepararmi all'esame del dottorato ma mi è sorto un dubbio: per la preparazione di analisi di un matematico qual è il livello base richiesto?
Cioè le due analisi (per intenderci analisi I e II di Sbordone) sono abbastanza?
Perchè io non ho fatto analisi funzionale ma in molte università è un esame obbligatorio. D'altro canto ho fatto esami di analisi più "applicativa" come PDE ma senza la base dell'analisi funzionale.
MI chiedo se è probabile che vengano fatte domande riguardanti l'analisi funzionale.
Grazie!
[xdom="Seneca"]Sposto in Generale.[/xdom]
Cioè le due analisi (per intenderci analisi I e II di Sbordone) sono abbastanza?
Perchè io non ho fatto analisi funzionale ma in molte università è un esame obbligatorio. D'altro canto ho fatto esami di analisi più "applicativa" come PDE ma senza la base dell'analisi funzionale.
MI chiedo se è probabile che vengano fatte domande riguardanti l'analisi funzionale.
Grazie!
[xdom="Seneca"]Sposto in Generale.[/xdom]
Risposte
Per il Brezis intendo che è più applicativo nel senso che gli ultimi capitoli sono una spiegazione delle PDE usando strumenti dell'analisi funzionale. Applicativo non implica meno completo e dettagliato 
Secondo me dovresti almeno conosere questo:
Hilbert
- proprietà base
- teorema di stampacchia
- teorema di lax-Milgramm* (ha grande importanza nelle PDE)
- ortogonalità e basi ortogonali
- teorema della rappresentazione di Riez
- proprietà degli operatori negli spazi di Hilbert
- operatore aggiunto
Banach
- proprietà degli spazi normati
- definizione e proprietà degli spazi di Banach
- operatori lineari su spazi normati
- spazi normati a dimensione finita
- funzionali lineari
- spazi duali
- teorema di weiestrass-stone
Questo come base. Se hai tempo, poi anche vedere cose un pò più spinte di analisi funzionali, quali operatori autoaggiunti e spettro di un operatore (Inportanti in meccanica quantistica ad esempio), Algebre di Banach, C* algebra, operatori normali, ecc.
A livello di applicazione alle PDE, dopo aver studiato Hilbert e Banach, sei pronta a coprire gli spazi di Sobolev, le derivate deboli e applicazioni ai vari tipi di PDE. Per questo guarda gli ultimi capitoli del Brezis, o eventualmente in un libro di PDE, come Evans - Partial differntial equations o Salsa - Equazioni a derivate parziali Metodi, modelli e applicazioni (tradotto anche in inglese)).
Altra materia correlata sarebbe il calcolo delle variazioni, che in pratica è lo studio dei punti estremali dei funzionali. A livello intuitivo è la stessa cosa di quando in analisi I cercavi i punti estremali (massimi e minimi relativi) delle funzioni, solo che i funzionali sono funzioni che hanno come dominio e codominio insiemi di funzioni.
Infine, come surplus, c'è sempre la teoria delle distribuzioni
Secondo me dovresti almeno conosere questo:
Hilbert
- proprietà base
- teorema di stampacchia
- teorema di lax-Milgramm* (ha grande importanza nelle PDE)
- ortogonalità e basi ortogonali
- teorema della rappresentazione di Riez
- proprietà degli operatori negli spazi di Hilbert
- operatore aggiunto
Banach
- proprietà degli spazi normati
- definizione e proprietà degli spazi di Banach
- operatori lineari su spazi normati
- spazi normati a dimensione finita
- funzionali lineari
- spazi duali
- teorema di weiestrass-stone
Questo come base. Se hai tempo, poi anche vedere cose un pò più spinte di analisi funzionali, quali operatori autoaggiunti e spettro di un operatore (Inportanti in meccanica quantistica ad esempio), Algebre di Banach, C* algebra, operatori normali, ecc.
A livello di applicazione alle PDE, dopo aver studiato Hilbert e Banach, sei pronta a coprire gli spazi di Sobolev, le derivate deboli e applicazioni ai vari tipi di PDE. Per questo guarda gli ultimi capitoli del Brezis, o eventualmente in un libro di PDE, come Evans - Partial differntial equations o Salsa - Equazioni a derivate parziali Metodi, modelli e applicazioni (tradotto anche in inglese)).
Altra materia correlata sarebbe il calcolo delle variazioni, che in pratica è lo studio dei punti estremali dei funzionali. A livello intuitivo è la stessa cosa di quando in analisi I cercavi i punti estremali (massimi e minimi relativi) delle funzioni, solo che i funzionali sono funzioni che hanno come dominio e codominio insiemi di funzioni.
