NUMERI PRIMI
chiedo scusa se scrivo due volte lo stesso messaggio, ma ho letto che "teoria dei numeri" non è più utilizzato; e la questione mi interessa troppo per rischiare che venga perduta nel dimenticatoio:
qualcuno sa se esiste un teorema che garantisce l'esistenza di almeno due primi tra n^2 e (n+1)^2? oppure mi si potrebbe indicare un sito ( possibilmente in italiano) dove trovare trattati argomenti di tal genere?
grazie, ubermensch
qualcuno sa se esiste un teorema che garantisce l'esistenza di almeno due primi tra n^2 e (n+1)^2? oppure mi si potrebbe indicare un sito ( possibilmente in italiano) dove trovare trattati argomenti di tal genere?
grazie, ubermensch
Risposte
citazione:
Innanzitutto grazie per le tue precisazioni. Ho sbagliato, non è un teorema, ma una congettura. Goldbach effettivamente dice che ogni pari può essere scritto come somma di due primi, non parla del numero di combinazioni possibili (giusto?).
Detto ciò, e ammettendo la mia imprecisione, ti chiedo: al di là della congettura, in linea di principio può essere giusto quello che ho scritto io? Dal punto di vista concettuale non ci vedo errori . . .
Non mi riferivo a te sull'imprecisione, Goldbach l'ha scritta malissimo, il suo non sarebbe un teorema generale, la mia correzzione alla sua congettura lo renderebbe un teorema generale se venisse dimostrato
Numerabile (è una mia congettura) è tutto ciò che esiste, se i numeri REALI non sono numerabili evidentemente non esistono nella realtà ergo i numeri REALI sono IRREALI:-|
l'ha inventato Cantor. se ti posso consigliare un libro sull'argomento, è molto carino e non tanto impegnativo "il mistero dell'aleph" di Aczel, dove c'è anche una bella dimostrazione della innumerabilità dei numeri reali.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
Ho capito il tuo ragionamento, assolutamente corretto, e non insisterò oltre. Ti ringrazio.
Ma chi era che ha inventato questo modo "a cascata" di associare gli elementi? L'avevo già letto da qualche parte . . .
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
Ma chi era che ha inventato questo modo "a cascata" di associare gli elementi? L'avevo già letto da qualche parte . . .
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
come ha già detto publiosulpicio, il non trovare una corrispondenza biunivoca, non vuol dire che non esista. innanzitutto, invece di prendere i numeri pari puoi prendere i naturali. ti faccio la seguente dimostrazione, sperando che venga bene. ti scrivi tutte le coppie di numeri primi:
(1,1) (2,1) (3,1) (5,1).....
(1,2) (2,2) (3,2) (5,2).....
(1,3) (2,3) (3,3) (5,3).....
(1,5) .... .... ....
(1,7) .... .... ....
ora fai il seguente ragionamento: parto dalla coppia (1,1) e mi sposto in orizzontale alla coppia (2,1), moi mi sposto in diagonale alla coppia (1,2) poi mi sposto in verticale alla coppia (1,3), poi ritorno su in diagonale passando per la (2,2) e arrivando alla (3,2), e ricomincio il ragionamento muovendomi prima in orizzontale ecc. ecc.
ora, ad ogni coppia associo il passaggio: ossia sono partito da (1,1), quindi
1 ---> (1,1)
al secondo passaggio stavo a (2,1), quindi
2 ---> (2,1)..
e via dicendo... le coppie di numeri primi sono numerabili.
ciao, ubermensch
.....
.....
(1,1) (2,1) (3,1) (5,1).....
(1,2) (2,2) (3,2) (5,2).....
(1,3) (2,3) (3,3) (5,3).....
(1,5) .... .... ....
