Operazioni e Proprietà dei Vettori
Salve ! Come sempre ho bisogno di una mano nello studio della matematica.....che come ribadisco mi piace tanto però.......non mi è stata mai insegnata a dovere.
Allora , oggi parliamo di "vettori" , quelli che in fisica sono molto usati:
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Il mio primo quesito è sui "versori" del vettore. Questi versori servono solamente per determinare il "verso"? Sono quindi riconducibili ai valori (1) e (-1) ?
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E poi il "prodotto scalare" mi dice di moltiplicare il modulo dei due vettori per il coseno dell'angolo tra i due vettori. Cioè prendo il prodotto delle lunghezze dei vettori e le moltiplico per il rapporto fra altri due segmenti che sono i lati del triangolo.......tutto
questo equivale a moltiplicare la lunghezza di un vetttore per la base del trianbolo che è un segmento della sua stessa lunghezza..............
ESEMPIO:
Due vettori 'a' e 'b'........il loro prodotto scalare è:
a*b*cos(alfa) = a*b*L/a (L è la base del triangolo)
quindi ottengo (b*L)
.....a che serve questo impastare di numeri?
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GRAZIE ! Ciao! [:)]
Bemipefe
Allora , oggi parliamo di "vettori" , quelli che in fisica sono molto usati:
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Il mio primo quesito è sui "versori" del vettore. Questi versori servono solamente per determinare il "verso"? Sono quindi riconducibili ai valori (1) e (-1) ?
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E poi il "prodotto scalare" mi dice di moltiplicare il modulo dei due vettori per il coseno dell'angolo tra i due vettori. Cioè prendo il prodotto delle lunghezze dei vettori e le moltiplico per il rapporto fra altri due segmenti che sono i lati del triangolo.......tutto
questo equivale a moltiplicare la lunghezza di un vetttore per la base del trianbolo che è un segmento della sua stessa lunghezza..............
ESEMPIO:
Due vettori 'a' e 'b'........il loro prodotto scalare è:
a*b*cos(alfa) = a*b*L/a (L è la base del triangolo)
quindi ottengo (b*L)
.....a che serve questo impastare di numeri?
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GRAZIE ! Ciao! [:)]
Bemipefe
Risposte
Ok Grazie "Luca. Lussardi" .....e scusa se vado a "propano" certe volte ma su queste cose preferisco avere una base buona
CIAO!
Bemipefe
CIAO!
Bemipefe
No, per combinazione intendo fissare due vettori indipendenti i e j nel piano (non necessariamente ortogonali o lunghi 1) e scrivere ogni altro vettore v come combinazione lineare di i e j. Sara' v=ai+bj, per certi a,b numeri reali.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Per "combinazione" intendi il prodotto vettoriale tra ad esempio il vettore "A" ed il suo versore "a" ?
se è così verrebbe quidni (y)= A*a*(y)/A = a*(y) = (y) cioè la coordinata y del vettore A. Ma in che modo stabilirei il verso? Per cambiare verso ad un vettore bisogna fare l'opposto delle proprie coordinate e cambiando "solo" y non cambierei di certo verso....
Potresti essere più chiaro ?
Bemipefe
se è così verrebbe quidni (y)= A*a*(y)/A = a*(y) = (y) cioè la coordinata y del vettore A. Ma in che modo stabilirei il verso? Per cambiare verso ad un vettore bisogna fare l'opposto delle proprie coordinate e cambiando "solo" y non cambierei di certo verso....
Potresti essere più chiaro ?
Bemipefe
Se sei nel piano o nello spazio il meno non ha molto significato. Basta scrivere il vettore come combinazione dei versori degli assi di un sistema di riferimento.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Quidni concordi col fatto che il "meno" - è soltanto simbolico non matematico ...e concorderai anche col fatto che come sistema di riferimento devi prendere per forsa l'origine del piano cartesiano .....in 2D o 3D a seconda del vettore.....