Infine, come surplus, c'è sempre la teoria delle distribuzioni
Mi sono laureata in matematica applicata, l'esame di Teoria della Misura l'ho fatto e i teoremi di cui parli li ho studiati in Geometria. Spazi di Hilbert, Banach li ho studiati (da sola), so maneggiare abbastanza bene gli L^p perchè li ho incontrati in un esame di analisi ma non maneggio altrettanto bene i teoremi sugli Hilbert (che in senso generale non ho mai incontrato, ho visto solo L^2). Cioè un conto è sapere cosa sono, conoscere alcune proprietà, altro è conoscerli veramente.
Dunque ti ringrazio per i libri che consigli, farò un salto in biblioteca per darci un'occhiata ma se dici che il Bezis è il più applicativo probabilmente opterò per quello.
Riguardo agli spazi di Hilbert e Banach sapresti dirmi quali sono i teoremi fondamentali da sapere? (probabilmente me ne renderò conto studiandoli, ma almeno ne ho la conferma).
Per quanto riguarda le dimostrazioni sono da sapere integralmente o basta un'idea? A questi livelli una dimostrazione ti prende anche un'ora...(penso ad esempio al teorema del Dini caso generale)
Dunque ti ringrazio per i libri che consigli, farò un salto in biblioteca per darci un'occhiata ma se dici che il Bezis è il più applicativo probabilmente opterò per quello.
Riguardo agli spazi di Hilbert e Banach sapresti dirmi quali sono i teoremi fondamentali da sapere? (probabilmente me ne renderò conto studiandoli, ma almeno ne ho la conferma).
Per quanto riguarda le dimostrazioni sono da sapere integralmente o basta un'idea? A questi livelli una dimostrazione ti prende anche un'ora...(penso ad esempio al teorema del Dini caso generale)
Sarebbe questo?
http://www.sissa.it/gare/show_announcem ... C2&id=1538
Per la ricerca in matematica applicata l'analisi funzionale serve, in quanto ti permette di affrontare problemi applicativi in modo avanzato e con tecniche più potenti (ad esempio lo studio delle PDE attraverso gli spazi di Sobolev che sono spazi di Banach e che quindi studi con gli strumenti di analisi funzionale).
Secondo me alla fine l'importante non è che tu abbia nel tuo curriculum degli studi la voce analisi funzionale, ma che tu abbia le conoscenze base per poi muoverti nella ricerca. Sarebbe anche una buona cosa mostrare alla commissione di saper studiare in modo autonomo argomenti che possono essere correlati con i tuoi interessi (che poi è quello che farai durante il dottorato, studierai cose che pensi ti possano servire per la tua ricerca in modo autonomo).
Per avere un'infarinatura sul tutto, cerca i programmi di base di analisi funzionale nelle università, trovati dei libri e cerca di recuperare le cose fondamentali in questo periodo predottorato (hai 5 mesi, dovrebbero essere più che sufficienti).
Come argomenti secondo me dovresti almeno coprire:
- Teoria della Misura (Se non l'hai già fatta)
- Spazi di Hilbert
- Spazi L^p
- Spazi Normati e di Banach
- Teorema dell'applicazione aperta
- Teorema di Banach-Steinhaus (Principio dell'uniforme limitatezza)
- Teorema del Grafo chiuso
- Spazi Vettoriali Topologici
Buoni libri per questi argomenti sono Conway - A Course of functional analysis (no spazi l^p, no teoria della misura), Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (No teoria della misura) o Rudin - Real and complex analysis. Quello che si avvicina di più ai tuoi interessi è secondo me il Brezis, che ti fornisce una grande sinergia tra analisi funzionale e PDE avanzate.
Guarda nella sezione leggiti questo per ulteriori informazioni, soprattutto cerca delle dispense (che possono sostituire benissimo il libro).
P.s. Per capire meglio le tue conoscenze pregresse, che percorso universitario hai fatto?
http://www.sissa.it/gare/show_announcem ... C2&id=1538
Per la ricerca in matematica applicata l'analisi funzionale serve, in quanto ti permette di affrontare problemi applicativi in modo avanzato e con tecniche più potenti (ad esempio lo studio delle PDE attraverso gli spazi di Sobolev che sono spazi di Banach e che quindi studi con gli strumenti di analisi funzionale).
Secondo me alla fine l'importante non è che tu abbia nel tuo curriculum degli studi la voce analisi funzionale, ma che tu abbia le conoscenze base per poi muoverti nella ricerca. Sarebbe anche una buona cosa mostrare alla commissione di saper studiare in modo autonomo argomenti che possono essere correlati con i tuoi interessi (che poi è quello che farai durante il dottorato, studierai cose che pensi ti possano servire per la tua ricerca in modo autonomo).