(1,7) .... .... ....
ora fai il seguente ragionamento: parto dalla coppia (1,1) e mi sposto in orizzontale alla coppia (2,1), moi mi sposto in diagonale alla coppia (1,2) poi mi sposto in verticale alla coppia (1,3), poi ritorno su in diagonale passando per la (2,2) e arrivando alla (3,2), e ricomincio il ragionamento muovendomi prima in orizzontale ecc. ecc.
ora, ad ogni coppia associo il passaggio: ossia sono partito da (1,1), quindi
1 ---> (1,1)
al secondo passaggio stavo a (2,1), quindi
2 ---> (2,1)..
e via dicendo... le coppie di numeri primi sono numerabili.
ciao, ubermensch
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citazione:
Quello da te citato non è un teorema, anche se è stato verificato con numeri pari fino a non so quante cifre ricordati che il numero più grande che tu sei in grado di scrivere è più vicino a zero che a infinito, ti consiglio di leggere in "teoria dei numeri" il topic gemello di questo, in sintesi: l'esposizione della congettura da te citata è formalmente imprecisa
Innanzitutto grazie per le tue precisazioni. Ho sbagliato, non è un teorema, ma una congettura. Goldbach effettivamente dice che ogni pari può essere scritto come somma di due primi, non parla del numero di combinazioni possibili (giusto?).
Detto ciò, e ammettendo la mia imprecisione, ti chiedo: al di là della congettura, in linea di principio può essere giusto quello che ho scritto io? Dal punto di vista concettuale non ci vedo errori . . .
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
Quello da te citato non è un teorema, anche se è stato verificato con numeri pari fino a non so quante cifre ricordati che il numero più grande che tu sei in grado di scrivere è più vicino a zero che a infinito, ti consiglio di leggere in "teoria dei numeri" il topic gemello di questo, in sintesi: l'esposizione della congettura da te citata è formalmente imprecisa
scusate, ma non sono ancora convinto . . . la mia non vuole certo essere presunzione, bensì curiosità!
C'è un teorema che dice che ogni numero pari >2 può essere scritto come somma di ALMENO una coppia di numeri primi.
6 ---> (3;3)
8 ---> (3;5)
10 ---> (7;3),(5;5)
12 ---> (7;5)
14 ---> (7;7),(9;5)
16 ---> (13;3),(11;5)
....................
Questo è quello che volevo dire nel mio precedente post, messo in maniera un pò più seria. I numeri pari sono un insieme infinito con la potenza del numerabile dei naturali. Anche i nueri primi sono infiniti, ed è dimostrato (mi sembra), che ogni numero pari può essere espresso come somma di ALMENO una coppia di primi. Quindi, anche l'insieme delle coppie dei primi è infinito, certamente non ha elementi uguali al suo interno (ogni coppia compare una ed una sola volta) ma non può essere messo in corrispondenza biunivoca con i pari (della stessa potenza del numerabile). Infatti, ad ogni coppia corrisponde uno e un solo pari, ma non vale il percorso inverso.
A questo punto, non so se per definire un insieme con la potenza del numerabile, bisogna che ogni elemento dell'insieme sia messo in corrispondenza con un numero naturale di valore crescente o se si può prendere ogni sequenza crescente all'interno dei naturali, come quella che ho preso io . . . se così fosse (se va bene cioè anche l'associazione tra insiemi che ho fatto, argomentando che i pari sono infiniti con la potenza del numerabile), allora l'insieme delle coppie dei numeri primi rispetto ai numeri pari non ha è numerabile.
A voi la parola!
PS= Per Urbenmensh: comunque sto ancora pensando al tuo n^2 e (n+1)^2 . . . sei arrivato/a a qualche conclusione?
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
Modificato da - MayDay il 10/02/2004 09:50:32
Modificato da - MayDay il 10/02/2004 09:52:16
C'è un teorema che dice che ogni numero pari >2 può essere scritto come somma di ALMENO una coppia di numeri primi.
6 ---> (3;3)
8 ---> (3;5)
10 ---> (7;3),(5;5)
12 ---> (7;5)
14 ---> (7;7),(9;5)
16 ---> (13;3),(11;5)
....................
