Polinomio primo
Vorrei dimostrare che il seguente polinomio $P(x) = x^2 + x + 41$ per $-40<=x<=39$ assegna sempre valori primi.
Io avevo pensato questo:
Se $P(x)$ fosse composto per un certo $x$, avrei che $P(x)=a$ con $a$ scrvibile come prodotto di due fattori $b$ e $c$. (Ovviamente considerato di lavorare sempre e solo in $Z$.
Quindi posso scrivere $x^2 + x + 41 = b*c$. Adesso per ogni $x$ posso considerare $alpha in Z$ e $beta in Z$ tali che $b=x+ alpha$ e $c=x+beta$, se così fosse, sostituendo otterrei: $x^2 + x + 41 = (x+alpha)(x+beta)$. Quindi otterrei $alpha+beta=1$ e $alpha*beta=41$ che è assurdo. Inoltre il polinomio di partenza era irriducibile, quindi era già assurdo il fatto di scriverlo come prodotto di due polinomi di grado 1. Il problema è che faccio un errore in questo discorso, ma non so quale. Intanto per cominciare non considero l'intervallo, ed è palese che sbaglio perchè se considerassi $x=-41 or x=-42 or x=40 or x=41$ otterrei $P(x)$ non primo.
Qulacuno mi aiuterebbe?
Grazie
Io avevo pensato questo:
Se $P(x)$ fosse composto per un certo $x$, avrei che $P(x)=a$ con $a$ scrvibile come prodotto di due fattori $b$ e $c$. (Ovviamente considerato di lavorare sempre e solo in $Z$.
Quindi posso scrivere $x^2 + x + 41 = b*c$. Adesso per ogni $x$ posso considerare $alpha in Z$ e $beta in Z$ tali che $b=x+ alpha$ e $c=x+beta$, se così fosse, sostituendo otterrei: $x^2 + x + 41 = (x+alpha)(x+beta)$. Quindi otterrei $alpha+beta=1$ e $alpha*beta=41$ che è assurdo. Inoltre il polinomio di partenza era irriducibile, quindi era già assurdo il fatto di scriverlo come prodotto di due polinomi di grado 1. Il problema è che faccio un errore in questo discorso, ma non so quale. Intanto per cominciare non considero l'intervallo, ed è palese che sbaglio perchè se considerassi $x=-41 or x=-42 or x=40 or x=41$ otterrei $P(x)$ non primo.
Qulacuno mi aiuterebbe?
Grazie
Risposte
Guarda qui
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9195
Si parla di $n^2-n+41$, ma e' del tutto equivalente al caso in cui $n^2+n+41$.
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Si parla di $n^2-n+41$, ma e' del tutto equivalente al caso in cui $n^2+n+41$.
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