Numeri con base non Naturale
Tutti sappiamo rappresentare i numeri in base 2, 10, 16 etc.
con per base un numero naturale e sappiamo anche che l'insieme minimo di "pesi" necessario è [0, 1, ... , b-1] con b base utilizzata. Ora il problema è il seguente, supponiamo di usare una base che sia reale o complessa: per esempio nei reali possiamo prendere Phi (sezione aurea) come base => pare che bastino {0, 1} come pesi per poter rappresentare tutti i numeri naturali con la notazione posizionale-pesata standard. Ma se usiamo una base complessa ? Come si potrebbe fare a trovare l'insieme minimo di "simboli/pesi" da usare per poter rappresentare un cetro insieme di numeri ? (supponiamo i razionali)
con per base un numero naturale e sappiamo anche che l'insieme minimo di "pesi" necessario è [0, 1, ... , b-1] con b base utilizzata. Ora il problema è il seguente, supponiamo di usare una base che sia reale o complessa: per esempio nei reali possiamo prendere Phi (sezione aurea) come base => pare che bastino {0, 1} come pesi per poter rappresentare tutti i numeri naturali con la notazione posizionale-pesata standard. Ma se usiamo una base complessa ? Come si potrebbe fare a trovare l'insieme minimo di "simboli/pesi" da usare per poter rappresentare un cetro insieme di numeri ? (supponiamo i razionali)
Risposte
E' un problema interessante: se ho ben capito, si tratta di questo:
"Sia z un numero razionale, b un numero reale. Determinare, se esiste, un insieme finito di numeri reali a_0...a_n tali che:
z=a_0+a_1*b+a_2*b^2+...+a_n*b^n ."
Queste sono le mie osservazioni in proposito:
1)Se b è trascendente nei razionali, allora a_0...a_n non possono essere tutti razionali. Inoltre penso che si perda l'unicità di scrittura.
2)Se invece b è algebrico in Q , chiamando:
f=c_0+c_1*x+...+c_(n-1)*x^(n-1)+x^n il polinomio minimo di b su Q, basta definire:
a_0=c_0+z , a_i=c_i per ogni i=1...n-1, a_n=1 , e si può scrivere:
z=a_0+...+a_n*b^n ; inoltre tale scrittura è unica nel senso che:
se g è un polinomio razionale di grado <= n t.c.: z=g(b) , allora:
g=0 oppure g || a_0+a_1*x+...+a_n*x^n .
Saluti,
Woody
"Sia z un numero razionale, b un numero reale. Determinare, se esiste, un insieme finito di numeri reali a_0...a_n tali che:
z=a_0+a_1*b+a_2*b^2+...+a_n*b^n ."
Queste sono le mie osservazioni in proposito:
1)Se b è trascendente nei razionali, allora a_0...a_n non possono essere tutti razionali. Inoltre penso che si perda l'unicità di scrittura.
2)Se invece b è algebrico in Q , chiamando:
f=c_0+c_1*x+...+c_(n-1)*x^(n-1)+x^n il polinomio minimo di b su Q, basta definire:
a_0=c_0+z , a_i=c_i per ogni i=1...n-1, a_n=1 , e si può scrivere:
z=a_0+...+a_n*b^n ; inoltre tale scrittura è unica nel senso che:
se g è un polinomio razionale di grado <= n t.c.: z=g(b) , allora:
g=0 oppure g || a_0+a_1*x+...+a_n*x^n .
Saluti,
Woody
Mi ero posto questo problema anni fa, ma non riuscii a tirar fuori nulla di davvero interessante, e questo per i problemi evidenziati da Luca.
Infatti in base n (naturale) sono necessarie e sufficienti n cifre, il che, generalizzando, porterebbe a dire che in base b (reale qualunque) lo sarebbero b cifre, ma chiaramente questo non ha significato se b non è intero (forse si dovrebbe introdurre una nuova teoria matematica, del tipo dei frattali …).