Questo è quello che volevo dire nel mio precedente post, messo in maniera un pò più seria. I numeri pari sono un insieme infinito con la potenza del numerabile dei naturali. Anche i nueri primi sono infiniti, ed è dimostrato (mi sembra), che ogni numero pari può essere espresso come somma di ALMENO una coppia di primi. Quindi, anche l'insieme delle coppie dei primi è infinito, certamente non ha elementi uguali al suo interno (ogni coppia compare una ed una sola volta) ma non può essere messo in corrispondenza biunivoca con i pari (della stessa potenza del numerabile). Infatti, ad ogni coppia corrisponde uno e un solo pari, ma non vale il percorso inverso.
A questo punto, non so se per definire un insieme con la potenza del numerabile, bisogna che ogni elemento dell'insieme sia messo in corrispondenza con un numero naturale di valore crescente o se si può prendere ogni sequenza crescente all'interno dei naturali, come quella che ho preso io . . . se così fosse (se va bene cioè anche l'associazione tra insiemi che ho fatto, argomentando che i pari sono infiniti con la potenza del numerabile), allora l'insieme delle coppie dei numeri primi rispetto ai numeri pari non ha è numerabile.
A voi la parola!
PS= Per Urbenmensh: comunque sto ancora pensando al tuo n^2 e (n+1)^2 . . . sei arrivato/a a qualche conclusione?
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
Modificato da - MayDay il 10/02/2004 09:50:32
Modificato da - MayDay il 10/02/2004 09:52:16
Quello che tu hai dimostrato e' che quella particolare corrispondenza non e' biunivoca, non che non ne esiste nessuna, esiste infatti un teorema che afferma che ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile e' ancora numerabile, quindi anche quello da te proposto, la dimostrazione non e' particolarmente difficile, provaci a dimostrarlo!
difatti tu hai compiuto un errore, ma non banale!
il fatto è che un insieme è formato da elementi tra loro distinti, quindi non è possibile che n elementi abbiano lo stesso valore, semplicemente perchè tali valori sono lo stesso elemento.
ciao, ubermensch
il fatto è che un insieme è formato da elementi tra loro distinti, quindi non è possibile che n elementi abbiano lo stesso valore, semplicemente perchè tali valori sono lo stesso elemento.
ciao, ubermensch
per la formula dei 3, mi sono capito da solo, grazie. Adesso non mi serve più.
Ma sui numerabili . . . la tua idea si basa sull'ordine crescente dei numeri, ai quali possono essere associati in corrispondenza biunivoca i naturali . . . MA se si considera un sottoinsieme infinito dei naturali tale che n numeri abbiano lo stesso valore, è ancora possibile metterli in corrispondenza biunivoca con i naturali?
Non credo, perchè cmunque ognuno può essere riferito ad un numero naturale crescente, ma non viceversa. Ad esempio:
1 ---> 3
2 ---> 6
3 ---> 9
4 ---> 12
5 ---> 12
6 ---> 12
7 ---> 15
8 ---> 18
9 ---> 21
.........
........
Questo è solo un esempio, in cui al 4 corrisponde solo e sempre il 12, al 5 corrisponde solo e sempre il 12, al 6 lo stesso, ma al 12 (del secondo insieme) corrispondono i numeri 4,5,6. Quindi un insieme del genere è sottoinsieme infinito dei naturali, ma non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra elementi dei due insiemi. Quindi il secondo insieme non è numerabile.
Adesso, questo è solo un esempio scemo. Ma se si potesse pensare ad un sottinsieme con almeno due elementi uguali, esso non sarebbe numerabile, perchè non si potrebbe porre ogni suo elemento in corrispondenza univoca con un naturale (ma si potrebbe fare il contrario, vedi esempio).
Non sono un matematico, e forse ho detto solo una serie di sciocchezze e banalità. Se è così, invito tutti a farmelo presente per questo e tutti i miei futuri post. Grazie!!
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
Ma sui numerabili . . . la tua idea si basa sull'ordine crescente dei numeri, ai quali possono essere associati in corrispondenza biunivoca i naturali . . . MA se si considera un sottoinsieme infinito dei naturali tale che n numeri abbiano lo stesso valore, è ancora possibile metterli in corrispondenza biunivoca con i naturali?
