Lemma, teorema, proposizione...??
Nei libri si leggono diversi "titoli" ad indicare un teorema. C'è lemma, teorema, proposizione, corollario. A parte il corollario, gli altri termini che sfumatura di significato hanno esattamente?
Grazie,
Paola
Grazie,
Paola
Risposte
Accidenti che precisione!! 
Caro Luca, prima di risponderti voglio ritrovare quel libro e rileggere quella parte... Così ti saprò dire meglio, non vorrei sbagliarmi!
Inoltre non mi ricordo la riformulazione di Russel -_-
Spero di riuscire presto a recuperarlo... Poi farò un post!
Paola
Caro Luca, prima di risponderti voglio ritrovare quel libro e rileggere quella parte... Così ti saprò dire meglio, non vorrei sbagliarmi!
Inoltre non mi ricordo la riformulazione di Russel -_-
Spero di riuscire presto a recuperarlo... Poi farò un post!
Paola
Sì, un po’ hai ragione, a volte mi lascio trascinare, però la differenza fra assioma e postulato c’è e non penso possa essere liquidata come una questione solo semantica o linguistica
Una distinzione in matematica si fa tra assiomi logici e non logici:
Gli assiomi logici sono enunciati che sono veri in ogni possibile universo, nell'ambito di ogni possibile interpretazione e con ogni assegnazione di valori.
Esempio, l’assioma di uguaglianza dice che: Per ogni x si ha che x = x.
Altro esempio, l’assioma di istanziazione universale. Data una formula $phi$ in un linguaggio del primo ordine $£$ una variabile $x$ e un termine $t$ che risulta sostituibile per $x$ in $phi$ , la formula $\phi^x_t\to\exists x\phi$ è valida.
Queste due asserzioni sono valide in qualsiasi sistema, in qualsiasi struttura, in qualsiasi logica.
Gli assiomi non logici o postulati, nell'ambito di una teoria sono formule che svolgono il ruolo delle assunzioni specifiche della teoria stessa. Si possono sviluppare le analisi di due differenti strutture, per esempio i numeri naturali e gli interi, servendosi degli stessi assiomi logici; gli assiomi non-logici hanno il compito di catturare quello che è specifico di una particolare struttura.
Quindi il ruolo dei postulati o assiomi non logici è semplicemente quello di costituire un punto di partenza in un sistema logico, sia esso il sistema dei numeri naturali per gli assiomi (o più precisamente postulati) di Peano o la geometria euclidea per i postulati di Euclide.
Dato che sono fondamentali nello sviluppo del sistema dei numeri naturali, in genere risulta opportuno che quelli di Peano nel discorso matematico siano chiamati semplicemente 'assiomi', ma, va ribadito, non per esprimere che essi sono enunciati veri e neppure per significare che essi sono assunzioni dotate di verità, cosa che concerne gli assiomi logici.
Altro esempio, nella teoria dei gruppi, in alcuni gruppi l’operazione della moltiplicazione è commutativa, in altri no....quindi che l’operazione della moltiplicazione sia commutativa può al massimo essere un postulato, non un’assioma logico.
Euclide, Proco, Pappo e altri “geometri” dell’antica Grecia usano il verbo porìzo nel senso di fare una deduzione, provare come proposizione intermedia nelle loro dimostrazioni dei teoremi e pòrisma è proprio la deduzione, proposizione intermedia, il corollario.
@ Paola: Lieto di esserti stato utile....dopo tutto anche i classici servono a qualcosa
Una distinzione in matematica si fa tra assiomi logici e non logici:
Gli assiomi logici sono enunciati che sono veri in ogni possibile universo, nell'ambito di ogni possibile interpretazione e con ogni assegnazione di valori.
Esempio, l’assioma di uguaglianza dice che: Per ogni x si ha che x = x.
Altro esempio, l’assioma di istanziazione universale. Data una formula $phi$ in un linguaggio del primo ordine $£$ una variabile $x$ e un termine $t$ che risulta sostituibile per $x$ in $phi$ , la formula $\phi^x_t\to\exists x\phi$ è valida.
Queste due asserzioni sono valide in qualsiasi sistema, in qualsiasi struttura, in qualsiasi logica.
Gli assiomi non logici o postulati, nell'ambito di una teoria sono formule che svolgono il ruolo delle assunzioni specifiche della teoria stessa. Si possono sviluppare le analisi di due differenti strutture, per esempio i numeri naturali e gli interi, servendosi degli stessi assiomi logici; gli assiomi non-logici hanno il compito di catturare quello che è specifico di una particolare struttura.
