La proprietà commutativa non lo è poi tanto
Ho una difficoltà con la proprietà commutativa. Tratterò il caso relativamente all’addizione ma ovviamente la questione vale per qualsiasi operazione che goda della proprietà commutativa.
Leggo sul libro:
7+5+3 = 3+5+7 per la proprietà commutativa
Poi si dà questa definizione:
una operazione in un insieme è commutativa se, quali che siano a e b, risulta a+b = b+a
Da questa semplice definizione non riesco a dedurre in base alla sola p. commutativa che
a+b+c=c+b+a
Secondo voi è possibile?
Leggo sul libro:
7+5+3 = 3+5+7 per la proprietà commutativa
Poi si dà questa definizione:
una operazione in un insieme è commutativa se, quali che siano a e b, risulta a+b = b+a
Da questa semplice definizione non riesco a dedurre in base alla sola p. commutativa che
a+b+c=c+b+a
Secondo voi è possibile?
Risposte
"gugo82":
[quote="WiZaRd"]@gugo82
[quote="gugo82"]
La proprietà commutativa, premesso che valga quella associativa, vale per un qualsiasi numero $n in NN$ di addendi, nel senso che comunque si scelgano $a_1,\ldots ,a_n in RR$ e comunque si scelga una funzione biiettiva $sigma:{1,\ldots, n} to{1,\ldots, n}$ (un'applicazione del genere è detta permutazione degli indici $1,\ldots,n$) allora risulta:
$a_1+\ldots +a_n=\a_(sigma(1))+\ldots +a_(sigma(n)) quad$.
Come si dimostra? Per induzione?[/quote]
Si, usando la proprietà associativa, la commutatività della somma con due soli addendi e l'ipotesi induttiva.
Mi pare che sia una delle dimostrazioni che si fanno in Algebra al primo anno, ma potrei sbagliarmi.[/quote]
Per il momento non l'abbiamo fatta. Grazie.
P.S.
Non è che potresti darmi uno stralcio della dim.?
"Sandokan.":
[quote="gugo82"][quote="Sandokan."][quote="gugo82"]Sommare infiniti addendi vuol dire passare al limite una successione
Si potrebbe anche considerare il caso di una infinità non numerabile di addendi...[/quote]
[...] per somme del tipo descritto da te penso che si potrebbe operare con gli integrali (sbaglio?), ma questo è un po' più difficile.[/quote]
Beh la maniera più semplice è fare il sup delle somme finite (questo equivale a studiare la convergenza di una rete invece che di una successione).[/quote]
Effettivamente non ci avevo pensato sul momento (anche perchè ho poca familiarità con le reti... non essendo pescatore!
)Grazie Tigre.
"WiZaRd":
@gugo82
[quote="gugo82"]
La proprietà commutativa, premesso che valga quella associativa, vale per un qualsiasi numero $n in NN$ di addendi, nel senso che comunque si scelgano $a_1,\ldots ,a_n in RR$ e comunque si scelga una funzione biiettiva $sigma:{1,\ldots, n} to{1,\ldots, n}$ (un'applicazione del genere è detta permutazione degli indici $1,\ldots,n$) allora risulta:
$a_1+\ldots +a_n=\a_(sigma(1))+\ldots +a_(sigma(n)) quad$.
Come si dimostra? Per induzione?[/quote]
Si, usando la proprietà associativa, la commutatività della somma con due soli addendi e l'ipotesi induttiva.
Mi pare che sia una delle dimostrazioni che si fanno in Algebra al primo anno, ma potrei sbagliarmi.
@gugo82
Come si dimostra? Per induzione?
"gugo82":
La proprietà commutativa, premesso che valga quella associativa, vale per un qualsiasi numero $n in NN$ di addendi, nel senso che comunque si scelgano $a_1,\ldots ,a_n in RR$ e comunque si scelga una funzione biiettiva $sigma:{1,\ldots, n} to{1,\ldots, n}$ (un'applicazione del genere è detta permutazione degli indici $1,\ldots,n$) allora risulta:
$a_1+\ldots +a_n=\a_(sigma(1))+\ldots +a_(sigma(n)) quad$.
Come si dimostra? Per induzione?
"gugo82":
[quote="Sandokan."][quote="gugo82"]Sommare infiniti addendi vuol dire passare al limite una successione
Si potrebbe anche considerare il caso di una infinità non numerabile di addendi...[/quote]
Vabbè, diciamo che ho preso in considerazione solo la più immediata generalizzazione del concetto di somma (con $|NN|$ addendi ben ordinati al posto di un numero finito); per somme del tipo descritto da te penso che si potrebbe operare con gli integrali (sbaglio?), ma questo è un po' più difficile.[/quote]
Beh la maniera più semplice è fare il sup delle somme finite (questo equivale a studiare la convergenza di una rete invece che di una successione).