Non credo, perchè cmunque ognuno può essere riferito ad un numero naturale crescente, ma non viceversa. Ad esempio:
1 ---> 3
2 ---> 6
3 ---> 9
4 ---> 12
5 ---> 12
6 ---> 12
7 ---> 15
8 ---> 18
9 ---> 21
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Questo è solo un esempio, in cui al 4 corrisponde solo e sempre il 12, al 5 corrisponde solo e sempre il 12, al 6 lo stesso, ma al 12 (del secondo insieme) corrispondono i numeri 4,5,6. Quindi un insieme del genere è sottoinsieme infinito dei naturali, ma non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra elementi dei due insiemi. Quindi il secondo insieme non è numerabile.
Adesso, questo è solo un esempio scemo. Ma se si potesse pensare ad un sottinsieme con almeno due elementi uguali, esso non sarebbe numerabile, perchè non si potrebbe porre ogni suo elemento in corrispondenza univoca con un naturale (ma si potrebbe fare il contrario, vedi esempio).
Non sono un matematico, e forse ho detto solo una serie di sciocchezze e banalità. Se è così, invito tutti a farmelo presente per questo e tutti i miei futuri post. Grazie!!
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
a proposito degli insiemi numerabili, mi è venuto in mente che ogni sottoinsieme infinito dei naturali ha la potenza del numerabile; la dimostrazione di questo non la conosco, ma posso dartene una giustificazione intuitiva: tutti i sottoinsiemi dei naturali sono caratterizzati dal fatto che il loro elementi possono essere messi in sequenza crescente; esiste quindi un primo elemento, il più piccolo, un secondo... e tutti sono univocamente determinati nel senso che non è possibile trovarne uno che è compreso tra due elementi consecutivi (es: non esistono multipli di 5 compresi tra 10 e 15!). a questo punto si può costruire una corrispondenza biunivoca associando ad 1 il primo elemento dell'insieme, a 2 il secondo... e via dicendo. ora, se tale sottoinsieme è infinito, allora abbiamo che ha la potenza del numerabile.
quindi, per fare un esempio simpatico, l'insieme dei multipli di 100000000000000000, insieme assai più rado di quello dei numeri primi, ha la potenza del numerabile per il semplice fatto che è un sottoinsieme infinito dei numeri naturali.
ciao, ubermensch
quindi, per fare un esempio simpatico, l'insieme dei multipli di 100000000000000000, insieme assai più rado di quello dei numeri primi, ha la potenza del numerabile per il semplice fatto che è un sottoinsieme infinito dei numeri naturali.
ciao, ubermensch
non ho ben capito quello che chiedi.
tu chiedi un formula che trovi tutti multipli di 3 maggiori di un certo multiplo, ad esempio, 96? basta aggiungere 3 ogni volta! se ti serve per un programma fai un ciclo che aggiunga 3 ad ogni iterazione. se invece parti da un numero qualsiasi cerchi il multiplo di tre più vicino; sia N un numero qualsiasi non multiplo di 3, allora o N-1 o N+1 è multiplo di 3. se, ad esempio, N+1 è multiplo di 3; sia P=N+1 e torniamo al caso precedente.
non so se ho risposto a quello che chiedevi, fammi sapere..
ciao, ubermensch
tu chiedi un formula che trovi tutti multipli di 3 maggiori di un certo multiplo, ad esempio, 96? basta aggiungere 3 ogni volta! se ti serve per un programma fai un ciclo che aggiunga 3 ad ogni iterazione. se invece parti da un numero qualsiasi cerchi il multiplo di tre più vicino; sia N un numero qualsiasi non multiplo di 3, allora o N-1 o N+1 è multiplo di 3. se, ad esempio, N+1 è multiplo di 3; sia P=N+1 e torniamo al caso precedente.
non so se ho risposto a quello che chiedevi, fammi sapere..
ciao, ubermensch
ti ringrazio per la tua risposta chiara ed esauriente.
Ne approfitto allora per porre un'altra domanda, che mi e' venuta in mente sempre pensando alla congettura dei due primi e, purtroppo, non ho tempo per trovarmela da solo (se esiste!): vorrei sapere se c'e' una formula ricorsiva che generi ordinatamente tutti i multipli del 3 a partire da un qualunque numero naturale. Grazi ancora!
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
Ne approfitto allora per porre un'altra domanda, che mi e' venuta in mente sempre pensando alla congettura dei due primi e, purtroppo, non ho tempo per trovarmela da solo (se esiste!): vorrei sapere se c'e' una formula ricorsiva che generi ordinatamente tutti i multipli del 3 a partire da un qualunque numero naturale. Grazi ancora!
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
certo mayday,
sono state fatte entrambe le dimostrazioni; la prima risale già ad euclide e procede per assurdo:
ammettiamo che l'insieme dei numeri primi sia finito. sia P il più grande elemento di tale insieme, consideriamo il numero 2*3*5*7*.....*P+1, formato dal prodotto di tutti i numeri primi aumentato di 1. abbiamo che questo numero non è divisibile per nessuno dei numeri primi da 2 a P, in quanto in tutti i casi il rapporto dà resto 1. quindi o è divisibile per un primo maggiore di P, o è lui stesso un primo, in entrambi i casi si ottiene che l'insieme dei numeri primi non ammette un massimo e pertanto è infinito.
la seconda dimostrazione è quasi banale e credo risalga a Cantor (visto che le ha fatte tutte lui le dimostrazioni sugli insiemi numerabili!); la dimostrazione si basa sul fatto che se due insiemi infiniti possono essere messi in corrispondenza biunivoca, allora si dice che hanno lo stesso ordine d'infinito; se un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali allora si dice che il primo insieme ha la potenza del numerabile. e difatti una corrispondenza biunivoca tra naturali e primi si trova banalmente associando
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ......
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 .......
e quindi l'insieme dei numeri primi ha la potenza del numerabile.
ciao, ubermensch
sono state fatte entrambe le dimostrazioni; la prima risale già ad euclide e procede per assurdo:
ammettiamo che l'insieme dei numeri primi sia finito. sia P il più grande elemento di tale insieme, consideriamo il numero 2*3*5*7*.....*P+1, formato dal prodotto di tutti i numeri primi aumentato di 1. abbiamo che questo numero non è divisibile per nessuno dei numeri primi da 2 a P, in quanto in tutti i casi il rapporto dà resto 1. quindi o è divisibile per un primo maggiore di P, o è lui stesso un primo, in entrambi i casi si ottiene che l'insieme dei numeri primi non ammette un massimo e pertanto è infinito.
la seconda dimostrazione è quasi banale e credo risalga a Cantor (visto che le ha fatte tutte lui le dimostrazioni sugli insiemi numerabili!); la dimostrazione si basa sul fatto che se due insiemi infiniti possono essere messi in corrispondenza biunivoca, allora si dice che hanno lo stesso ordine d'infinito; se un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali allora si dice che il primo insieme ha la potenza del numerabile. e difatti una corrispondenza biunivoca tra naturali e primi si trova banalmente associando
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ......
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 .......
e quindi l'insieme dei numeri primi ha la potenza del numerabile.
ciao, ubermensch
stavo ragionando su questa congettura, e mi sono chiesto (scusate se non so queste cose, ma non sono un matematico!!) se qualcuno ha mi provato che:
a) I numeri primi costituiscono un insieme infinito
b) Tale insieme è numerabile
Qualcuno sa se esistono dimostrazioni per queste affermazioni?
Ciao!
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
a) I numeri primi costituiscono un insieme infinito
b) Tale insieme è numerabile
Qualcuno sa se esistono dimostrazioni per queste affermazioni?
Ciao!
"La statistica è quella scienza che dice che se hai la testa nel congelatore e i piedi nel forno, mediamente stai bene"
mi serve assolutamente! qualcuno la dimostri!!
Si tratta di una famosa congettura ma, che io sappia, non è mai stata dimostrata.
Cavia
Cavia
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