Ne sapete qualcosa?

[Principe2]

Mi serve di risolvere il seguente problema:

Sia dato un insieme A e un suo sottoinsieme B, mi chiedo se sia sempre possibile definire su A una operazione almeno associativa rispetto alla quale B sia un sistema di generatori per A; in simboli si cerca f: A x A --> A tale che

1) f(f(a,b),c) = f(a,f(b,c))

2) Imf|BxB = A

dove con Imf|BxB si indica l'immagine della restrizione di f a BxB.

Magari qualcuno di voi sa qualcosa su questo problema... se è stato già trattato.. dove...

ciao, ubermensch

[Mistral2]

"ubermensch":mi sembra chiaro il problema.. anche se non facilissimo...

Pensavo che l'esempio su $ZZ$ chiarisse che se ne possono costruire per ogni insieme che contiene una quantità numerabile o più che numerabile di elementi. Devi comunque aggiungere lo $0$ all'insieme $B$ definito per $ZZ$ come ho fatto notare nel mio secondo post.

Se $A$ è almeno numerabile ci immergi in maniera iniettiva $ZZ$, sia $f:ZZ -> A$ l'iniezione. Dopo di che definisci la seguente operazione:

se $a,b in f(ZZ)$ allora $a#b=f(f^-1(a)f^-1(b))$
se $a notin f(ZZ)$ oppure $b notin f(ZZ)$ allora $a#b=f(0)$

L'operazione è associativa $a#(b#c)=(a#b)#c=f(f^-1(a)f^-1(b)f^-1(c))$ e con l'esempio che ti ho fatto precedentemente su $ZZ$ puoi definire l'insieme $B^{\prime}=f(B)U (A-f(ZZ))$ ($B$ insieme di $ZZ$ tale che $Im .|_{BxB}=ZZ$), che gode della proprietà $Im #|_{B^{\prime}xB^{\prime}}=A$. Tieni presente che $f(1)$ è l'elemento neutro della operazione $#$ e sta in $B^{\prime}$. Mi rendo conto di essere stato un pò criptico ( se non ho fatto errori)

Il caso di $A$ finito te lo lascio per esercizio .

Saluti

Mistral

PS ho rieditato il messaggio per mettere maggiori dettagli. In effetti il trasferimento della operazione da $ZZ$ ad $A$ richiedeva di precisare alcuni dettagli che in una prima stesura avevo omesso. Portate pazienza!

[Principe2]

mi sembra chiaro il problema.. anche se non facilissimo...

[Mistral2]

"ubermensch":ok mistral... grazie per gli esempi...

Idee per il problema generale?

Non so dove il problema sia trattato, e non capisco cosa c'è da trattare se devo dire la verità.

Vuoi trovare condizioni equivalenti a quelle che tu poni per definire la struttura algebrica?


Saluti

Mistral

[Principe2]

ok mistral... grazie per gli esempi...

Idee per il problema generale?

[Mistral2]

Una piccola imprecisione nel mio precedente post c'è in quanto bisogna considerare il gruppo moltiplicativo di $ZZ$ cioè $ZZ-{0}$. Oppure in alternativa aggiungere $0$ all'insieme $B$.

Poi mi è venuta in mente una generalizzazione. Se hai due strutture algebriche costituite da:

$G_1$ con la operazione associativa $o_1$ con elemento neutro $u_1 $ e $G_2$ con la operazione associativa $o_2$ con elemento neutro $u_2 $

possiamo costruire $A=G_1xG_2$ con l'operazione $o$ definita da $(x_1,x_2)o(y_1,y_2)=(x_1 o_1 y_1, x_2 o_2 y_2)$. Anche $o$ risulta associativa.

Se ora consideri $B={(x_1,u_1) : x_1 in G_1}U{(u_2,x_2) : x_2 in G_2}$ hai di nuovo un esempio di quello che tu cerchi.

Saluti

Mistral

[Principe2]

Certo che funziona... è un pò ridondante come sistema di generatori, nel senso che rispetto al prodotto in Z basta avere tutti i numeri primi e -1... Aggiungere la condizione di minimalità però mi sembra che appesantisca ancor di più il problema

ciao

[Mistral2]

"ubermensch":Mi serve di risolvere il seguente problema:

Sia dato un insieme A e un suo sottoinsieme B, mi chiedo se sia sempre possibile definire su A una operazione almeno associativa rispetto alla quale B sia un sistema di generatori per A; in simboli si cerca f: A x A --> A tale che

1) f(f(a,b),c) = f(a,f(b,c))

2) Imf|BxB = A

dove con Imf|BxB si indica l'immagine della restrizione di f a BxB.

Magari qualcuno di voi sa qualcosa su questo problema... se è stato già trattato.. dove...

ciao, ubermensch

Mi viene in mente questo esempio

$A=ZZ$

$B={2n+1: n inZZ}U{2^m: m in NN}$

Come operazione l'ordinario prodotto in $ZZ$. Funziona?


Saluti

Mistral