Operazioni tra interi

[Rooftile]

Ciao a tutti,

esiste un metodo per individuare per quali valori interi di "a", l'espressione (a^2 + b) è un quadrato perfetto?
Mi spiego meglio ... se b=24565, per quali valori di "a" interi (a^2+b) è un quadrato perfetto?

grazie,

Carmelo

[Rooftile]

Ok per la questione $a^2+b$ ...

invece per la frazione "itera" posso chiederti di eseguire il tuo suggerimento su questo esempio?
Quesito: data l'espressione $(237-3x)/(5x+4)$, trovare i valori di $x$ tali per cui l'espressione è un numero intero.

[TomSawyer1]

Sì, ho da aggiungere riguardo alla questione $a^2+b$:

"TomSawyer":Quanto alla prima domanda, la questione non e' difficile.

Se $b$ e' dispari, allora basta porre $a=1/2(b/d-d)$, con $d$ divisore positivo di $b$ e $d
Se $b \equiv 2 (mod 4)$ non esiste nessun $a$ che soddsifi la tesi, dato che un quadrato modulo $4$ e' o $0$ o $1$.

E se $b \equiv 0(mod 4)$, allora si pone $a=1/2(b/(2d)-2d)$ con $d|b/4$ e $d<\sqrt{(b/4)}$.

E per la seconda questione, ti ho fornito il metodo, forse non l'hai capito. Guarda qui tra le proprietà.

[Rooftile]

Ciao TomSawyer,

per quanto riguarda il problema dei quadrati, ho capito che non esiste un metodo per individuare i valori di $a$ tali per cui $a^2+b$ è un quadrato perfetto ... a meno che $b$ sia un quadrato, allora si tratta di terne pitagoriche, ma anche li' un metodo non esiste! Qualcosa da aggiungere ?

per quanto riguarda il problema della frazione "intera", quello che mi servirebbe è trovare il valore di $x$ tale per cui $(ax+b)/(cx+d)$ è un numero intero ... ad esempio, se io ho $(175-x)/(6x+1)$, in tal caso la soluzione è $x=2$, trovata per iterazione (molto semplice dato che $x$ l'ho trovato subito). Volevo chiedervi se ne esiste un metodo, senza iterare sui possibili valori di $x$. Il tuo suggerimento mi alleggerisce il calcolo, perchè prima vedo se esiste e poi, avendo un problema di soluzione più semplice, itero su tutti i valori di $x$ e trovo quello che mi soddisfa al problema!

grazie ancora,

Carmelo

[TomSawyer1]

E' tutto quello che ti serve sapere se la soluzione esiste oppure no, non capisco dove stia il problema.

Non so dove ci siano dei tutorial, pero' l'unica regola che ti serve per questo problema e' quella che ti ho scritto.

Inoltre, ti e' chiaro il discorso di $a^2+b$ quadrato perfetto?

[Rooftile]

Il fatto è che comunque i valori di $a$, $b$, $c$, e $d$ sono noti, quindi con le tue indicazioni posso vedere se la soluzione esiste oppure no.

Potresti gentilmente indicarmi un tutorial per il calcolo del gcd di polimoni di primo grado (se esiste) ?

grazie infinite per il tuo aiuto,

Carmelo

[TomSawyer1]

E' ovvio che non e' una soluzione, perche' $\gcd(7x-2,7x+3)\ne 7x+3$. Devi guardare la condizione, ti ripeto. Quando troverai che $\gcd(ax+b,cx+d)=cx+d$, allora ok.

Quanto alla prima domanda, la questione non e' difficile.

Se $b$ e' dispari, allora basta porre $a=1/2(b/d-d)$, con $d$ divisore positivo di $b$ e $d
Se $b \equiv 2 (mod 4)$ non esiste nessun $a$ che soddsifi la tesi, dato che un quadrato modulo $4$ e' o $0$ o $1$.

E se $b \equiv 0(mod 4)$, allora si pone $a=1/2(b/(2d)-2d)$ con $d|b/4$ e $d<\sqrt{(b/4)}$.

[Rooftile]

La formula che mi suggerite mi permette di ridurre l'espressione principale in forme sempre più semplici, ma non mi permette di "trovare" il valore $x$ tale per cui l'espressione scritta in precedenza è un intero ...

Nell'esempio riportato da TomSawyer l'espressione finale è più semplice, $(7x-2)/(7x+3)$, ma non è una soluzione! Quando sono arrivato alla formulazione del problema più banale, dovrò comunque iterare per alcuni valori di $x$. E' corretto il ragionamento ?

[TomSawyer1]

No, per esempio se hai $\gcd(21x+4,7x+3)=\gcd(14x+1,7x+3)=\gcd(7x-2,7x+3)$, cioe' la riduci ad una forma molto piu' semplice.

[zorn1]

"Rooftile":Quindi, dati $a$, $b$, $c$, $d$, dovrei ripetere la verifica per ogni valore di $x$ ?

No, imponi la condizioni e risolvi, magari usi Bezout...

[Rooftile]

Quindi, dati $a$, $b$, $c$, $d$, dovrei ripetere la verifica per ogni valore di $x$ ?

[TomSawyer1]

Deve verificarsi la condizione $\gcd(ax+b,cx+d)=cx+d$. Basta usare la proprieta' $\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)$ a ripetizione per vedere se e' soddsifatta la condizione.

[Rooftile]

Ciao zorn,

grazie per la celere risposta ... in realtà io cercavo una soluzione per $b$ generico, ma mi sembra di capire che anche in questa direzione una soluzione non esiste!

Intanto volevo porvi ancora un altro quesito: si possono individuare i valori di $x$, tale che l'espressione $(ax+b)/(cx+b)$ dia come risultato un numero intero, con $a$, $b$, $c$, $d$, noti?
Per esempio se $a=-1$, $b=175$, $c=6$, $d=3$, per quali valori di $x$, l'espressione scritta sopra è un intero?

grazie,

Carmelo

[zorn1]

Beh, direi che condizione necessaria e sufficiente è

$a^2+b=c^2$ perciò $c^2-b$ deve essere un quadrato. Se $b$ è quadrato il problema è equivalente a cercare le terne pitagoriche, che io sappia vi sono solo parziali risultati in questa direzione!

Quindi direi di no.