"limiti di successioni..un problema"
2^n/n^n*n!
questo limite mi dei problemi..se qualcuno mi desse una mano concreta..gli sarei grato
questo limite mi dei problemi..se qualcuno mi desse una mano concreta..gli sarei grato
Risposte
Del resto, se la successione era davvero 2^n/(n^n*n!) allora, senza dover scomodare le serie numeriche e il criterio del rapporto, che magari non hai ancora affrontato, bastava osservare che 2^n/n^n=(2/n)^n<1 per n>2 e che 1/n!<1/n, per cui 0<2^n/(n^n*n!)<1/n e quindi, per il teorema dei carabinieri, tende a zero. Se invece di 2 metti 3 o, più in generale, a allora la prima disuguaglianza vale per n>a.
Se però la risposta con a=3 era + infinito allora di sicuro il testo non solo era quello che dicevo io prima, ma, addirittura la domanda riguardava non la successione, ma la serie! Ti dico subito che la serie con a=e, cioè di termine (e^n/n^n)*n! … diverge! (ma non è immediato vederlo!)
Ciao e … in bocca al lupo!
Cavia
Se però la risposta con a=3 era + infinito allora di sicuro il testo non solo era quello che dicevo io prima, ma, addirittura la domanda riguardava non la successione, ma la serie! Ti dico subito che la serie con a=e, cioè di termine (e^n/n^n)*n! … diverge! (ma non è immediato vederlo!)
Ciao e … in bocca al lupo!
Cavia
Io ho interpretato
2^n/n^n*n!
come (2^n/n^n)*n!, secondo la convenzione informatica, e non come 2^n/(n^n*n!), il che dà luogo a un esercizio più interessante!
In questo caso il rapporto a(n+1)/a(n) tende a 2/e, che è minore di 1 e vale ancora la conclusione di prima.
Nel caso in cui c'è il 3 al posto del 2 il risultato del limite di a(n+1)/a(n) è allora 3/e, che è MAGGIORE di 1 e non si può più usare il ragionamento di prima, perchè la serie dei termini diverge!
E nel caso della successione (e^n/n^n)*n! ???
Che cosa succede alla serie?
Cavia
2^n/n^n*n!
come (2^n/n^n)*n!, secondo la convenzione informatica, e non come 2^n/(n^n*n!), il che dà luogo a un esercizio più interessante!
In questo caso il rapporto a(n+1)/a(n) tende a 2/e, che è minore di 1 e vale ancora la conclusione di prima.
Nel caso in cui c'è il 3 al posto del 2 il risultato del limite di a(n+1)/a(n) è allora 3/e, che è MAGGIORE di 1 e non si può più usare il ragionamento di prima, perchè la serie dei termini diverge!
E nel caso della successione (e^n/n^n)*n! ???
Che cosa succede alla serie?
Cavia
Il limite tenderebbe comunque a 0. Senza formalismi... n^n e il fattoriale che stanno al denominatore crescono in maniera mostruosa al crescere di n... non c'è a^n che tenga al numeratore!
Il teorema che ho usato è quello che serve per capire se una serie è convergente o meno. Se la serie è convergente allora la successione dei termini deve per forza andare a 0.
La serie converge se il limite per n che tende a +inf di a(n+1)/a(n) tende ad un numero in modulo <1.
Il teorema che ho usato è quello che serve per capire se una serie è convergente o meno. Se la serie è convergente allora la successione dei termini deve per forza andare a 0.
La serie converge se il limite per n che tende a +inf di a(n+1)/a(n) tende ad un numero in modulo <1.
intanto mi preme un ringraziamento per il contributo....
grazie ..vista anche la data..
adesso mi chiedo a completamento...
se al posto del numero 2 mettiamo il numero 3 perchè il limite tende a + infinito????
e inoltre qual'è il teorema che tu mi citi sul rapporto di termini consecutivi??
grazie ..vista anche la data..
adesso mi chiedo a completamento...
se al posto del numero 2 mettiamo il numero 3 perchè il limite tende a + infinito????
e inoltre qual'è il teorema che tu mi citi sul rapporto di termini consecutivi??
a(n) = 2^n/n^n*n!
a(n+1) = 2^(n+1) / [(n+1)^(n+1) * (n+1)!] =
= 2*2^n / [(n+1)*(n+1)^n *(n+1)n!] =
= 2/[(n+1)^2] * 2^n / [(n+1)^n n!]
Quindi:
a(n+1) / a(n) =
= 2/[(n+1)^2] [n^n] / [(n+1)^n] =
= 2/[(n+1)^2] 1/[(1+1/n)]^n
Il secondo fattore tende a 1/e. Il primo a 0. Quindi a(n+1)/a(n) -->0.
La serie associata a a(n) converge e quindi (condizione necessaria) a(n)-->0
a(n+1) = 2^(n+1) / [(n+1)^(n+1) * (n+1)!] =
= 2*2^n / [(n+1)*(n+1)^n *(n+1)n!] =
= 2/[(n+1)^2] * 2^n / [(n+1)^n n!]
Quindi:
a(n+1) / a(n) =
= 2/[(n+1)^2] [n^n] / [(n+1)^n] =
= 2/[(n+1)^2] 1/[(1+1/n)]^n
Il secondo fattore tende a 1/e. Il primo a 0. Quindi a(n+1)/a(n) -->0.
La serie associata a a(n) converge e quindi (condizione necessaria) a(n)-->0
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