Per avere un'infarinatura sul tutto, cerca i programmi di base di analisi funzionale nelle università, trovati dei libri e cerca di recuperare le cose fondamentali in questo periodo predottorato (hai 5 mesi, dovrebbero essere più che sufficienti).
Come argomenti secondo me dovresti almeno coprire:
- Teoria della Misura (Se non l'hai già fatta)
- Spazi di Hilbert
- Spazi L^p
- Spazi Normati e di Banach
- Teorema dell'applicazione aperta
- Teorema di Banach-Steinhaus (Principio dell'uniforme limitatezza)
- Teorema del Grafo chiuso
- Spazi Vettoriali Topologici
Buoni libri per questi argomenti sono Conway - A Course of functional analysis (no spazi l^p, no teoria della misura), Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (No teoria della misura) o Rudin - Real and complex analysis. Quello che si avvicina di più ai tuoi interessi è secondo me il Brezis, che ti fornisce una grande sinergia tra analisi funzionale e PDE avanzate.
Guarda nella sezione leggiti questo per ulteriori informazioni, soprattutto cerca delle dispense (che possono sostituire benissimo il libro).
P.s. Per capire meglio le tue conoscenze pregresse, che percorso universitario hai fatto?
ah, grazie per il consiglio sul libro!
Mi piacerebbe provare alla Sissa, in matematica applicata. Li è previsto lo scritto, poi si passerà all'orale.
Il problema è che l'applicazione si basa molto sull'analisi...non so quanto sull'analisi funzionale. Che sia richiesto o meno un progetto è comunque possibile che facciano alcune domande in merito al percorso di studi e potrebbe capitare una domanda di analisi funzionale? Non ho idea di come si svolga un esame di dottorato: nel mio caso non è richiesto un progetto, e suppongo che al colloquio verranno fatte delle domande riferite alle mie conoscenze. Sarà come affrontare un esame su tutto il percorso di studi? O verranno fatte domande riguardanti le conoscenze di base? (per intenderci teoremi importanti). E poi è richiesta la dimostrazione?
Il problema è che l'applicazione si basa molto sull'analisi...non so quanto sull'analisi funzionale. Che sia richiesto o meno un progetto è comunque possibile che facciano alcune domande in merito al percorso di studi e potrebbe capitare una domanda di analisi funzionale? Non ho idea di come si svolga un esame di dottorato: nel mio caso non è richiesto un progetto, e suppongo che al colloquio verranno fatte delle domande riferite alle mie conoscenze. Sarà come affrontare un esame su tutto il percorso di studi? O verranno fatte domande riguardanti le conoscenze di base? (per intenderci teoremi importanti). E poi è richiesta la dimostrazione?
Penso dipenda anche da cosa tu poi voglia fare come specializzazione, dove volevi provare l'iscrizione?
Se è prevista una prova scritta di solito devi sviluppare un tema tra quelli che ti danno, che coprono di solito tutte le maggiori branche della matematica(Algebra, geometria, analisi e pde, probabilità, fisica matematica e calcolo numerico), per cui basta evitare il tema di analisi e sei a posto.
Se la prova è orale invece dipende da cosa ti chiedono, ma da quello che so in molte università di fanno presentare un progetto di ricerca.
Aspettiamo altri per ulteriori informazioni.
P.s. un buon libro, che non costa prezzi esorbitanti, per prepararsi nella a parte di analisi è http://www.amazon.com/Analysis-Graduate-Students-Second-Edition/dp/1481869140/ref=sr_1_sc_1?ie=UTF8&qid=1395951427&sr=8-1-spell&keywords=baas+real+analisys
Se è prevista una prova scritta di solito devi sviluppare un tema tra quelli che ti danno, che coprono di solito tutte le maggiori branche della matematica(Algebra, geometria, analisi e pde, probabilità, fisica matematica e calcolo numerico), per cui basta evitare il tema di analisi e sei a posto.
Se la prova è orale invece dipende da cosa ti chiedono, ma da quello che so in molte università di fanno presentare un progetto di ricerca.
Aspettiamo altri per ulteriori informazioni.
P.s. un buon libro, che non costa prezzi esorbitanti, per prepararsi nella a parte di analisi è http://www.amazon.com/Analysis-Graduate-Students-Second-Edition/dp/1481869140/ref=sr_1_sc_1?ie=UTF8&qid=1395951427&sr=8-1-spell&keywords=baas+real+analisys
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