Bemipefe
Bemipefe
Non e' il modulo ad essere negativo, e' solo una questione di verso. Ripeto che il modulo di un vettore e' un numero reale positivo o nullo. Non puo' essere un numero negativo, per definizione. Cio' che poi rende "negativo" un vettore e' solo la sua direzione e/o il suo verso.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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....con |x| = 1,3 m bisogna precisare che il modulo è negativo nel III o IV quadrante ma anche se coincide con la parte negativa delle x e dell y....
Bemipefe
Bemipefe
....con |x| = 1,3 m bisogna precisare che il modulo è negativo nel III o IV quadrante ma anche se coincide con la parte negativa delle x e dell y....
Bemipefe
Bemipefe
Concordo con "Luca.Lussardi" ...tuttavia nn disprezzo anche l'affermazione di "infinito"
Ora dico la mia.....
Allora la misura del modulo non può essere negativa giustamente ....perchè io non sarò mai alto -1,78 cm!
Tuttavia il "-" meno è indispensabile per determinare il verso!
Ora secondo la mia blanda conoscenza di fisica dico che il modulo di un vettore altro non rappresenta che una traiettoria di un corpo o di un accelerazione o di una velocità o di un campo....
Quindi il verso è ricavabile dal sistema di riferimento che si sceglie....se ad esempio il vettore è verticale o orizontale si fà subito a capire a seconda del verso della freccia se esso sia negativo o positivo.....basta prendere come riferimento il piano cartesiano e far coincidere l'origine con l'origine del vettore....
Allora la misura del modulo sarà ad esempio |x| con x = 1,3 m ....ma se questa misura è individuata nel III o IV quadrante del piano cartesiano allora il modulo sarà inevitabilmente -|x|...
...il meno mi sembra dunque più simbolico che matematico....come avviene per l'attribuzione delle cariche elettirche positive (+) e negative (-) in cui il segno è appunto un simbolo che indica la natura della carica che può avere un valore scelto tra un insieme di valori bivalente...
...è così è per il modulo che può essere "bivalente" nel senso che può stare in due posizioni sulla direzione individuata dai due vettori con modulo |x| oppure -|x|.
Quindi la direzione è una retta che coincide con uno dei due assi cartesiani e che non è mai contenuta in un unico "quadrante"
Questo è quello che penso poi credo bisogna fare delle precisazioni.....le quali però non sò fare per mancanza di esperienza...
Bemipefe
Ora dico la mia.....
Allora la misura del modulo non può essere negativa giustamente ....perchè io non sarò mai alto -1,78 cm!
Tuttavia il "-" meno è indispensabile per determinare il verso!
Ora secondo la mia blanda conoscenza di fisica dico che il modulo di un vettore altro non rappresenta che una traiettoria di un corpo o di un accelerazione o di una velocità o di un campo....
Quindi il verso è ricavabile dal sistema di riferimento che si sceglie....se ad esempio il vettore è verticale o orizontale si fà subito a capire a seconda del verso della freccia se esso sia negativo o positivo.....basta prendere come riferimento il piano cartesiano e far coincidere l'origine con l'origine del vettore....
Allora la misura del modulo sarà ad esempio |x| con x = 1,3 m ....ma se questa misura è individuata nel III o IV quadrante del piano cartesiano allora il modulo sarà inevitabilmente -|x|...
...il meno mi sembra dunque più simbolico che matematico....come avviene per l'attribuzione delle cariche elettirche positive (+) e negative (-) in cui il segno è appunto un simbolo che indica la natura della carica che può avere un valore scelto tra un insieme di valori bivalente...
...è così è per il modulo che può essere "bivalente" nel senso che può stare in due posizioni sulla direzione individuata dai due vettori con modulo |x| oppure -|x|.
Quindi la direzione è una retta che coincide con uno dei due assi cartesiani e che non è mai contenuta in un unico "quadrante"
Questo è quello che penso poi credo bisogna fare delle precisazioni.....le quali però non sò fare per mancanza di esperienza...
Bemipefe
Un vettore non puo' avere modulo negativo. Il modulo di un vettore per definizione e'un numero reale positivo o nullo.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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C'è una cosa su cui (forse) non concordo.
Per me un vettore può avere anche modulo negativo, cuiè: un vettore (scelte le unità di misura) ha una direzione univoca, poi si scelgie uno dei due versi, e uccessivamente ha un unico modulo.