Quindi il ruolo dei postulati o assiomi non logici è semplicemente quello di costituire un punto di partenza in un sistema logico, sia esso il sistema dei numeri naturali per gli assiomi (o più precisamente postulati) di Peano o la geometria euclidea per i postulati di Euclide.
Dato che sono fondamentali nello sviluppo del sistema dei numeri naturali, in genere risulta opportuno che quelli di Peano nel discorso matematico siano chiamati semplicemente 'assiomi', ma, va ribadito, non per esprimere che essi sono enunciati veri e neppure per significare che essi sono assunzioni dotate di verità, cosa che concerne gli assiomi logici.
Altro esempio, nella teoria dei gruppi, in alcuni gruppi l’operazione della moltiplicazione è commutativa, in altri no....quindi che l’operazione della moltiplicazione sia commutativa può al massimo essere un postulato, non un’assioma logico.
Euclide, Proco, Pappo e altri “geometri” dell’antica Grecia usano il verbo porìzo nel senso di fare una deduzione, provare come proposizione intermedia nelle loro dimostrazioni dei teoremi e pòrisma è proprio la deduzione, proposizione intermedia, il corollario.
@ Paola: Lieto di esserti stato utile....dopo tutto anche i classici servono a qualcosa
In che senso imprecisi? Personalmente ritengo che come siano stati introdotti da Peano, e come li studiamo noi oggi, siano praticamente perfetti, con tutto il rispetto per Russel. Non dimentichiamoci infatti che Godel e Gentzen attorno agli anni '30 hanno ottenuto la non-contradditorietà dell'aritmetica classica, quindi, alla luce di ciò credo che gli assiomi di Peano siano ormai "inattaccabili", almeno dal punto di visto logico.
Complimenti ciclico, sei stato chiarissimo!!
Chissà se incontrerò mai un porisma!!
Colgo al volo il riferimento di Platone agli assiomi di Peano e vi rivolgo un'altra domanda: tempo da leggevo Introduzione alla Filosofia Matematica di Russel, in cui c'è un capitolo in cui vengono rivisti gli assiomi di Peano, in quanto imprecisi a detta dell'autore...
Cosa ne pensate? Studiando Analisi I ho notato infatti che l'induzione non viene trattata come assioma, ma come teorema e N viene definito dopo aver introdotto il concetto generico di insieme induttivo (ovvero un insieme I è induttivo se 1 $in$ I e se per ogni n, n+1 $in$ I).
Che ne pensate?
Paola
Chissà se incontrerò mai un porisma!!
Colgo al volo il riferimento di Platone agli assiomi di Peano e vi rivolgo un'altra domanda: tempo da leggevo Introduzione alla Filosofia Matematica di Russel, in cui c'è un capitolo in cui vengono rivisti gli assiomi di Peano, in quanto imprecisi a detta dell'autore...
Cosa ne pensate? Studiando Analisi I ho notato infatti che l'induzione non viene trattata come assioma, ma come teorema e N viene definito dopo aver introdotto il concetto generico di insieme induttivo (ovvero un insieme I è induttivo se 1 $in$ I e se per ogni n, n+1 $in$ I).
Che ne pensate?
Paola
Vi sembrerà una forzatura, ma a questo punto possiamo definire il "punto" come assioma?
E' un principio ( un idea ) indimostrabile che si prende come base per sviluppi successivi.
Insomma : tutti sappiamo cosa è un "punto", ma non c'è nessuna dimostrazione che tenga.
Ricordate, ad esempio Kolmogorov ? Si parla di teoria assiomatica della probabilità. Cioè non sappiamo che cos'è la probabilita, ma facciamo finta che tutti lo sappiano e prendiamola come base di una teoria logico-deduttiva più ampia.
Non vi pare ?
E' un principio ( un idea ) indimostrabile che si prende come base per sviluppi successivi.
Insomma : tutti sappiamo cosa è un "punto", ma non c'è nessuna dimostrazione che tenga.
Ricordate, ad esempio Kolmogorov ? Si parla di teoria assiomatica della probabilità. Cioè non sappiamo che cos'è la probabilita, ma facciamo finta che tutti lo sappiano e prendiamola come base di una teoria logico-deduttiva più ampia.
Non vi pare ?
Ciclico come al solito ne sai sempre troppe.
Il porisma non lo avevo mai sentito.
Per quanto riguarda la distinzione che hai fatto tra postulati e assiomi, la cosa non mi e' molto chiara. Ad dir la verita' io credevo fossero sinonimi.
Ad esempio, nell'assiomatizzazione dell'aritmetica di Peano, io non credo che il principio di induzione sia una cosa cosi' "evidente", eppure e' chiamato assioma. O ancora, il tanto storicamente discusso assioma della scelta: addirittura bisogna di volta in volta specificare se si puo' usare o meno. O diversamente. il quinto (questa volta detto) postulato di Euclide, non e' pur sempre uno degli assiomi dell'assiomatizzazione (scusate il gioco di parole) della geometria.
