Non lo sapevo...
...ma la media degli incrementi fra i numeri primi tende a phi (1,618...).
Questo significa che sono infiniti? E che vi è una funzione per determinarli?
Questo significa che sono infiniti? E che vi è una funzione per determinarli?
Risposte
mah, a me la soluzione di wedge sembra perfetta
L'esistenza di infiniti numeri primi puo' esssere dimostrata in vari modi.
Uno che mi pare semplice ( e che si avvicina a quello indicato da Wedge) e' il seguente.
Sia p un numero primo e poniamo n=p!+1 .Se n e' primo ,essendo certamente
n>p,l'enunciato e' dimostrato.Se n e' composto allora esso ammettera' un divisore
primo >1 che chiameremo p1 .Dovra' essere p1>p altrimenti esso dovrebbe coincidere
con uno dei fattori di p! (che sono tutti non maggiori di p) ed allora p1 ,dividendo p!
ed n, dovrebbe dividere anche 1 (contraddizione) .
In ogni caso per ogni primo p ne esiste sempre uno piu' grande.
Archimede.
Uno che mi pare semplice ( e che si avvicina a quello indicato da Wedge) e' il seguente.
Sia p un numero primo e poniamo n=p!+1 .Se n e' primo ,essendo certamente
n>p,l'enunciato e' dimostrato.Se n e' composto allora esso ammettera' un divisore
primo >1 che chiameremo p1 .Dovra' essere p1>p altrimenti esso dovrebbe coincidere
con uno dei fattori di p! (che sono tutti non maggiori di p) ed allora p1 ,dividendo p!
ed n, dovrebbe dividere anche 1 (contraddizione) .
In ogni caso per ogni primo p ne esiste sempre uno piu' grande.
Archimede.
la tua obiezione è giusta, Giuseppe. in effetti nella dimostrazione si ipotizza che i numeri primi siano finiti e appunto non si contempla l'esistenza di un numero p(n+1). però nei prossimi giorni proverò a pensare se c'è qualcosa a mia discolpa
ciao
ciao
sei sicuro che sia vero? Io non ne sono sicuro affatto, puoi dimostrarlo?
Voglio dire: e' evidente che p1*...*pn+1 non sia divisibile per nessuno dei primi n numeri primi, ma come fai ad escludere che ci sia un certo p(n+1) che lo divida?
CIAO,
Giuseppe
Voglio dire: e' evidente che p1*...*pn+1 non sia divisibile per nessuno dei primi n numeri primi, ma come fai ad escludere che ci sia un certo p(n+1) che lo divida?
CIAO,
Giuseppe
Giuseppe, per p1,p2,p3...pn non intendevo "generici numeri primi", ma i "primi n numeri primi", il cui prodotto aumentato di 1 è sempre primo. es: 1*2*3*5+1=31
Alora, un po' di chiarezza
1) i numeri primi sono infiniti. la dimostrazione e' stata postata da wedge (con una imprecisione!)
se p(1)...p(n) sono n numeri primi, il loro prodotto aumentato di uno non e' necessariamente primo semplicemente non e' divisibile per nessuno degli n numeri primi.
esempio
p1=3
p2=5
p1*p2+1=16
ora 16 non e' primo, ma non e' divisibile ne' per 3, ne' per 5 il che' prova che 3 e 5 non sono gli unici primi.
Sto cercando di dire che non e' necessario che il prodotto aumentato di uno sia primo! in ogni caso il teorema e' dimostrato
2) Non si e' trovato (e non si sa se sia possibile trovarlo) nessun algoritmo capace di fornire tutti i numeri primi. Se qualcuno lo trovasse non solo diventerebbe immensamente ricco, ma aprirebbe, anzi spalancherebbe, le porte verso nuovi orizzonti
ciao,
Giuseppe
1) i numeri primi sono infiniti. la dimostrazione e' stata postata da wedge (con una imprecisione!)
se p(1)...p(n) sono n numeri primi, il loro prodotto aumentato di uno non e' necessariamente primo semplicemente non e' divisibile per nessuno degli n numeri primi.
esempio
p1=3
p2=5
p1*p2+1=16
ora 16 non e' primo, ma non e' divisibile ne' per 3, ne' per 5 il che' prova che 3 e 5 non sono gli unici primi.
Sto cercando di dire che non e' necessario che il prodotto aumentato di uno sia primo! in ogni caso il teorema e' dimostrato
2) Non si e' trovato (e non si sa se sia possibile trovarlo) nessun algoritmo capace di fornire tutti i numeri primi. Se qualcuno lo trovasse non solo diventerebbe immensamente ricco, ma aprirebbe, anzi spalancherebbe, le porte verso nuovi orizzonti
ciao,
Giuseppe
che i numeri primi siano infiniti è abbastanza ovvio...
si può facilmente dimostrarlo per assurdo: supponiamo che ci siano finiti primi p1, p2, p3... pn
e costruiamo il numero k=(p1)(p2)(p3)(...)(pn)+1
k è anch'esso primo, in quanto diviso per ciascun numero primo p dà resto 1.
di algoritmi per determinare TUTTI i numeri primi non ne conosco e lascio la risposta a qualcuno di più esperto...
il metodo citato nella dimostrazione potrebbe sembrare una costruzione di nuovi numeri primi, ma è scarsamente efficace in quanto non tutti i numeri primi vengono contemplati e dunque non può essere iterato... se conosciamo i primi n numeri primi il loro prodotto +1 sarà sì primo, ma non necessariamente il numero primo di indice i+1
si può facilmente dimostrarlo per assurdo: supponiamo che ci siano finiti primi p1, p2, p3... pn
e costruiamo il numero k=(p1)(p2)(p3)(...)(pn)+1
k è anch'esso primo, in quanto diviso per ciascun numero primo p dà resto 1.
di algoritmi per determinare TUTTI i numeri primi non ne conosco e lascio la risposta a qualcuno di più esperto...
il metodo citato nella dimostrazione potrebbe sembrare una costruzione di nuovi numeri primi, ma è scarsamente efficace in quanto non tutti i numeri primi vengono contemplati e dunque non può essere iterato... se conosciamo i primi n numeri primi il loro prodotto +1 sarà sì primo, ma non necessariamente il numero primo di indice i+1
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