La cosa non è così "astratta", per esempio nei calscoli di balistica comunemente la velocità ha la componente verticale direttaq verso l'alto, mentre l'accelerazione di gravità è diretta verso il basso; questo fa sì che se voglio poter utilizzare le formule del moto unidimensionale devo considerare che i due vettori abbiano la stessa direzione e verso, il che implica che uno dei due moduli sia negativo (generalmente si considera negativa l'accelerazione di gravità).
Velocità ed accelerazione non possono essere né confrontati, né sommati, ma possono esserlo la velocità ed il prodotto fra l'accelerazione e l'ntervallo di tempo.
Per me un vettore può avere anche modulo negativo, cuiè: un vettore (scelte le unità di misura) ha una direzione univoca, poi si scelgie uno dei due versi, e uccessivamente ha un unico modulo.
La cosa non è così "astratta", per esempio nei calscoli di balistica comunemente la velocità ha la componente verticale direttaq verso l'alto, mentre l'accelerazione di gravità è diretta verso il basso; questo fa sì che se voglio poter utilizzare le formule del moto unidimensionale devo considerare che i due vettori abbiano la stessa direzione e verso, il che implica che uno dei due moduli sia negativo (generalmente si considera negativa l'accelerazione di gravità).
Velocità ed accelerazione non possono essere né confrontati, né sommati, ma possono esserlo la velocità ed il prodotto fra l'accelerazione e l'ntervallo di tempo.
Mi #232; venuta un altra domanda dinnanzi...
Nel prodotto vettoriale per trovare le coordinate del vettore risultatne bisogna eseguire una matrice 3 x 3.
Nel primo rigo ci sono i versori , che sulle dispense che ho vengono chiamati "i" "j" e "k" , .....poi nel secondo rigo vi sono le coordinate x , y e z di un vettore , .....e sotto nell'ultimo rigo vi sono le coordinate dell'altro vettore.
Doamnda: I versori i, j, e k.......di chi sono i versori? Dove li devo prendere ?
Bemipefe
Nel prodotto vettoriale per trovare le coordinate del vettore risultatne bisogna eseguire una matrice 3 x 3.
Nel primo rigo ci sono i versori , che sulle dispense che ho vengono chiamati "i" "j" e "k" , .....poi nel secondo rigo vi sono le coordinate x , y e z di un vettore , .....e sotto nell'ultimo rigo vi sono le coordinate dell'altro vettore.
Doamnda: I versori i, j, e k.......di chi sono i versori? Dove li devo prendere ?
Bemipefe
Cacchio! ...perch#232; le acccentate non le prende!?
Bemipefe
Bemipefe
[<<>>]
Quindi pi#249; che per dare il verso al vettore i "versori" servono per trovarlo no?
Cio#232; se il versore ha sempre lunghezza "1" allora il verso dipende da A, cio#232; a seconda del vettore A con cui si far#224; il Prodotto A*V*cos(alfa) e A*V*SIN(alfa), si otterranno coordinate positive o meno no?
...per#242; #232; strano perch#232;; se la lunghezza #232; una quantit#224; positiva (sempre come giustamente affermi tu) allora anche le coordinate x ed y di un vettore nel III quadrante saranno positive.....
...in sonstanza come faccio a determinare il verso se non con la positivit#224; o la negativit#224; delle coordinate? ....sempre che i versori servanon per determinare il verso e non per darlo....
CIAO!
Bemipefe
Bemipefe
Quindi pi#249; che per dare il verso al vettore i "versori" servono per trovarlo no?
Cio#232; se il versore ha sempre lunghezza "1" allora il verso dipende da A, cio#232; a seconda del vettore A con cui si far#224; il Prodotto A*V*cos(alfa) e A*V*SIN(alfa), si otterranno coordinate positive o meno no?
...per#242; #232; strano perch#232;; se la lunghezza #232; una quantit#224; positiva (sempre come giustamente affermi tu) allora anche le coordinate x ed y di un vettore nel III quadrante saranno positive.....
...in sonstanza come faccio a determinare il verso se non con la positivit#224; o la negativit#224; delle coordinate? ....sempre che i versori servanon per determinare il verso e non per darlo....
CIAO!
Bemipefe
Bemipefe
Quindi pi#249; che per dare il verso al vettore i "versori" servono per trovarlo no?
Cio#232; se il versore ha sempre lunghezza "1" allora il verso dipende da A, cioe#232; a seconda del vettore A con cui si far#224; il Prodotto A*V*cos(alfa) e A*V*SIN(alfa), si otterranno coordinate positive o meno no?
...per#242; #232; strano perch#232; se la lunghezza #232; una quantit#224; positiva (sempre come giustamente affermi tu) allora anche le coordinate x ed y di un vettore nel III quadrante saranno positive.....
...in sonstanza come faccio a determinare il verso se non con la positivit#224; o la negativit#224; delle coordinate? ....sempre che i versori servanon per determinare il verso e non per darlo....
CIAO!
Bemipefe
Cio#232; se il versore ha sempre lunghezza "1" allora il verso dipende da A, cioe#232; a seconda del vettore A con cui si far#224; il Prodotto A*V*cos(alfa) e A*V*SIN(alfa), si otterranno coordinate positive o meno no?
...per#242; #232; strano perch#232; se la lunghezza #232; una quantit#224; positiva (sempre come giustamente affermi tu) allora anche le coordinate x ed y di un vettore nel III quadrante saranno positive.....
...in sonstanza come faccio a determinare il verso se non con la positivit#224; o la negativit#224; delle coordinate? ....sempre che i versori servanon per determinare il verso e non per darlo....
CIAO!
Bemipefe
Si', ma V nella formula che dai tu e' la lunghezza del versore, quindi 1, non -1. La lunghezza e' una quantita' sempre positiva...
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Grazie "Luca.Lussardi"!
Quindi usando il vettore A ed il suo versore si possono determinare le coordinate x ed y del vettore eseguendo un Prodotto Scalare ed un Prodotto Vettoriale.....è in questo senso che viene utilizzato no?
ESEMPIO:
Un Vettore A e suo versore V ....A ha le coordinate "x" e "y"....il vettore risultante dal prodotto vettoriale è A*V*sin(alfa) = A*V*b/A..quindi è uguale a "y" se V = 1 mentre è uguale a "-y" se V = -1.
Mentre facendo il Prodotto scalare otterrei A*V*cos(alfa) ....e quindi otterrei "x" oppure "-x" a sevonda che V sia 1 o -1....
....Giusto?
Bemipefe
Quindi usando il vettore A ed il suo versore si possono determinare le coordinate x ed y del vettore eseguendo un Prodotto Scalare ed un Prodotto Vettoriale.....è in questo senso che viene utilizzato no?
ESEMPIO:
Un Vettore A e suo versore V ....A ha le coordinate "x" e "y"....il vettore risultante dal prodotto vettoriale è A*V*sin(alfa) = A*V*b/A..quindi è uguale a "y" se V = 1 mentre è uguale a "-y" se V = -1.
Mentre facendo il Prodotto scalare otterrei A*V*cos(alfa) ....e quindi otterrei "x" oppure "-x" a sevonda che V sia 1 o -1....
....Giusto?
Bemipefe
Il versore di un vettore e' semplicemente quel vettore che ha la stessa direzione, lo stesso verso, ma lunghezza 1. 1 e -1 sono i soli due versori di R, pensato come spazio vettoriale 1-dimensionale su R stesso.
Quanto al prodotto scalare, la sua definizione ha origine nel problema di proiettare un vettore sopra un altro (vedi Forza e spostamente per trovare il lavoro). Puo' anche essere usato per definire il coseno di un angolo, anzi in Geometria euclidea si usa proprio il prodotto scalare come definizione di coseno.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Quanto al prodotto scalare, la sua definizione ha origine nel problema di proiettare un vettore sopra un altro (vedi Forza e spostamente per trovare il lavoro). Puo' anche essere usato per definire il coseno di un angolo, anzi in Geometria euclidea si usa proprio il prodotto scalare come definizione di coseno.
Luca Lussardi
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