La definizione di limite si fa ancora al liceo?
Buonasera,
come molti membri del forum do qualche ripetizione di matematica. Ultimamente sto seguendo 3 ragazzi di quinta liceo scientifico di classi diverse e con professori diversi e nessuno dei 3 dice di aver fatto in classe la definizione di limite (quella con $\epsilon$-$\delta$ per intenderci), ma di essersi limitati sempre e solo al calcolo "meccanico" dei limiti.
Quando me l'ha detto il primo, ho liquidato la cosa come un (non raro) episodio in cui il ragazzo non ha ascoltato una cippa di quello che ha detto il docente in classe. Al secondo ho alzato gli occhi al cielo, al terzo mi è venuto il tremendo sospetto che in effetti fosse proprio così.
So che nel forum ci sono diversi docenti di scuola superiore e vorrei sapere se effettivamente è cambiato qualcosa nei programmi oppure saltare la definizione di limite è semplicemente diventato qualcosa di consueto.
Tutto ciò un po' mi sconvolge perché quando l'ho fatta io la quinta (nel 2013, non nel '48) si facevano pacchi di esercizi sulla verifica di limite e, personalmente, li trovai anche utili per capire cosa un limite fosse davvero.
Attendo smentite/ conferme / confronti!
come molti membri del forum do qualche ripetizione di matematica. Ultimamente sto seguendo 3 ragazzi di quinta liceo scientifico di classi diverse e con professori diversi e nessuno dei 3 dice di aver fatto in classe la definizione di limite (quella con $\epsilon$-$\delta$ per intenderci), ma di essersi limitati sempre e solo al calcolo "meccanico" dei limiti.
Quando me l'ha detto il primo, ho liquidato la cosa come un (non raro) episodio in cui il ragazzo non ha ascoltato una cippa di quello che ha detto il docente in classe. Al secondo ho alzato gli occhi al cielo, al terzo mi è venuto il tremendo sospetto che in effetti fosse proprio così.
So che nel forum ci sono diversi docenti di scuola superiore e vorrei sapere se effettivamente è cambiato qualcosa nei programmi oppure saltare la definizione di limite è semplicemente diventato qualcosa di consueto.
Tutto ciò un po' mi sconvolge perché quando l'ho fatta io la quinta (nel 2013, non nel '48) si facevano pacchi di esercizi sulla verifica di limite e, personalmente, li trovai anche utili per capire cosa un limite fosse davvero.
Attendo smentite/ conferme / confronti!
Risposte
La mia risposta non voleva essere un suggerimento a usare la topologia al liceo. Quello che volevo dire e' che la definizione di limite e' difficile proprio perche' si tratta di un concetto topologico e non analitico: la definizione $\epsilon-\delta$ e' una traduzione della definizione "naturale" data in ambiente puramente topologico rispetto alla topologia euclidea, e questo solleva un'ulteriore difficolta', cioe' che di per se' non serve specificare che topologia si sta usando.
Sì, ok i limiti sono concetti topologici. Al liceo posso parlare di intorni e ci potrebbe stare. Ma le difficoltà ci sono. La topologia richiede un po' - si fa per dire - di astrazione. E alle superiori non puoi peretterti questo "passo falso". Quindi per fare le cose un po' meglio ci si potrebbe appoggiare alla struttura dei numeri reali. Il che però non succede nella maggior parte dei casi.
Quindi quello che si fa è assumere il concetto di limite come "intuitivo".
Non voglio aprire un discorso in un'altro discorso, ma mi scappa una domanda: ma la topologia per quanto concerne i limiti di funzioni reali a variabile reale, per esempio, non si appoggia un minimo alla struttura dei reali? E poi la definizione $epsilon$-$delta$ è fatta per ovviare alla "mancanza" della topologia?
Quindi quello che si fa è assumere il concetto di limite come "intuitivo".
Non voglio aprire un discorso in un'altro discorso, ma mi scappa una domanda: ma la topologia per quanto concerne i limiti di funzioni reali a variabile reale, per esempio, non si appoggia un minimo alla struttura dei reali? E poi la definizione $epsilon$-$delta$ è fatta per ovviare alla "mancanza" della topologia?
"Indrjo Dedej":
Il fatto è che i limiti, come voi saprete meglio di me, hanno senso dopo aver introdotto la struttura dei numeri reali bene. Il che aimé non succede.