In fine, quando ho seguito il corso di istituzioni di logica, non ricordo fosse stata fatta questa distinzione.
Tutto questo per dire che probabilmente la distinzione che hai fatto sia linguistica e non matematica; nel senso che nel linguaggio comune i tue termini hanno accezioni diverse, ma nel linguaggio matematico sono sinonimi.
Che dici, potrebbe essere?
Platone
Il porisma non lo avevo mai sentito.
Per quanto riguarda la distinzione che hai fatto tra postulati e assiomi, la cosa non mi e' molto chiara. Ad dir la verita' io credevo fossero sinonimi.
Ad esempio, nell'assiomatizzazione dell'aritmetica di Peano, io non credo che il principio di induzione sia una cosa cosi' "evidente", eppure e' chiamato assioma. O ancora, il tanto storicamente discusso assioma della scelta: addirittura bisogna di volta in volta specificare se si puo' usare o meno. O diversamente. il quinto (questa volta detto) postulato di Euclide, non e' pur sempre uno degli assiomi dell'assiomatizzazione (scusate il gioco di parole) della geometria.
In fine, quando ho seguito il corso di istituzioni di logica, non ricordo fosse stata fatta questa distinzione.
Tutto questo per dire che probabilmente la distinzione che hai fatto sia linguistica e non matematica; nel senso che nel linguaggio comune i tue termini hanno accezioni diverse, ma nel linguaggio matematico sono sinonimi.
Che dici, potrebbe essere?
Platone
C'è comunque da dire che questa classificazione non ha uno stretto valore logico-matematico; in Matematica infatti si hanno solo: 1)Assiomi, 2) Definizioni, 3)Teoremi.
Il lemma è una proposizione o un teorema secondario che si premette alla dimostrazione di un teorema più vasto.
Il teorema è un'asserzione che può essere dimostrata per vera con argomenti e operazioni matematiche. Lo svolgimento di un teorema per essere corretto richiede una dimostrazione. (dal greco theorema = oggetto di contemplazione e di speculazione)
Il corollario è una proposizione che può essere dedotta facilmente da un teorema appena enunciato e dimostrato. (dal latino corolla, in quanto metaforicamente circonda il teorema che sarebbe il centro del fiore),
La proposizione è un teorema solitamente di importanza non primaria.
Il postulato è una proposizione priva di evidenza e non dimostrata, ma ammessa come vera in quanto necessaria per fondare una dimostrazione. Non è sinonimo di assioma
L'assioma è un principio evidente e indimostrabile che può fare da premessa ad un teorema. Non è sinonimo di postulato (dal greco axioma = dignità)
Il porisma è un arcaico modo di definire il teorema usato dagli antichi greci e usato nelle dimostrazioni di teoremi storici
Il matematico Robert Graham ha stimato che ogni anno vengono scoperti circa 250.000 nuovi teoremi.....io ne conosco solo un centinaio....
Ciao
Il teorema è un'asserzione che può essere dimostrata per vera con argomenti e operazioni matematiche. Lo svolgimento di un teorema per essere corretto richiede una dimostrazione. (dal greco theorema = oggetto di contemplazione e di speculazione)
Il corollario è una proposizione che può essere dedotta facilmente da un teorema appena enunciato e dimostrato. (dal latino corolla, in quanto metaforicamente circonda il teorema che sarebbe il centro del fiore),
La proposizione è un teorema solitamente di importanza non primaria.
Il postulato è una proposizione priva di evidenza e non dimostrata, ma ammessa come vera in quanto necessaria per fondare una dimostrazione. Non è sinonimo di assioma
L'assioma è un principio evidente e indimostrabile che può fare da premessa ad un teorema. Non è sinonimo di postulato (dal greco axioma = dignità)
Il porisma è un arcaico modo di definire il teorema usato dagli antichi greci e usato nelle dimostrazioni di teoremi storici
Il matematico Robert Graham ha stimato che ogni anno vengono scoperti circa 250.000 nuovi teoremi.....io ne conosco solo un centinaio....
Ciao
si tratta appunto di una sfumatura.
I lemmi sono proposizioni (sono infatti sinonimi) dimostrabili, ma la cui importanza e' relativa al loro utilizzo per la dimostrazione di un teorema che ha invece una sua propria importanza all'interno della teoria.
I lemmi sono proposizioni (sono infatti sinonimi) dimostrabili, ma la cui importanza e' relativa al loro utilizzo per la dimostrazione di un teorema che ha invece una sua propria importanza all'interno della teoria.
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