Logica proposizioni particolari

[zenone80]

Secondo il quadrato degli opposti risalente a Michele Psello interprete di Aristotele, le proposizioni quantificate sono quattro: A (universale affermativa), E (universale negativa), I (particolare affermativa), O (particolare negativa). Attraverso l'opera di Gottlob Frege tale codificazione passa nella moderna logica simbolica e dunque nella struttura delle definizioni matematiche. Quello che è interessante notare è che la particolare affermativa è definita come una proposizione diversa dalla particolare negativa e la relazione fra di essa è detta di subcontrarietà. I ed O possono essere entrambe vere ma non entrambe false. Ma donde deriva questo principio? In effetti al senso comune le due subcontrarie sembrano una sola proposizione: se dico "qualche uomo è felice" non sto dicendo nulla di diverso da "qualche uomo non è felice". La teoria classica dice che le due particolari possono essere entrambe vere ma non possono essere entrambe false. Perché? Perché se I è falsa allora E è vera e se E è vera allora anche O lo è, analogamente se O è falsa A è vera e se A è vera allora anche I lo è. Ma passare da A ad I e da E ad O significa ammettere che l'operatore "qualche" meglio noto in matematica come "almeno uno" è il contrario di "nessuno" e non è il contrario di "tutti". Ma per quale motivo avviene questa presa di posizione? Il significato di "almeno uno" è ambiguo, esso nega sia "tutti" che "nessuno". In questo modo la particolare è in senso stretto: non-tutti e non-nessuno, mentre la particolare in senso lato significa solamente non-nessuno e, implicitamente conferma la verità di "tutti". Ma che senso ha ammettere una particolarità in senso lato, ossia la compatibilità di "tutti" ed "almeno uno", ciò che in logica è noto come passaggio alla subalternata? Se la particolare, in quanto tale è in senso stretto, e se la particolare in senso lato è una falsa particolare, una formulazione impropria, allora al posto del quadrato degli opposti si ottiene un triangolo in cui due vertici sono occupati dalle universali affermativa e negativa e il terzo vertice è occupato da un unica particolare che è affermativa in quanto negativa e negativa in quanto affermativa. In questo modo dalla verità di una proposizione universale si deduce la sua falsità e dalla sua falsità la sua verità. Se tutti bevono allora non è vero che qualcuno non beve, ma se non è vero che qualcuno non beve non è vero che qualcuno beve, e se non è vero che qualcuno beve allora nessuno beve.

[zenone80]

Credo tu abbia capito. In termini matematicamente più familiari il concetto di particolare in senso stretto si distingue dal concetto lato come la disgiunzione esclusiva si distingue dalla disgiunzione inclusiva. Il problema di quest'ultima, comunemente accettata, è che offende il principio di non contraddizione poiché (p o non p) comprende anche il caso in cui entrambe sono vere (essendo inclusiva) e dunque rende compatibili p e non p. La disgiunzione esclusiva invece, su cui dunque dovrebbe cadere la scelta, oltre a non presentare questo inconveniente ha una proprietà singolare: (p aut q) è equivalente a (non-p aut non-q) perché le tavole di verità sono identiche. Se la prima esprime l'"almeno uno" affermativo in senso stretto e la seconda l'"almeno uno" negativo in senso stretto allora affermazione e negazione si equivalgono come dicevo prima. Formulando la negazione di una particolare bivalente di questo tipo corrispondente ad una disgiunzione esclusiva si ottiene un tipo di congiunzione in cui l'unica differenza dalla forma ortodossa è che due falsità danno una verità e che a guardare bene non è che la tavola di verità del bicondizionale. Guarda caso il bicondizionale ha la stessa proprietà della disgiunzione esclusiva appena vista: se si cambia segno ad entrambi i membri della coimplicazione il valore di verità resta immutato cioè la tavola di verità di (p coimplica q) è uguale a quella di (non-p coimplica non-q). Ma in questo caso, se si riducono congiunzione e disgiunzione a queste due forme, del resto perfettamente simmetriche rispetto ai valori di verità (si ottiene un De Morgan più semplice per passare dall'una all'altra), non è più possibile distinguere un'affermazione da una negazione, né rispetto alle universali, né rispetto alle particolari.

[adaBTTLS1]

se esprimi il concetto del "particolare" dicendo "qualche elemento verifica la proprietà" tradotto come "esiste almeno un elemento che verifica la proprietà" allora il "sottoinsieme" va inteso in senso lato, perché la frase tradotta con il quantificatore esistenziale non esclude che la proprietà possa essere verificata da tutti gli elementi. quello che tu puoi intendere in senso stretto è effettivamente un'altra cosa... secondo me l'interpretazione corrente è legata alla dualità dei quantificatori, ed in ultima analisi alla possibilità di applicare le leggi di de Morgan. non so se posso aver soddisfatto la tua curiosità, ma se si tratta di disquisizioni filosofiche bisogna cercare in più direzioni. ciao.

[zenone80]

La 2) sarebbe falsa perché la particolare negativa implica la verità della universale affermativa, questa è una caratteristica del quadrato degli opposti già prima della teoria degli insiemi. Il problema che cercavo di sollevare è: la particolare, affermativa o negativa che sia, nega la contraddittoria o anche la subalternante? La logica classica dice che nega solo la contraddittoria, ma così il significato di particolare è ristretto a "non nessuno" per la particolare affermativa e a "non tutti" per la particolare negativa. Questo l'ho chiamato "senso lato". Il senso stretto di particolare è "non tutti e non nessuno", contraddittoria e subalternante. Aristotele chiama contingente in senso lato (in realtà lo chiamano così gli interpreti) la negazione contraddittoria dell'impossibile, e contingente in senso stretto la negazione congiunta di necessario ed impossibile. Trasponendo gli operatori modali in termini quantitativi si ottiene la particolare in senso lato e la particolare in senso stretto. Ma il senso lato è veramente una particolare dato che non contraddice la subalternante, cioè la corrispondente universale? Questo il problema.

[adaBTTLS1]

riporto l'ultima frase, separando le tre affermazioni:

1) se tutti bevono allora non è vero che qualcuno non beve
2) se non è vero che qualcuno non beve non è vero che qualcuno beve
3) se non è vero che qualcuno beve allora nessuno beve

la prima è corretta: l'insieme delle persone che non bevono è vuoto.
la seconda è errata: non è vero che qualcuno non beve significa che tutti bevono.
la terza è corretta: è vuoto l'insieme delle persone che bevono.

la particolare affermativa dice che la proprietà è verificata in un sottoinsieme non vuoto dell'insieme ambiente (ma tale sottoinsieme può anche essere improprio, cioè tutto l'insieme ambiente), ed analogamente la particolare negativa dice che la proprietà non è verificata per almeno un elemento.
solo se valgono entrambe, possiamo dire i due sottoinsiemi (quello in cui vale e quello in cui non vale) sono sottoinsiemi propri, costituiscono anzi una partizione dell'insieme ambiente, e solo in questo caso possiamo escludere che valgono le universali (sia affermativa sia negativa).

spero di essere stata chiara. ciao.