La costante dei seni
Nella geometria euclidea, per ogni triangolo vale il teorema dei seni:
a/sin(alfa)=b/sin(beta)=c/sin(gamma).
Nella geometria sferica il teorema dei seni diventa:
sin(a)/sin(alfa)=sin(b)/sin(beta)=sin(c)/sin(gamma),
mentre in quella iperbolica:
sinh(a)/sin(alfa)=sinh(b)/sin(beta)=sinh(c)/sin(gamma)
Nei primi due casi la costante fornita da ciascun rapporto ha un significato geometrico (nel caso della geometria euclidea tutti impariamo a scuola che si tratta del diametro del cerchio circoscritto, mentre per il caso sferico è un rapporto di volumi).
Qualcuno sa dirmi qual è il significato geometrico della costante del teorema dei seni nel caso iperbolico? Non sono riuscito a trovarlo da nessuna parte!
Grazie
Cavia
a/sin(alfa)=b/sin(beta)=c/sin(gamma).
Nella geometria sferica il teorema dei seni diventa:
sin(a)/sin(alfa)=sin(b)/sin(beta)=sin(c)/sin(gamma),
mentre in quella iperbolica:
sinh(a)/sin(alfa)=sinh(b)/sin(beta)=sinh(c)/sin(gamma)
Nei primi due casi la costante fornita da ciascun rapporto ha un significato geometrico (nel caso della geometria euclidea tutti impariamo a scuola che si tratta del diametro del cerchio circoscritto, mentre per il caso sferico è un rapporto di volumi).
Qualcuno sa dirmi qual è il significato geometrico della costante del teorema dei seni nel caso iperbolico? Non sono riuscito a trovarlo da nessuna parte!
Grazie
Cavia
Risposte
Purtroppo no. Si tratta di un compito assegnato a studenti universitari sulla geometria iperbolica in cui si chiede di dedurre alcune formule (tipo quella di Erone) corrispondenti a famose formule della geometria euclidea. Non sompare invece il teorema dei seni e tantomeno il significato geometrico della costante iperbolica.
Devo forse dedurne che nessuno lo ha ancora trovato (sempre che esista!)?
Cavia
Devo forse dedurne che nessuno lo ha ancora trovato (sempre che esista!)?
Cavia
http://www.math.uncc.edu/~droyster/cour ... 6/hw6.html
qui la cita, anche se non ne da una diretta interpretazione geometrica.
qui la cita, anche se non ne da una diretta interpretazione geometrica.
citazione:
Klein ha chiarito in modo definitivo il rapporto tra le varie geometrie.
Antonio B
Beh, sul fatto che il chiarimento di Klein sia "definitivo", ci andrei piano!
Cavia
Questo teorema non è di geometria iperbolica, ma di geometria assoluta, e cioè appartiene a quella serie di teoremi la cui verità non dipende dall'aver accettato o meno il V potulato. Per esempio, nel caso euclideo, siccome le circonferenze sono direttamente proporzionali ai raggi, diventa il solito teorema dei seni e così pure nel caso iperbolico, essendo là le circonferenze direttamente proporzionali al seno iperbolico del raggio. Insomma, questo teorema afferma che esisterà un teorema dei seni in ciascuna di queste geometrie ma non ne prevede ancora la forma (occorrerà attendere di sapere la relazione tra la lunghezza della circonferenza e il raggio in ciascuna particolare geometria) ma, soprattutto, non dice nulla sul significato della costanza del rapporto. Per esempio, nel caso euclideo, dice che i seni saranno proporzionali ai lati, ma nulla dice sul fatto che il reciproco della costante rappresenta il diametro del cerchio circoscritto! Insomma, grazie, ma non ho ancora trovato la risposta (neanche con google!)
Cavia
Cavia
Fra le mie cose ho trovato un teorema sulla geometria iperbolica.
Questo teorema e' chiamato "teorema di Bolyai" ed ha un notevole somiglianza col teorema dei seni in trigonometria "euclidea".
