Misura esterna

[squalllionheart]

Salve ho inziato a studiare gli spazi di Lebesgue, si parla in modo molto diffuso della misura esterna, al di là della definizione che si dà in analisi come l'inf del peso di P dove P e la somma dei volumi, mi chiedo geometricamente la misura esterna cosa rappresenta?

[Fioravante Patrone1]

@Camillo

provo a risponderti sul "senso" della definizione

io la vedo così: la misura esterna dà una stima per eccesso della lunghezza (se c'è) di $E$
potrei usare una idea di misura interna per trovare una stima per difetto

ma, avendo già quella esterna, me la cavo, senza faticare troppo, usando la misura esterna del complementare

[Chevtchenko]

"Camillo":Proprio la definizione

Un insieme $E$ di $RR^n $ si dice misurabile se, per ogni intervallo $ I$ , si ha :

$ m(I) = m^(*)(I nn E ) +m^(*)(I \\ E) $ (1) [ $m^(*)(E) = $ misura esterna di $E$]

Beh, certo non sara' una definizione proprio intuitiva, ma insomma e' quella giusta che ci permette di passare dalla misura esterna alla misura vera e propria. Io scriverei $m^\star(I) = m^\star(I nn E ) +m^\star(I \\ E)$ (uso la misura esterna anche a primo membro), non che cambi granche' comunque...

[Camillo]

Proprio la definizione

Un insieme $E$ di $RR^n $ si dice misurabile se, per ogni intervallo $ I$ , si ha :

$ m(I) = m^(*)(I nn E ) +m^(*)(I \\ E) $ (1) [ $m^(*)(E) = $ misura esterna di $E$]

[Chevtchenko]

Che cos'e' che non ti e' chiaro?

[Camillo]

Approfitto del thread per chiedere chiarimenti su una definizione che non comprendo appieno :
Quote

Definizione di Insieme Misurabile

Un insieme $E$ di $RR^n $ si dice misurabile se, per ogni intervallo $ I$ , si ha :

$ m(I) = m^(*)(I nn E ) +m^(*)(I \\ E) $ (1) [ $m^(*)(E) = $ misura esterna di $E$]

$E$ è misurabile se "spezza additivamente " ogni intervallo di $RR^n $ .
Per ogni insieme misurabile $ E$ , chiameremo misura la sua misura esterna :
$m(E)= m^(*)(E) , E $ misurabile.

Nella (1) ci si può limitare a considerare gli intervalli che intersecano $ E$ .

Unquote

Grazie

[Fioravante Patrone1]

"squalllionheart":....
Per quanti dicano il contrario, per me la matematica è concretezza.

certo, ma in un contesto astratto

[squalllionheart]

Perfetto, quello che volevo.Per quanti dicano il contrario, per me la matematica è concretezza.

[Fioravante Patrone1]

"squalllionheart":Salve ho inziato a studiare gli spazi di Lebesgue, si parla in modo molto diffuso della misura esterna, al di là della definizione che si dà in analisi come l'inf del peso di P dove P e la somma dei volumi, mi chiedo geometricamente la misura esterna cosa rappresenta?

hai un regalo da inscatolare
hai un set di scatole
lo metti dentro quella di volume minimo
questa ti dà la misura esterna del tuo regalo

tutto qui
il resto sono technicalities

[zorn1]

Bah, se è abbastanza regolare la tua curva rappresenta la lunghezza, se è abbastanza regolare la superficie rappresenta l'area.... ma soprattutto la sua utilità è, come dice il buon Rudin, che con la misura di Lebesgue valgono teoremi di passaggio al limite sotto il segno d'integrale che non valgono con l'integrale di Riemann

[squalllionheart]

la definizione la so, voglio sapere che rappresenta graficamente, l'area il perimetro che ne so, il peso di fuori in peso dentro, l'area del complementare, le cose che nn vedo nn le comprendo.

[zorn1]

Allora, innanzitutto definiamo la misura di Lebesgue (in $RR^n$) su un aperto $A$.

$lambda (A) =$ sup${mis(P) : P sub A}$ dove $P$ rappresenta un plurintervallo (=prodotto cartesiano di intervalli di estremi $a_i,b_i, i=1,...,n$ , è $mis(P) = prod_(i=1)^n (b_i - a_i)$).

In generale, la misura esterna di Lebesgue è data da:

$X sube RR^n, lambda_e (X) = $inf$ {lambda(A), X sube A, A = A°}$