Nuova formula matematica??
Ciao a tutti,
riflettendo del più e del meno mi é venuta un'intuizione: mi sono accorto che é possibile stabilire una connessione tra un dato numero di elementi n e il numero massimo di relazioni bilaterali fra di essi. Mi spiego meglio: se noi abbiamo 2 elementi (n=2), il numero massimo di connessioni tra tali elementi é 1; con 3 elementi (n=3), le connessioni sono al massimo 3 (se in un piano rappresentiamo gli elementi come dei punti e le relazioni tra di essi come delle linee, il risultato che avremo é, banalmente, un triangolo); con 4 (n=4), le relazioni sono 6 (un quadrilatero più le diagonali); con n=5, 10 relazioni; con n=6 15, con n=7 21 e cosi via...a questo punto ho cercato di sistematizzare la connessione sforzandomi di trovare una formula, e alla fine l'ho trovata:
(n-1)n / 2
con n qualsiasi numero intero naturale.
Volevo attirare l'attenzione della community di matematicamente.it per sapere se quest'idea sia mai stata sviluppata da qualche matematico in passato. Se tale formula é stata già scoperta mi sapreste dire gentilmente come é stata battezzata, o qual é stato lo studioso ad averla pubblicata ecc...se nessuno l'avesse mai enunciata, di contro, vorrei sapere da voi se valga la pena di essere divulgata o se sia possibile trovare un applicazione pratica.
Vi ringrazio molto della vostra disponibilità!
Matteo
riflettendo del più e del meno mi é venuta un'intuizione: mi sono accorto che é possibile stabilire una connessione tra un dato numero di elementi n e il numero massimo di relazioni bilaterali fra di essi. Mi spiego meglio: se noi abbiamo 2 elementi (n=2), il numero massimo di connessioni tra tali elementi é 1; con 3 elementi (n=3), le connessioni sono al massimo 3 (se in un piano rappresentiamo gli elementi come dei punti e le relazioni tra di essi come delle linee, il risultato che avremo é, banalmente, un triangolo); con 4 (n=4), le relazioni sono 6 (un quadrilatero più le diagonali); con n=5, 10 relazioni; con n=6 15, con n=7 21 e cosi via...a questo punto ho cercato di sistematizzare la connessione sforzandomi di trovare una formula, e alla fine l'ho trovata:
(n-1)n / 2
con n qualsiasi numero intero naturale.
Volevo attirare l'attenzione della community di matematicamente.it per sapere se quest'idea sia mai stata sviluppata da qualche matematico in passato. Se tale formula é stata già scoperta mi sapreste dire gentilmente come é stata battezzata, o qual é stato lo studioso ad averla pubblicata ecc...se nessuno l'avesse mai enunciata, di contro, vorrei sapere da voi se valga la pena di essere divulgata o se sia possibile trovare un applicazione pratica.
Vi ringrazio molto della vostra disponibilità!
Matteo
Risposte
grazie mille! 
Per dirla tutta, è cosa nota e stranota, poiché molto elementare.
L'idea che sta alla base della formula è quella del calcolo della somma dei primi \(n-1\) numeri naturali, ed infatti:
\[
\frac{n(n-1)}{2} =\sum_{k=1}^{n-1} k\; .
\]
Tale uguaglianza è arcinota, soprattutto perché sembra sia stata la prima scoperta matematica fatta da Gauss, all'età di nove anni.
In particolare, sembra che la maestra di scuola del piccolo Gauss un giorno si fosse divertita ad assegnare ai suoi alunni il compito di sommare i primi \(100\) numeri naturali; mentre gli altri pargoli compilavano conti sulle lavagnette, il princeps mathematicorum in erba consegnò alla maestra il risultato corretto in pochissimo tempo.
A quanto pare, il giovane Gauss si rese conto del fatto che, scritti i numeri naturali su due righe, mantenendo in una delle due l'ordine crescente ed invertendo l'ordine nella riga seguente:
\[
2 \text{ righe}\Big\{\underbrace{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & 98 & 99 & 100 \\ 100 & 99 & 98 & \cdots & 3 & 2 & 1\end{matrix}}_{100 \text{ colonne}}\; ,
\]
sommando gli addendi incolonnati otteneva sempre lo stesso numero (i.e. \(101\)); allora, moltiplicato tale numero per \(100\) (numero di colonne) e diviso il risultato per \(2\) (numero di righe), Carletto ottenne il risultato giusto, cioè \(5050\).
Ovviamente, l'intuizione del giovane Gauss può essere generalizzata e può essere usata come dimostrazione costruttiva e "senza parole" della formula di sommazione \(\sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}n(n+1)\), i.e.:
\[
2 \text{ righe}\Big\{\underbrace{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1 & n \\ n & n-1 & n-2 & \cdots & 3 & 2 & 1\end{matrix}}_{100 \text{ colonne}} \quad \Rightarrow \quad 2\sum_{k=1}^n k = (n+1)\ n\; .
\]
L'idea che sta alla base della formula è quella del calcolo della somma dei primi \(n-1\) numeri naturali, ed infatti:
\[
\frac{n(n-1)}{2} =\sum_{k=1}^{n-1} k\; .
\]
Tale uguaglianza è arcinota, soprattutto perché sembra sia stata la prima scoperta matematica fatta da Gauss, all'età di nove anni.
In particolare, sembra che la maestra di scuola del piccolo Gauss un giorno si fosse divertita ad assegnare ai suoi alunni il compito di sommare i primi \(100\) numeri naturali; mentre gli altri pargoli compilavano conti sulle lavagnette, il princeps mathematicorum in erba consegnò alla maestra il risultato corretto in pochissimo tempo.
A quanto pare, il giovane Gauss si rese conto del fatto che, scritti i numeri naturali su due righe, mantenendo in una delle due l'ordine crescente ed invertendo l'ordine nella riga seguente:
\[
2 \text{ righe}\Big\{\underbrace{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & 98 & 99 & 100 \\ 100 & 99 & 98 & \cdots & 3 & 2 & 1\end{matrix}}_{100 \text{ colonne}}\; ,
\]
sommando gli addendi incolonnati otteneva sempre lo stesso numero (i.e. \(101\)); allora, moltiplicato tale numero per \(100\) (numero di colonne) e diviso il risultato per \(2\) (numero di righe), Carletto ottenne il risultato giusto, cioè \(5050\).
Ovviamente, l'intuizione del giovane Gauss può essere generalizzata e può essere usata come dimostrazione costruttiva e "senza parole" della formula di sommazione \(\sum_{k=1}^n k =\frac{1}{2}n(n+1)\), i.e.:
\[
2 \text{ righe}\Big\{\underbrace{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1 & n \\ n & n-1 & n-2 & \cdots & 3 & 2 & 1\end{matrix}}_{100 \text{ colonne}} \quad \Rightarrow \quad 2\sum_{k=1}^n k = (n+1)\ n\; .
\]
Ciao,
quello che parli si può ridurre all'applicazione della definizione di grafo con vertici e archi. In particolare di un grafo non orientato completamente connesso, cerchi di calcolarne gli archi.
vedi:
- http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_%28mathematics%29
- http://en.wikipedia.org/wiki/Complete_graph
quello che parli si può ridurre all'applicazione della definizione di grafo con vertici e archi. In particolare di un grafo non orientato completamente connesso, cerchi di calcolarne gli archi.
vedi:
- http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_%28mathematics%29
- http://en.wikipedia.org/wiki/Complete_graph
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