Ecco l'enunciato:In ogni triangolo rettilineo i seni degli angoli
sono proporzionali alle circonferenze aventi per raggi i lati rispettivamente opposti."
Resta da vedere che s'intende ,in geometria iperbolica,per angolo
e per circonferenza (il testo parla di oriciclo,orisfere ed altre
...robette).Se fossero gli stessi ,ma non ho approfondito,il teorema
si ridurrebbe a quello gia' noto in G.E.
Inoltre si afferma che tale teorema e' la base della trigonometria iperbolica (e questo appare plausibile).Ed ancora viene
affermato che il teorema di Bolyai permette di dimostrare che:
La trigonometria sferica e' indipendente dal V postulato di
Euclide.
karl.
Questo teorema e' chiamato "teorema di Bolyai" ed ha un notevole somiglianza col teorema dei seni in trigonometria "euclidea".
Ecco l'enunciato:In ogni triangolo rettilineo i seni degli angoli
sono proporzionali alle circonferenze aventi per raggi i lati rispettivamente opposti."
Resta da vedere che s'intende ,in geometria iperbolica,per angolo
e per circonferenza (il testo parla di oriciclo,orisfere ed altre
...robette).Se fossero gli stessi ,ma non ho approfondito,il teorema
si ridurrebbe a quello gia' noto in G.E.
Inoltre si afferma che tale teorema e' la base della trigonometria iperbolica (e questo appare plausibile).Ed ancora viene
affermato che il teorema di Bolyai permette di dimostrare che:
La trigonometria sferica e' indipendente dal V postulato di
Euclide.
karl.
Ho tradotto in italiano il libricino di Klein sulle cosiddette geometrie non Euclide, lo trovate nel mio curriculum, casa editrice La Scuola di Brescia. Lo cito non per pubblicità ma perché è fondamentale per chi voglia capire storicamente il problema delle geoemtrie non euclidee.
Klein ha chiarito in modo definitivo il rapporto tra le varie geometrie.
Geometria euclidea (parabolica), ellittica (riemanniana) e iperbolica (di Lobacevskij) si ottengono dalla geometria proiettiva introducendo una opportuna metrica, o fissando una opportuna conica all'infinito. Pertanto sono logicamente corrette ed equivalenti.
Beltrami ha invece creato un modello (corretto da Hilbert) di geometria non euclidea all'interno della geometria euclidea, provando in questo modo che se la geometria euclidea è logicamente corretta lo è anche quella non euclidea.
Per quanto riguarda il teorema dei seni non sono riuscito a reperire informazioni significative con una breve ricerca tra i miei libri.
Antonio B
Klein ha chiarito in modo definitivo il rapporto tra le varie geometrie.
Geometria euclidea (parabolica), ellittica (riemanniana) e iperbolica (di Lobacevskij) si ottengono dalla geometria proiettiva introducendo una opportuna metrica, o fissando una opportuna conica all'infinito. Pertanto sono logicamente corrette ed equivalenti.
Beltrami ha invece creato un modello (corretto da Hilbert) di geometria non euclidea all'interno della geometria euclidea, provando in questo modo che se la geometria euclidea è logicamente corretta lo è anche quella non euclidea.
Per quanto riguarda il teorema dei seni non sono riuscito a reperire informazioni significative con una breve ricerca tra i miei libri.
Antonio B
Dubito anche che se cavia dice una cosa non la conosca, Publiosulpicio abbi un po' più di fiducia nel prossimo
Modificato da - cannigo il 08/02/2004 18:13:42
Modificato da - cannigo il 08/02/2004 18:13:42
citazione:
A parte il fatto che le geometrie non euclidee non sono dipendenti da quella euclidea, (parlando formalmente) la costante dei seni nella geometria iperbolica dovrebbe avere un significato, ma mi pare di ricordare che non fosse qualcosa di così semplice come il diametro del cerchio circoscritto, prova a cercare su google, se esiste li sicuramente lo trovi!
