Numero sequenze distinte = B alla n
Ciao a tutti, ho un problema a dir poco enorme!
nei sistemi di numerazioni posizionali potrei chiedere aiuto su come trovare (ovviamente chiedo le spiegazioni) :1 numero sequenze distinte = B alla n
2 numero di numeri rappresentabili = B alla n ; 3 numero massimo rappresentabile = B alla n -1
Vi ringrazio davvero molto già da ora ciao Marco
nei sistemi di numerazioni posizionali potrei chiedere aiuto su come trovare (ovviamente chiedo le spiegazioni) :1 numero sequenze distinte = B alla n
2 numero di numeri rappresentabili = B alla n ; 3 numero massimo rappresentabile = B alla n -1
Vi ringrazio davvero molto già da ora ciao Marco
Risposte
prego.
Grazie davvero, quindi 3 cifre base 2 è:
2*2*2=8-1=7
7/2=3 r1
3/2=1 r1
1/2=0 r1
SVM=111
ok
grazie davvero ciao
2*2*2=8-1=7
7/2=3 r1
3/2=1 r1
1/2=0 r1
SVM=111
ok
grazie davvero ciao
Ho letto adesso la spiegazione di adaBTTLS del fatto che il numero più grande rappresentabile è $B^n-1$ e devo dire che è parecchio più semplice e chiara della mia. Provo ad aggiungere qualcosina per cercare di chiarire ancora di più.
Il numero $B^n$ lo rappresenti con $n+1$ cifre decimali, precisamente come $10...0$, cioè un 1 seguito da n zeri. Esattamente come 1000, $10^3$, è 1 seguito da tre zeri. Se prendi il numero, chiamiamolo $x$, corrispondente a $(B-1)(B-1)...(B-1)$, e calcoli x+1, puoi fare il conto per colonna (come si impara a scuola elementare). Siccome $1$ corrisponde a $00...01$,
hai che:
${: (B-1, B-1, ldots, B-1, +), (0, 0, ldots, 1, =) :}$
e facendo il riporto ottieni proprio il numero $10...0$, cioè 1 seguito da n zeri, cioè $B^n$. Allora puoi dire che:
$x+1=B^n$ ovvero $x=B^n-1$. Spero che adesso sia più chiaro.
Il numero $B^n$ lo rappresenti con $n+1$ cifre decimali, precisamente come $10...0$, cioè un 1 seguito da n zeri. Esattamente come 1000, $10^3$, è 1 seguito da tre zeri. Se prendi il numero, chiamiamolo $x$, corrispondente a $(B-1)(B-1)...(B-1)$, e calcoli x+1, puoi fare il conto per colonna (come si impara a scuola elementare). Siccome $1$ corrisponde a $00...01$,
hai che:
${: (B-1, B-1, ldots, B-1, +), (0, 0, ldots, 1, =) :}$
e facendo il riporto ottieni proprio il numero $10...0$, cioè 1 seguito da n zeri, cioè $B^n$. Allora puoi dire che:
$x+1=B^n$ ovvero $x=B^n-1$. Spero che adesso sia più chiaro.
Tieni presente che 777 in base 8 non è settecentosettantasette, ma $7*8+7*8^2+7*8^3$. Allora, una cosa alla volta. Scegliamo una base $B>=2$ per la numerazione con $n$ cifre (mi pare di capire che vuoi rappresentare solo numeri interi, quindi niente virgola). Quindi ogni numero sarà una cosa tipo $d_1d_2...d_n$ dove le $d_i, 1<=i<=n$ sono cifre, ovvero interi compresi tra $0$ e $B-1$. Con la scrittura $d_1d_2...d_n$ intendiamo il numero $d_1B^(n-1)+d_2b^(n-2)+...+d_nB^0$. Pacifico questo? Se sì, allora contiamo quanti numeri riusciamo a individuare con questo sistema: sono tanti quante le possibili combinazioni di $d_1d_2...d_n$. Mi spiego meglio: possiamo scegliere $d_1$ in B modi, perché lo peschiamo tra ${0, 1, 2, ..., B-1}$. Ad ogni scelta di $d_1$ dobbiamo contare B possibili scelte di $d_2$. In totale possiamo scegliere $d_1, d_2$ in B*B modi diversi. Iterando il ragionamento arriviamo a dire che possiamo scegliere $d_1d_2...d_n$ in $B^n$ modi diversi.
