La solita tombola... o no?
Una domanda banale: quante sono le possibili cartelle della tombola ?
Uffa la solita solfa, 90 numeri possibili, 15 per ogni cartella.... coefficiente binomiale.... insomma eccoci
$ ( ( 90 ),( 15 ) ) = 45795673964460800 $
però, però....
una cartella con, ad esempio, i seguenti 15 numeri: 1,2,3,4,5,...14,15 non andrebbe bene, perchè a ben pensarci vi sono dei vincoli.
Do per scontato che tutti si sappia come sono fatte le cartelle.
A me pare che i vincoli siano:
- non più di 3 numeri tra 1 e 9 (ovvero $((9),(0))+((9),(1))+((9),(2))+((9),(3)) = 1+9+36+84 = 130 $ combinazioni)
- non più di 3 numeri tra 10 e 19 ($((10),(0))+((10),(1))+((10),(2))+((10),(3)) = 1+10+45+120 = 176 $ combinazioni)
- non più di 3 numeri tra 20 e 29 (idem)
....
- non più di 3 numeri tra 80 e 90 ($((11),(0))+((11),(1))+((11),(2))+((11),(3)) = 1+11+55+165 = 232 $ combinazioni)
(eggià, mancava pure che la prima e l'ultima colonna delle cartelle fossero 'particolari')
dunque riformulo il problema:
- quante sono le possibili cartelle del gioco della tombola, VALIDE ?
onestamente non saprei come procedere
Un'osservazione (che però non so se semplifichi o complichi la vita!) è che se si considerassero le righe delle cartelle, considerando solo la disposizione dei numeri sulle righe (cioè quali caselle sono riempite e quali no) avremmo 'solo' 126 righe distinte (tanti quanti sono i numeri binari di 9 cifre che contengono esattamente 5 '1', di nuovo compare un binomiale... $((9),(5))$ ) ma non so se ciò ci aiuta.... al limite ci potrebbe complicare la vita, perchè ad es una cartella che abbia le prime 5 colonne piene in tutte e tre le righe sarebbe 'strana', ma anche se avesse tutte e tre le righe eguali... o comunque se avesse 'troppe' righe 'strane' (dove 'troppo' e 'strano' sono tutti da definire...)
Potremmo quindi anche chiederci quante siano le cartelle di una tombola 'tecnicamente valida' e 'normale' (ovvero senza cartelle troppo strane') Ma prima andrebbe 'circoscritto' il concetto di 'stranezza di una cartella...' Per ora mi accontenterei di contare tutte le valide anche se strane....
E un'osservazione finale: si è soliti 'raggruppare' le cartelle in gruppi di 6, gruppi che contengano cartelle con tutti i numeri diversi (e che quindi 'coprano' tutti i 90 numeri). Ciò in qualche modo ci porta a dire che le cartelle possibili saranno un multiplo di 6 ?
Oppure mi sono 'arrotolato' troppo e c'è una soluzione molto più semplice che mi sfugge ?
Uffa la solita solfa, 90 numeri possibili, 15 per ogni cartella.... coefficiente binomiale.... insomma eccoci
$ ( ( 90 ),( 15 ) ) = 45795673964460800 $
però, però....
una cartella con, ad esempio, i seguenti 15 numeri: 1,2,3,4,5,...14,15 non andrebbe bene, perchè a ben pensarci vi sono dei vincoli.
Do per scontato che tutti si sappia come sono fatte le cartelle.
A me pare che i vincoli siano:
- non più di 3 numeri tra 1 e 9 (ovvero $((9),(0))+((9),(1))+((9),(2))+((9),(3)) = 1+9+36+84 = 130 $ combinazioni)
- non più di 3 numeri tra 10 e 19 ($((10),(0))+((10),(1))+((10),(2))+((10),(3)) = 1+10+45+120 = 176 $ combinazioni)
- non più di 3 numeri tra 20 e 29 (idem)
....
- non più di 3 numeri tra 80 e 90 ($((11),(0))+((11),(1))+((11),(2))+((11),(3)) = 1+11+55+165 = 232 $ combinazioni)
(eggià, mancava pure che la prima e l'ultima colonna delle cartelle fossero 'particolari')
dunque riformulo il problema:
- quante sono le possibili cartelle del gioco della tombola, VALIDE ?
onestamente non saprei come procedere
Un'osservazione (che però non so se semplifichi o complichi la vita!) è che se si considerassero le righe delle cartelle, considerando solo la disposizione dei numeri sulle righe (cioè quali caselle sono riempite e quali no) avremmo 'solo' 126 righe distinte (tanti quanti sono i numeri binari di 9 cifre che contengono esattamente 5 '1', di nuovo compare un binomiale... $((9),(5))$ ) ma non so se ciò ci aiuta.... al limite ci potrebbe complicare la vita, perchè ad es una cartella che abbia le prime 5 colonne piene in tutte e tre le righe sarebbe 'strana', ma anche se avesse tutte e tre le righe eguali... o comunque se avesse 'troppe' righe 'strane' (dove 'troppo' e 'strano' sono tutti da definire...)
Potremmo quindi anche chiederci quante siano le cartelle di una tombola 'tecnicamente valida' e 'normale' (ovvero senza cartelle troppo strane') Ma prima andrebbe 'circoscritto' il concetto di 'stranezza di una cartella...' Per ora mi accontenterei di contare tutte le valide anche se strane....
E un'osservazione finale: si è soliti 'raggruppare' le cartelle in gruppi di 6, gruppi che contengano cartelle con tutti i numeri diversi (e che quindi 'coprano' tutti i 90 numeri). Ciò in qualche modo ci porta a dire che le cartelle possibili saranno un multiplo di 6 ?
Oppure mi sono 'arrotolato' troppo e c'è una soluzione molto più semplice che mi sfugge ?
Risposte
Ciao.
Ho trovato un metodo per calcolare quante sono le cartelle possibili.
Ma è un conteggio molto lungo e laborioso.
Se sei ancora interessato fammelo sapere, che magari operiamo in "tandem".
Ho trovato un metodo per calcolare quante sono le cartelle possibili.
Ma è un conteggio molto lungo e laborioso.
Se sei ancora interessato fammelo sapere, che magari operiamo in "tandem".
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