Non so cosa intenda per dipendenza, quello che intendevo spiegare era il fatto che la coerenza della geometria euclidea implica la coerenza della geometria iperbolica (e di quelle ellittica e sferica, aggiungerei). La formulazione risale a Klein e la riporto qui brevemente nelle parole di A. Maida (dalle dispense del sito):
Modello di Klein
Si consideri l’interpretazione
U=
nel quale P è l’insieme dei punti interni ad una conica euclidea, R è l’insieme delle corde, ed Î è la solita relazione di appartenenza. Si verifica facilmente che tale U è un modello (modello di Klein) di GI dentro GE.
Scoperta e soluzione
Ne deriva che, in primo luogo, se GE ha effettivamente un modello lo ha allora anche GI; o che, se si vuole, se GE è coerente lo è allora anche GI. Si scopre dunque che
Se è vera la geometria di Euclide, è allora altrettanto vera la geometria iperbolica.
Saluti
A parte il fatto che le geometrie non euclidee non sono dipendenti da quella euclidea, (parlando formalmente) la costante dei seni nella geometria iperbolica dovrebbe avere un significato, ma mi pare di ricordare che non fosse qualcosa di così semplice come il diametro del cerchio circoscritto, prova a cercare su google, se esiste li sicuramente lo trovi!
Ho capito cosa intendi dire e cioè che le geometrie non euclidee non possono prescindere da quella euclidea (ovviamente non è vero il contrario)... sono d'accordissimo
Modificato da - cannigo il 07/02/2004 17:29:30
Modificato da - cannigo il 07/02/2004 17:29:30
Mi sono sbalgiato il topic è "Geometrie non euclidee"
La bse non so chi l'ha inventata ma se la bse comprende la bsp allora chi ha inventato la bse ha inventato anche la bsp, i democristiani centrano sempre
La bse non so chi l'ha inventata ma se la bse comprende la bsp allora chi ha inventato la bse ha inventato anche la bsp, i democristiani centrano sempre
citazione:
C'è un topic che mi pare si chiami "geometrie euclidee" l'ho aperto io...e quindi seconde te euclide era democristiano?
Per quanto mi riguarda Euclide poteva anche essere cattolico sedevacantista, la GNE non l'ha inventata lui... e poi non vedo cosa c'entri
C'è un topic che mi pare si chiami "geometrie euclidee" l'ho aperto io...e quindi seconde te euclide era democristiano?
citazione:
Febret, vedo che le mie teorie ti appassionano, come al solito ti sei perso dei topic interessanti, in questa room ce n'è uno che parla di quest'argomento
Come al solito!? Ma io sono appena arrivato
In ogni caso, adesso vedrò di recuperare il topic interessante fra quelli postati, anche se mi eviteresti una fatica indicandomelo tu stesso.
PS: Naturalmente, ribadisco quanto detto sopra, la GNE è contenuta nella GE, ed è un fatto dimostrabile anche intuitivamente. Dire che la geometria iperbolica o ellittica è falsa significa non accettare neppure quella euclidea che poi, e qui estrapolo, significa pari pari dire che non esiste alcuna forma di geometria accettabile
Saluti
Febret, vedo che le mie teorie ti appassionano, come al solito ti sei perso dei topic interessanti, in questa room ce n'è uno che parla di quest'argomento
citazione:
[...]
per quello che riguarda le geometrie non euclidee credo che tu sappia come la vedo: per me è come chiederesi se corre più veloce pippo o topolino:-)
senza polemica e con stima
Come mai?
In fondo le geometrie non euclidee sono contenute completamente nella GE, perciò se è vera l'una devono essere vere anche le altre..
...essendo tu, Cavia, la più grande autorità del forum in campo geometrico, devi sperare che capiti di quà qualcuno più edotto di te in materia e la vedo dura
per quello che riguarda le geometrie non euclidee credo che tu sappia come la vedo: per me è come chiederesi se corre più veloce pippo o topolino:-)
senza polemica e con stima
per quello che riguarda le geometrie non euclidee credo che tu sappia come la vedo: per me è come chiederesi se corre più veloce pippo o topolino:-)
senza polemica e con stima
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