Paradosso della "lampada di Thompson"

[Gianmaster08]

Considerate la seguente situazione:
"Si ha una lampada, dotata di un normale pulsante di accensione-spegnimento. Schiacciando il pulsante, se la lampada è spenta, essa si accende; viceversa, si spegne. Si immagini ora la seguente situazione: la lampada è spenta, e si impiega esattamente un minuto per schiacciare il pulsante e accenderla. Quindi si preme di nuovo il pulsante, impiegando la metà del tempo, vale a dire 30 secondi, per spegnerla. Poi lsi riaccende ancora, in 15 secondi, e la si rispenga in metà tempo, ossia 7,5 secondi. E così via all’infinito, sempre impiegando per premere il pulsante la metà del tempo impiegato appena prima"


Si ha una serie infinita convergente il cui limite è 2.
Per quanto sembri strano che si riesca a premere il pulsante infinite volte, dopo 2 minuti, dovete riconoscere che è possibile portare a termine in un tempo finito una serie infinita di atti sempre più brevi, tanto brevi da essere sempre completati prima che trascorrano i due minuti.
Ma, se al termine di questi due minuti osserviamo la lampada, essa sarà accesa oppure spenta? Questo non si può affatto dire in base alle informazioni disponibili.
Mi chiedo:
Se anche si convenisse che +1 significa accendere e -1 significa spegnere, perché bisogna sommare questi numeri per rappresentare lo stato finale dopo una successione di tali azioni? Lo stato finale non è né accendere né spegnere, ma acceso o spento. Si potrebbe allora convenire che 0 indica spento e 1 acceso. Allora bisognerebbe ulteriormente spiegare che la addizione dei numeri che rappresentano le azioni porta al numero che rappresenta la situazione di acceso o spento quando si interrompe questa serie di azioni. Ma, anche se una somma finita può rappresentare la situazione che si avrà dopo un numero finito di azioni, cosa dire della somma infinita? Ha senso dire che rappresenterà la situazione al minuto 2? La serie data (il limite delle ridotte) non converge, ma anche dovesse convergere perché deve rappresentare lo stato finale? Perché il tendere verso qualcosa dovrebbe indicare che quel qualcosa è lo stato finale? Perché dover supporre una specie di “continuità” tra il comportamento nell’avvicinarsi al minuto 2 con quello che succede esattamente al minuto 2?

Mi togliete qualche dubbio? Grazie.

[Akuma1]

personalmente credo che la soluzione data dal Prof. Patrone sia la più esaustiva

[alfabeto2]

Se il tempodi accensione e di spegnimento è = a zero, anche per tempi brevissimi (in prossimità del secondo 29 la lampada isulterà accesa al massimo dello splendore.
Però qui a me sembra il problema di Zenone (la tartaruga e achille). Tentiamo un ragionamento dove i segmenti di secondo diventano sempre più piccoli... e senza fine.... 1/n non ha un minimo.

A.B.

[GPaolo1]

Quello che accade è che, ammettendo una lampadina ideale (0 tempo per l'accensione e 0 tempo per lo spegnimento), la frequenza di variazione dello stato diventa via via più rapida e la lampadina tenderà ad un valore medio della sua accensione. Alla fine del secondo minuto la lampadina risulta accesa alla metà della sua massima illuminazione per poi spegnersi subitamente.

[ViciousGoblin]

Mi pare che qui, come in altri casi di questo tipo, il problema sia nel passaggio dalla "matematica alla lampadina", cioe' come e fino a che punto un certo oggetto obbedisca a delle leggi matematiche.
E' quindi un problema di "modellizzazione", che non mi pare poi tanto diverso dal seguente:

se la lampadina e' spenta nei tempi $t<0$ ed e' accesa nei tempi $t>0$ qual e' il suo stato al tempo zero ??

Parlo naturamente di "lampadine ideali", dato che su quelle concrete, o quelle rette da modello piu' realistico, i problemi si superano facilmente.
Insomma che "lampadina" abbiamo in mente ?

[Fioravante Patrone1]

Supponiamo che i problemi fiisco-ingegneristici non ci siano.

Al momento 2 e successivi lo stato della lampada è indefinito, sulla base delle info che sono date sul processo.

[cozzataddeo]

Allo scadere del minuto 2 non avvengono piú accensioni né spegnimenti della lampada, giusto?
Quindi anche se la guardo dopo 3 minuti essa sarà nello stato in cui è alla fine del minuto 2. Mi pare quindi che cada l'obieizione di alfabeto sulla precisione dell'orologio.

Forse il paradosso sta nel fatto che in natura non esiste nulla che possa reagire ad uno stimolo con velocità sempre piú rapida senza arrivare prima o poi ad una saturazione. Anche la luce, per quanto veloce, si muove ad una velocità finita.

[alfabeto2]

E qual'è il minuto 2?. E' quello segnato dall'orologio che segna i minuti, o da quello che può indicare i secondi oppure quello che segna anche i decimi o i centesimi o i millesimi.... e così via... edi che se da un lato hai una serie infinita dall'altra hai un tempo che finisce solo per un problema tecnico cioè dato dalla sensibilità dell'orologio?. non puoi fare questo paragone.

A. B.