In realta' la definizione con gli intorni cerca di evitare proprio questo: infatti, il concetto di limite appartiene alla topologia di per se', e non necessita l'introduzione dell'insieme dei numeri reali. Forse la sua difficolta', e il fatto che storicamente sia arrivato molto piu' tardi rispetto al calcolo, risiede proprio nella sua natura di concetto topologico e non analitico, a differenza del calcolo differenziale per esempio.
Guarda è difficile per un liceale capire la definizione di limite - immagino che anche per uno dell'università valga in misura minore lo stesso - . Già a non pochi viene mal di mare quando sentono parlare di "per ogni" e di "esiste almeno un". Figurati entrambi in una stessa frase... Poi come definizione non fa pochi salti mortali.
Anche a me piace la definizione "unificatrice" con gli intorni, ma l'incomprensione rimane in non pochi. Il fatto è che i limiti, come voi saprete meglio di me, hanno senso dopo aver introdotto la struttura dei numeri reali bene. Il che aimé non succede.
Quello che si passa agli studenti è
$lim_{x to c} f(x) = lambda$ significa "all'avvicinarsi di $x$ a $c$ [che poi $c$ sia punto di accumulazione passa inosservato] $f(x)$ si avvicina a $lambda$".
Questa potrebbe anche aiutarti nei casi più semplici, ma in quelli un po' più difficilotti non so se ce la fai. I due o tre che studiano sanno questo, gli altri neanche questo. I prof danno vagonate di esercizi e gli studenti imparano a farli meccanicamente e si memorizzano i procedimenti per risolvere le varie tipologie di esercizi - ovviamente c'è chi non ci pensa neanche -. Ma matematica non si fa così. Ma nessuno dei miei compagni ci crede.
Anche a me piace la definizione "unificatrice" con gli intorni, ma l'incomprensione rimane in non pochi. Il fatto è che i limiti, come voi saprete meglio di me, hanno senso dopo aver introdotto la struttura dei numeri reali bene. Il che aimé non succede.
Quello che si passa agli studenti è
$lim_{x to c} f(x) = lambda$ significa "all'avvicinarsi di $x$ a $c$ [che poi $c$ sia punto di accumulazione passa inosservato] $f(x)$ si avvicina a $lambda$".
Questa potrebbe anche aiutarti nei casi più semplici, ma in quelli un po' più difficilotti non so se ce la fai. I due o tre che studiano sanno questo, gli altri neanche questo. I prof danno vagonate di esercizi e gli studenti imparano a farli meccanicamente e si memorizzano i procedimenti per risolvere le varie tipologie di esercizi - ovviamente c'è chi non ci pensa neanche -. Ma matematica non si fa così. Ma nessuno dei miei compagni ci crede.
Io ho fatto La quinta superiore tre anni fa, e noi l'avevamo fatta la definizione $\epsilon-\delta$ di limite, come anche esercizi di verifica di limiti, ma avevo la forte impressione che degli altri, anche quelli bravi, non riuscivano a capire veramente cosa la definizione volesse dire, sapevano fare gli esercizi, ma (secondo me) la definizione non l'avevano capita.
Io ho fatto un ITIS ormai qualche anno fa, quindi il mio commento non fa molto testo, ma la definizione di limite con $\epsilon - \delta$ non l'ho mai vista, infatti mi sono trovato poi molto in difficoltà nel comprendere analisi 1 (non solo per questo fatto). Trovo che sia molto utile farla per comprendere meglio le cose.
Faccio la definizione di limite utilizzando gli intorni, cioè una definizione unica per tutti i casi, le definizioni del Dodero mi hanno sempre fatto andare via di testa: quattro definizioni diverse per dire la stessa cosa. Per quanto riguarda gli esercizi cerco di farne moderatamente, pochi subito, qualcuno per dimostrare le proprietà dell'algebra dei limiti, qualche altro per la dimostrazione di teoremi. In soldoni il compito sulla definizione di limite contiene anche la topologia dei reali, sup e inf di un insieme e qualcos'altro.
Ho fatto i limiti in quarta (l'anno scorso) e la definizione di limite è stata fatta, ma ad altre classi nella stessa scuola è stata solo accennata. Penso che ormai dipenda dal docente.
Sono parzialmente d'accordo: ok sulla definizione di limite ma basta con tutta questa montagna di esercizi...
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