"Sandokan.":
[quote="gugo82"]Sommare infiniti addendi vuol dire passare al limite una successione
Si potrebbe anche considerare il caso di una infinità non numerabile di addendi...[/quote]
Vabbè, diciamo che ho preso in considerazione solo la più immediata generalizzazione del concetto di somma (con $|NN|$ addendi ben ordinati al posto di un numero finito); per somme del tipo descritto da te penso che si potrebbe operare con gli integrali (sbaglio?), ma questo è un po' più difficile.
P.S.: mi dirai: Esistono anche le serie bilatere $\sum_(n=-oo)^(+oo) a_n$: anche queste hanno $|NN|$ addendi, però non sono incluse nel post precedente.
Lo so, però, come ho detto ho dato la più immediata ed intuitiva generalizzazione del concetto di somma che avevo a disposizione.
"gugo82":
Sommare infiniti addendi vuol dire passare al limite una successione
Si potrebbe anche considerare il caso di una infinità non numerabile di addendi...
"silente":
E' quello a cui ero giunto anche io; ci vuole anche l'associativa.
Mi era sorto il dubbio che ci fosse (magari c'è) qualche modo per esprimere formalmente la p.comm riferendola a infiniti termini. In questo modo la p. comm poteva bastare.
Grazie
La proprietà commutativa, premesso che valga quella associativa, vale per un qualsiasi numero $n in NN$ di addendi, nel senso che comunque si scelgano $a_1,\ldots ,a_n in RR$ e comunque si scelga una funzione biiettiva $sigma:{1,\ldots, n} to{1,\ldots, n}$ (un'applicazione del genere è detta permutazione degli indici $1,\ldots,n$) allora risulta:
$a_1+\ldots +a_n=\a_(sigma(1))+\ldots +a_(sigma(n)) quad$.
N.B.: la scelta dei numeri reali è di comodo; potremmo anche prendere elementi in un anello qualsiasi ed il discorso non cambierebbe affatto.
Per passare da un qualunque numero finito di addendi ad infiniti addendi devi innanzitutto specificare due cose: a) come intendi sommare infiniti termini; b) che permutazioni degli indici vuoi prendere.
I Matematici hanno risolto da tempo entrambi questi problemi.
a) Sommare infiniti addendi vuol dire passare al limite una successione, precisamente la successione che ha per termini i numeri $s_n$ che si ottengono come segue: $s_1=a_1, s_2=a_1+a_2,\ldots ,s_n=a_1+a_2+\ldots +a_n,\ldots $. Se la successione $(s_n)$ ha limite $s$ allora questo limite si chiama somma di $a_1,a_2,\ldots, a_n,\ldots$ e si indica sinteticamente col simbolo $\sum_(n=1)^(+oo)a_n$ (nota che non ho escluso il caso in cui $s=pm oo$*).
Questo è il concetto (semplificato) che sta alla base della definizione di serie numerica.
b) Supponiamo che gli infiniti addendi siano dotati di una somma come definita in a). Si può provare che se si scambiano di posto un numero finito di addendi allora la loro somma non cambia (sia essa finita o no).
Problemi sorgono quando si vogliano scambiare di posto infiniti (anche se non necessariamente tutti) addendi della somma: in tal caso succedono cose davvero strane.
- Esistono serie che hanno somma finita la quale non cambia mai, anche se si scambiano di posto infiniti addendi: queste serie vengono dette incondizionatamente (od anche commutativamente) convergenti. Si prova che tali serie sono tutte e sole quelle assolutamente convergenti, ossia quelle che hanno finita la somma dei valori assoluti degli addendi (ciò si scrive $\sum_(n=0)^(+oo)|a_n|<+oo$)**.
- D'altra parte, esistono serie che hanno somma finita e che però cambiano somma a seconda della disposizione degli addendi. Anzi, dirò di più: se una serie con somma finita non è incondizionatamente convergente, allora per ogni numero $L in RR$ si può trovare una permutazione degli indici $sigma:NN to NN$ in modo che la somma della serie $a_(sigma(1))+a_(sigma(2))+\ldots+a_(sigma(n))+\ldots$ sia uguale ad $L$ (nota bene che $L$ è stato fissato del tutto arbitrariamente)! Questo è il caso della cosiddetta serie armonica alternata, cioè della serie che ha per addendi i numeri $a_n=(-1)^n/n$.
Come vedi questo nostro mondo matematico è pieno di stranezze e non smette mai di stupire.
____________
* Questo caso si presenta naturalmente: ad esempio se scegli di sommare infiniti addendi tutti uguali ad $1$ [risp. a $-1$], allora $s=+oo$ [risp. $s=-oo$].
** Questo risultato è noto come Teorema di Riemann-Dini.
E' quello a cui ero giunto anche io; ci vuole anche l'associativa.
Mi era sorto il dubbio che ci fosse (magari c'è) qualche modo per esprimere formalmente la p.comm riferendola a infiniti termini. In questo modo la p. comm poteva bastare.
Grazie
Mi era sorto il dubbio che ci fosse (magari c'è) qualche modo per esprimere formalmente la p.comm riferendola a infiniti termini. In questo modo la p. comm poteva bastare.
Grazie
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