Qual'è il numero più piccolo rappresentabile? Ovviamente $00...0$, perché corrisponde alla somma $0*B^(n-1)+0*B^(n-2)+...0*B^(0)$. E quello più grande? Altrettanto ovviamente, sarà il numero le cui cifre assumono tutte il valore massimo. Qual'è il valore massimo per una cifra? Come nella numerazione decimale è 9, nella numerazione in base B è (B-1). Quindi il numero più grande rappresentabile è $(B-1)(B-1)...(B-1)=(B-1)*B^(n-1)+(B-1)*B^(n-2)+...+(B-1)*B^0=(B-1)*sum_{k=0}^(n-1)B^k$, che è una progressione geometrica di ragione B. L'ultima sommatoria è uguale a $\frac{1-B^n}{1-B}$, e moltiplicata per $(B-1)$ diventa $B^n-1$.
[edit] ops...scrivevo contemporaneamente ad adaBTTLS...spero di non aver creato confusione.
Qual'è il numero più piccolo rappresentabile? Ovviamente $00...0$, perché corrisponde alla somma $0*B^(n-1)+0*B^(n-2)+...0*B^(0)$. E quello più grande? Altrettanto ovviamente, sarà il numero le cui cifre assumono tutte il valore massimo. Qual'è il valore massimo per una cifra? Come nella numerazione decimale è 9, nella numerazione in base B è (B-1). Quindi il numero più grande rappresentabile è $(B-1)(B-1)...(B-1)=(B-1)*B^(n-1)+(B-1)*B^(n-2)+...+(B-1)*B^0=(B-1)*sum_{k=0}^(n-1)B^k$, che è una progressione geometrica di ragione B. L'ultima sommatoria è uguale a $\frac{1-B^n}{1-B}$, e moltiplicata per $(B-1)$ diventa $B^n-1$.
[edit] ops...scrivevo contemporaneamente ad adaBTTLS...spero di non aver creato confusione.
non so se ti convince come spiegazione, ma dal calcolo combinatorio abbiamo B scelte ed N posizioni. per ogni posizione, le scelte sono indipendenti.
quindi si moltiplica B*B*...*B N volte: risultato B^N. se lo zero può essere in qualunque posizione, i numeri sono B^N. però il B^N-esimo numero dopo lo zero ha (N+1) cifre: si scrive 1 seguito da N zeri. quindi il (B^N-1)-esimo numero è il più grande numero di N cifre (se B è la base, il numero viene scritto ripetendo N volte B).
in base 8 sì, il numero scritto come 777 è in decimale 511 (8^3-1)
il numero 888 in base 9 è 728.
spero di aver chiarito i tuoi dubbi. ciao.
quindi si moltiplica B*B*...*B N volte: risultato B^N. se lo zero può essere in qualunque posizione, i numeri sono B^N. però il B^N-esimo numero dopo lo zero ha (N+1) cifre: si scrive 1 seguito da N zeri. quindi il (B^N-1)-esimo numero è il più grande numero di N cifre (se B è la base, il numero viene scritto ripetendo N volte B).
in base 8 sì, il numero scritto come 777 è in decimale 511 (8^3-1)
il numero 888 in base 9 è 728.
spero di aver chiarito i tuoi dubbi. ciao.
Allora riporto degli appunti che ho scritto a lezione per spiegarmi meglio:
numero di sequenze distinte = B alla n,
il numero di sequenze distinte ni n cifre in una base di numerazione B è dato da B alla n,
per esempio, in base 10 con 2 cifre si hanno 10 alla 2=100 sequenze distinte (oo, 01,02,03...99).
NUMERO MASSIMO RAPPRESENTABILE = b alla n -1
per esempio in base 10 con tre cifre si ha:
num. sequenze distinte: 10 alla 3 = 1000
num. di numeri rappresentabili: 10 alla 3 =1000
num. massimo rappresentabile: 10 alla 3=999
(SVM) base 10=999
(SVM) base 9=888
ma perchè???
ci sono questi fatti ma non la spiegazione su cui poter studiare,
per intuito direi che SVM base 8=777 (non so se è giusto) ma PERCHE'?
numero di sequenze distinte = B alla n,
il numero di sequenze distinte ni n cifre in una base di numerazione B è dato da B alla n,
per esempio, in base 10 con 2 cifre si hanno 10 alla 2=100 sequenze distinte (oo, 01,02,03...99).
NUMERO MASSIMO RAPPRESENTABILE = b alla n -1
per esempio in base 10 con tre cifre si ha:
num. sequenze distinte: 10 alla 3 = 1000
num. di numeri rappresentabili: 10 alla 3 =1000
num. massimo rappresentabile: 10 alla 3=999
(SVM) base 10=999
(SVM) base 9=888
ma perchè???
ci sono questi fatti ma non la spiegazione su cui poter studiare,
per intuito direi che SVM base 8=777 (non so se è giusto) ma PERCHE'?
Con B ti riferisci alla base della rappresentazione? e n è il numero di cifre della mantissa?
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