Modulare, proprietà da dimostrare

[Steven11]

Non sapevo bene che sezione scegliere...
Dunque il fatto è questo
sapendo che
$a-=b(modn)$
e
$c-=d(modn)$
Devo mostrare che $ac-=bd(modn)$
Dunque ho proceduto così
Le riscrivo come
$a-b=kn$ (k appartenente a Z o N???)
$c-d=hn$ (idem: h in Z o N??))
Porto b e d al secondo membro
$a=kn+b$
$c=hn+d$
Moltiplico membro a membro, porto $bd$ a sinistra
$ac-bd=khn^2+knd+hnb$
E' evidente che il primo membro può essere diviso da $n$ che può essere raccolto a fattor comune al secondo membro.

Il fatto è che mi sembra un tantino rozza come dimostrazione, proprio da principiante (quale d'altronde sono, in quest'argomento).
Mi sapete indicare se ci sono altre vie per dimostrare la tesi?
Grazie mille
ciao.

[Steven11]

"TomSawyer":La tesi e' assolutamente elementare, quindi ogni altra "dimostrazione" e' praticamente la stessa.

Ok, grazie.

[TomSawyer1]

La tesi e' assolutamente elementare, quindi ogni altra "dimostrazione" e' praticamente la stessa.

[Steven11]

"TomSawyer":
Se non vuoi usare nessuna proprieta' delle congruenze, quando arrivi a $ac-bd=khn^2+knd+hnb$, raccogli $n$ e hai $ac-bd=n(khn+kd+hb)$, cioe' $ac\equiv bd(\modn)$.

Io ho fatto così infatti.
Seguendo le proprietà della congruenze invece, quale potrei sfruttare?

[TomSawyer1]

Io l'avrei messa in medie e superiori.

Se non vuoi usare nessuna proprieta' delle congruenze, quando arrivi a $ac-bd=khn^2+knd+hnb$, raccogli $n$ e hai $ac-bd=n(khn+kd+hb)$, cioe' $ac\equiv bd(\modn)$.