Numeri primi...

[fradila]

Ciao a tutti, mi chiamo Francesca e avrei bisogno di 1 pò d'aiuto con 1 quiz....Eccolo qua:

Qualunque sia la base x, il numero che in quella base si scrive 11011
A) è dispari
B) non è divisibile per tre
C) non è primo
D) è primo
E) è pari

Ora, la risposta giusta è C), ma perchè???????????
Grazie dell'aiuto!
Francesca

[infinito1]

A/E)
se la base è n si ha che l'espressione (in base n) 11=n+1 e 1001=n·n·n+1 ,
per cui sia i due numeri, sia il loro prodotto «è pari se la base è dispari e viceversa».

D)poiché 11011=11·1001 tale numero ha almeno questi divisori:
1; 11; 1001; 11011; quindi non è primo.

B)
"Si" per "n modulo 3" (si scrive "n mod 3").
Ovviamente è vera una ed una sola fra le tre "n=3·k", "n=3·k+1", "n=3·k+2", per un opportuno k naturale, che sono del tipo "3·k+h", con h appartenente a {0; 1; 2}.
Allora basta fare i calcoli:
11011 = 11·1001 = (n+1)·(n·n·n+1) = (3·k+h+1)·((3·k+h)·(3·k+h)·(3·k+h)+1) = (3·k+(h+1))·(3·i+(h·h·h+1)) con i intero opportuno;
allora abbiamo 3 casi:
se h=0 il numero è (3·k+1)·(3·i+1) che non è un multiplo di 3,
se h=1 il numero è (3·k+2)·(3·i+2)) che non è un multiplo di 3,
se h=2 il numero è (3·k+3))·(3·i+9))=3(k+1)·3(i+3) che è un multiplo di 3.

Spero che ora sia chiaro.

[fradila]

bongiorno! sono al lavoro...
A costo di sembrare impedita....devo dire che del metodo di infinito non ho capito quasi niente....in particolare la dim di A/E)e D)!
"n modulo 3 =2" vuol dire che se 11011 è div per 3 la base/3 mi deve dare resto 2? perchè?

Francesca

[infinito1]

Forse può interessarti che il fatto che, nel primo quesito, "C" sia giusto io lo ho dimostrato in modo (secondo me) più diretto: si vede "ad occhio" che 11011 = 11·1001 .

Questa scomposizione permette anche di verificare "facilmente" che le altre risposte sono false: chiamata "n" la basesi ha che
A/E) 11·1001 è pari se la base è dispari e viceversa;
B) 11·1001 è divisibile per 3 sse «n modulo 3 =2»;
D) 11·1001 ovviamente non è primo.

[Piera4]

il primo tende a zero per un noto limite notevole,
infatti a^n /n! -->0 e nell'esercizio a=3

nel secondo si può applicare il teorema di Cesaro seguente:
lim di radice n-sima di a(n)=lim di a(n+1)/a(n)
nell'esercizio a(n)=n!, quindi si ha
lim radice n-sima n! = lim (n+1)!/n! = lim (n+1)=+infinito

[fradila]

ciao...ehm... posso chiederti anche questi? (sto tentando di prepararmi alla SSIS ma sono veramente arrugginita........)

lim per n tende a + infinito di 3^n/n!
lim per n tende a + infinito di radice n-sima di n!

Grazie mille!
Francesca

[MaMo2]

Scrivendo il numero in forma polinomiale si ha:
1*x^4 + 1*x^3 + 0*x^2 + 1*x^1 + 1*x^0
cioè:
x^4 + x^3 + x + 1
Esso può essere scomposto in fattori:
(x + 1)^2(x^2 - x + 1)
Perciò, essendo i due fattori diversi da 1 per qualunque base x, esso non è mai un numero primo.