La dimostrazione non mi interessa ricercarla, perché mi pare che sia sufficiente l’esempio di b=2,5 ed alcune osservazioni (notazione: scrivo «3120,21» per indicare il numero scritto in base 2,5 che è 3·2,5³+1·2,5²+2·2,5+….):
- 2 cifre non sono sufficienti, perché «0,1111…» è la rappresentazione di 2/3 (in base 10), che è il numero più grande rappresentabile con parte “intera” nulla, mentre qualunque numero con parte intera non nulla sarebbe maggiore di 1.
- 3 cifre sono troppe, infatti «0,222222…» è … 4/3, che è maggiore di 1 (il che indica che si perde l’ordine e plausibilmente anche l’unicità).
Quanto ai complessi, si potrebbe ancora pensare di usare quelli “interi”.
Però se considero una base naturale n, con n cifre riesco a rappresentare tutta e sola la retta reale, per cui non vedo come, partendo da un numero intero complesso del tipo “n + m·i”, si possa ottenere l’intera retta complessa (che è omeomorfa al piano reale).
L’unico modo “non banale” che vedo di rappresentare i numeri con una base non intera, è quello di utilizzare un numero di cifre pari alla parte intera aumentata di uno, e di scegliere, fra le possibili rappresentazioni equivalenti, solo quella con le cifre più a destra maggiori.
Infatti in base n (naturale) sono necessarie e sufficienti n cifre, il che, generalizzando, porterebbe a dire che in base b (reale qualunque) lo sarebbero b cifre, ma chiaramente questo non ha significato se b non è intero (forse si dovrebbe introdurre una nuova teoria matematica, del tipo dei frattali …).
La dimostrazione non mi interessa ricercarla, perché mi pare che sia sufficiente l’esempio di b=2,5 ed alcune osservazioni (notazione: scrivo «3120,21» per indicare il numero scritto in base 2,5 che è 3·2,5³+1·2,5²+2·2,5+….):
- 2 cifre non sono sufficienti, perché «0,1111…» è la rappresentazione di 2/3 (in base 10), che è il numero più grande rappresentabile con parte “intera” nulla, mentre qualunque numero con parte intera non nulla sarebbe maggiore di 1.
- 3 cifre sono troppe, infatti «0,222222…» è … 4/3, che è maggiore di 1 (il che indica che si perde l’ordine e plausibilmente anche l’unicità).
Quanto ai complessi, si potrebbe ancora pensare di usare quelli “interi”.
Però se considero una base naturale n, con n cifre riesco a rappresentare tutta e sola la retta reale, per cui non vedo come, partendo da un numero intero complesso del tipo “n + m·i”, si possa ottenere l’intera retta complessa (che è omeomorfa al piano reale).
L’unico modo “non banale” che vedo di rappresentare i numeri con una base non intera, è quello di utilizzare un numero di cifre pari alla parte intera aumentata di uno, e di scegliere, fra le possibili rappresentazioni equivalenti, solo quella con le cifre più a destra maggiori.
ok cerchiamo di esporre la cosa in modo più chiaro:
sia data la rappresentazione di un numero z
se b è un numero complesso o reale, i coefficienti a apparterranno ad un certo insieme con certe proprietà, teoricamente dovrebbe essere un insieme finito numerabile.
affichè z abbia un numero finito di cifre, come devono essere i coefficienti a ?
sia data la rappresentazione di un numero z
se b è un numero complesso o reale, i coefficienti a apparterranno ad un certo insieme con certe proprietà, teoricamente dovrebbe essere un insieme finito numerabile.
affichè z abbia un numero finito di cifre, come devono essere i coefficienti a ?
Non e' chiaro il problema che dai; che "cifre" vuoi usare per rappresentare i numeri razionali? Bisognerebbe poi mostrare Teoremi di unicita' analoghi a quelli validi per la rapprsentazione in base intera...
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo