Numeri di Carmichael
Salve...
ho scritto varie volte su questo forum, soprattutto nella sezione "Università", nella speranza di trovare delle risposte ai miei dubbi...però ho notato che da quelle parti si occupano solo di analisi. Ho deciso dunque di scrivere in questa sezione....sperando di trovare qualcuno che si interessa ai miei studi. In particolare mi servirebbe capire questo concetto:
Perchè per ogni fattore primo $p$ che appartiene alla scomposizione in fattori di un numero $n$ di Carmichael , si ha che
(p - 1) divide n - 1 ?
Ho trovato un paper che dice : the power n-1 kills the group Z*(n) if and only if it kills all the groups Z*($ p_i^{a_i}$).
Qualcuno può aiutarmi....magari se conosce qualche link sull'argomento.
ho scritto varie volte su questo forum, soprattutto nella sezione "Università", nella speranza di trovare delle risposte ai miei dubbi...però ho notato che da quelle parti si occupano solo di analisi. Ho deciso dunque di scrivere in questa sezione....sperando di trovare qualcuno che si interessa ai miei studi. In particolare mi servirebbe capire questo concetto:
Perchè per ogni fattore primo $p$ che appartiene alla scomposizione in fattori di un numero $n$ di Carmichael , si ha che
(p - 1) divide n - 1 ?
Ho trovato un paper che dice : the power n-1 kills the group Z*(n) if and only if it kills all the groups Z*($ p_i^{a_i}$).
Qualcuno può aiutarmi....magari se conosce qualche link sull'argomento.
Risposte
Diciamo che le proprietà da te elencate sono valide...anche se mancano dei punti che non saprei dimostrare 
boh... premetto che sono abbastanza sicuro che tu ne sappia anni luce più di me...
cmq credo che diciamo la stessa cosa, ma non ci capisco molto, anzi... io per generatore modulo k intendo un numero $a$ t.c., detto $e$ il minimo numero per cui $a^e=1 mod k$, vale $e=phi(k)$...
se k=p, è $phi(p)=p-1$...
per le proprietà dei generatori (derivanti essenzialmente dal fatto che quell'e è il minimo), si dimostra che se esiste un altro $y$ t.c. $a^y=1 mod p$, si ha che $e=phi(p)=p-1$ divide y... per questo, se un tal generatore modulo p esistesse e fosse primo con il numero di Carmichael, per la def di carlo23 si concluderebbe che p-1 divide c-1...
beh... fammi sapere se avete commenti...
ciao!
ps1: notare che se consideriamo come primo p il minimo primo che compare nella scomposizione del numero di carmichael, è ovvio che il generatore modulo p (minore di p), sarebbe primo con li numero di Carmichael...
ps2: cmq studio fisica, fatto il primo anno... ...quindi non so risolverlo velocemente...
cmq credo che diciamo la stessa cosa, ma non ci capisco molto, anzi... io per generatore modulo k intendo un numero $a$ t.c., detto $e$ il minimo numero per cui $a^e=1 mod k$, vale $e=phi(k)$...
se k=p, è $phi(p)=p-1$...
per le proprietà dei generatori (derivanti essenzialmente dal fatto che quell'e è il minimo), si dimostra che se esiste un altro $y$ t.c. $a^y=1 mod p$, si ha che $e=phi(p)=p-1$ divide y... per questo, se un tal generatore modulo p esistesse e fosse primo con il numero di Carmichael, per la def di carlo23 si concluderebbe che p-1 divide c-1...
beh... fammi sapere se avete commenti...
ciao!
ps1: notare che se consideriamo come primo p il minimo primo che compare nella scomposizione del numero di carmichael, è ovvio che il generatore modulo p (minore di p), sarebbe primo con li numero di Carmichael...
ps2: cmq studio fisica, fatto il primo anno...
...quindi non so risolverlo velocemente...
Intanto per radice primitiva modulo p cosa intendi? ....forse il generatore o la radice primitiva dell'insieme Z*(p) ?. Bhe se è così è dimostrato che il generatore esiste. In generale Z*(n) è ciclico se n è del tipo 2, 4, p^a, 2p^a. con a intero positivo e p primo. Ma non vedo come si possa passare immediatamente e con la definizione del numero di Carmichael ad affermare che la propozione sopra indicata è vera. Il procedimento che ho usato è piuttosto complicato, ma formalmente valido. Non escludo che un matematico possa risolverlo velocemente. (io studio informatica). Riassumendo:
1) è necessario sapere come si risolvono le congruenze del tipo x^k = y mod n
2) La tecnica dimostrativa è questa. Poichè riesco a dimostrare che un certo insieme L(n) (che ha un numero di elementi ottenibili dalla equazione 1) è sottoinsieme dell' insieme Z*(n) e dal momento che il numero è di Carmichael se e solo se Z*(n)è sottoinsieme di L(n), riesco a dire che n è di Carmichael se e solo se Z*(n) = L(n). Cioè n è di Carmichael se e solo se
le cardinalità di L(n) e Z*(n) sono uguali....dalla cardinalità riesco ad estrarre le condizioni phi(p^a) | n-1
3) Infine per assurdo dimostro che gli esponenti a devono essere uguali ad 1
Per una dimostrazione completa e dettagliata, aspettate che finisco la tesi. Poi la renderò pubblica...magari la pubblico proprio su questo sito.
1) è necessario sapere come si risolvono le congruenze del tipo x^k = y mod n
2) La tecnica dimostrativa è questa. Poichè riesco a dimostrare che un certo insieme L(n) (che ha un numero di elementi ottenibili dalla equazione 1) è sottoinsieme dell' insieme Z*(n) e dal momento che il numero è di Carmichael se e solo se Z*(n)è sottoinsieme di L(n), riesco a dire che n è di Carmichael se e solo se Z*(n) = L(n). Cioè n è di Carmichael se e solo se
le cardinalità di L(n) e Z*(n) sono uguali....dalla cardinalità riesco ad estrarre le condizioni phi(p^a) | n-1
3) Infine per assurdo dimostro che gli esponenti a devono essere uguali ad 1
Per una dimostrazione completa e dettagliata, aspettate che finisco la tesi. Poi la renderò pubblica...magari la pubblico proprio su questo sito.
Ok... ma non puoi fuggire così
Io proverei a cercare di dimostrare l'esistenza di una radice primitiva modulo p (e questa se non sbaglio ce la dà la teoria) e prima con il numero di Carmichael (per potere applicare le ipotesi)... poi si concluderebbe facilmente...
hai fatto così, nochpfritz ???
ps: conosco queste cose a livello "dilettante"... e non le vedo da un bel pò... (ho perso anche le dispense che avevo letto) quindi scusatemi se dico cavolate, eh...
ps: grazie carlo23 per la def...
Io proverei a cercare di dimostrare l'esistenza di una radice primitiva modulo p (e questa se non sbaglio ce la dà la teoria) e prima con il numero di Carmichael (per potere applicare le ipotesi)... poi si concluderebbe facilmente...
hai fatto così, nochpfritz ???
ps: conosco queste cose a livello "dilettante"... e non le vedo da un bel pò... (ho perso anche le dispense che avevo letto) quindi scusatemi se dico cavolate, eh...
ps: grazie carlo23 per la def...
Salve Gente,
Vi ringrazio per il vostro interessamento, ma ho già risolto il problema. Sono riuscito a produrre una dimostrazione valida!
Grazie a tutti.
Vi ringrazio per il vostro interessamento, ma ho già risolto il problema. Sono riuscito a produrre una dimostrazione valida!
Grazie a tutti.
"Thomas":
Prova a postare la def di numero di Carmichael... magari a qualcuno potrebbe venire voglia di risolvere il problema da solo e darti così una mano
ciao
La posto io, un intero $n$ è psedoprimo base $a$ se e solo se $a^(n-1) -= 1 mod n$, un numero $C$ è di Carmichael se e solo se è psedoprimo per ogni base $a$ prima con $C$.
Prova a postare la def di numero di Carmichael... magari a qualcuno potrebbe venire voglia di risolvere il problema da solo e darti così una mano
ciao
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