L EQUAZIONE PIU POTENTE
salve a tutti io faccio ingegneria e nella lezione di chimica si è parlato dell equazione differenziale di schrodinger.
vi chiedo:
quali riquisiti matematici ci vogliono per poterla risolvere?
inoltre ha detto il mio prof di chimica che per risolverla sono necessarie ore di calcolo.
ma siccome non è un matematico e nemmeno un fisico vi chiedo se ciò è vero..
Infine vi chiedo la risoluzione
grazie ciao
vi chiedo:
quali riquisiti matematici ci vogliono per poterla risolvere?
inoltre ha detto il mio prof di chimica che per risolverla sono necessarie ore di calcolo.
ma siccome non è un matematico e nemmeno un fisico vi chiedo se ciò è vero..
Infine vi chiedo la risoluzione
grazie ciao
Risposte
PERFETTO GRAZIE ANCHE SE NON HA CAPITO NIENTE DI QUELLO STATE PARLANDO, COME SE FOSSE ARABO ...EFFETTIVAMENTE CON PIù FREQUENTO QUESTO FORUM CON PIU MI RENDO CONTE CHE LE MIE CONOSCENZE MATEMATICHE SONO "INFINITESIME"...E IO CHE FINO A L'ANNO SCORSO MI GALLAVO CON I MIEI AMICI PERCHè NON SAPEVANO RISOLVERE GLI INTEGRALI..QUESTO SITO MI STA VERAMENTE SMONTANDO.... VA BE.....
CIAO CIAO
CIAO CIAO
Braaaaaaaaavo!
di eventuali campi magnetici?
NDR L'equazione di Schrodinger è lineare fintanto che il potenziale incluso nell'Hamiltoniano è lineare, il che non è sempre detto.
Come dice irenze, tale equazione quando è lineare ammette una soluzione fondamentale. Cio è vero in senso assoluto solo se si risolve l'equazione in tutto lo spazio. La soluzione generale non si presenta più qualora si risolvesse l'equazione in un dominio limitato con condizioni al bordo.
Una delle applicazioni più istruttive (a mio avviso) è quella legata all'atomo di idrogeno, che però richiede qualche sofisticatezza come polimoni di legendre e porta via effettivamente almeno un paio d'ore.
Tra le varie curiosità legate a questa equazione vi è la soluzione per energie totali negative che da vita al famoso effetto tunneling (miracoli della meccanica quantistica!).
Un'altro aspetto interessante è l'invarianza rispetto al tempo, ossia, se invertiamo il verso del tempo le soluzioni non cambiano, a patto di invertire anche la direzione di eventuali.... (e qui lascio i puntini di sospensione; vediamo in quanti sanno completare la frase!).
Per quanto riguarda le soluzioni numeriche ci sarebbe veramente un fiume di cose da dire. Diciamo che in realtà anche le soluzioni numeriche non sono per nulla banali, specialmente quando il numero di atomi coinvolti è notevole (intendo nell'ordine di qualche decina).
Come dice irenze, tale equazione quando è lineare ammette una soluzione fondamentale. Cio è vero in senso assoluto solo se si risolve l'equazione in tutto lo spazio. La soluzione generale non si presenta più qualora si risolvesse l'equazione in un dominio limitato con condizioni al bordo.
Una delle applicazioni più istruttive (a mio avviso) è quella legata all'atomo di idrogeno, che però richiede qualche sofisticatezza come polimoni di legendre e porta via effettivamente almeno un paio d'ore.
Tra le varie curiosità legate a questa equazione vi è la soluzione per energie totali negative che da vita al famoso effetto tunneling (miracoli della meccanica quantistica!).
Un'altro aspetto interessante è l'invarianza rispetto al tempo, ossia, se invertiamo il verso del tempo le soluzioni non cambiano, a patto di invertire anche la direzione di eventuali.... (e qui lascio i puntini di sospensione; vediamo in quanti sanno completare la frase!).
Per quanto riguarda le soluzioni numeriche ci sarebbe veramente un fiume di cose da dire. Diciamo che in realtà anche le soluzioni numeriche non sono per nulla banali, specialmente quando il numero di atomi coinvolti è notevole (intendo nell'ordine di qualche decina).
"irenze":
Se non sbaglio l'equazione di Schroedinger è a coefficienti costanti...
Tutte le equazioni lineari a coefficienti costanti $P(D)u=f$ ammettono una soluzione fondamentale, definita però in generale solo come distribuzione (in effetti la soluzione fondamentale $\Phi$ è definita dalla relazione $P(D)\Phi=\delta$, che ha senso solo nel senso delle distribuzioni, quindi non è così strano...).
Grazie ho imparato qualche cosa di nuovo!
Se non sbaglio l'equazione di Schroedinger è a coefficienti costanti...
Tutte le equazioni lineari a coefficienti costanti $P(D)u=f$ ammettono una soluzione fondamentale, definita però in generale solo come distribuzione (in effetti la soluzione fondamentale $\Phi$ è definita dalla relazione $P(D)\Phi=\delta$, che ha senso solo nel senso delle distribuzioni, quindi non è così strano...).
Tutte le equazioni lineari a coefficienti costanti $P(D)u=f$ ammettono una soluzione fondamentale, definita però in generale solo come distribuzione (in effetti la soluzione fondamentale $\Phi$ è definita dalla relazione $P(D)\Phi=\delta$, che ha senso solo nel senso delle distribuzioni, quindi non è così strano...).
"irenze":
Dal momento che l'equazione è lineare, l'esistenza della soluzione fondamentale è garantita (dal teorema di Malgrange-Ehrenpreis).
Grazie per la precisazione! Non conoscevo questo teorema...
In pratica asserisce che tutte le equazioni lineari ammettono una soluzione fondamentale?
Dal momento che l'equazione è lineare, l'esistenza della soluzione fondamentale è garantita (dal teorema di Malgrange-Ehrenpreis).
L'equazione di Schrodinger é una EDP (Equazione alle Derivate Parziali) lineare.
Per questo tipo di equazioni non é possibile fare discorsi molto generali, soprattutto se si parla di risolverle analiticamente. Di solito é possibile risolvere queste equazioni, infatti, solo nel caso di geometrie semplici o studiando il problema in tutto lo spazio...
Una tecnica che si puó usare é quella della separazione delle variabili: per comprendere questa tecnica é sufficiente una buona conoscenza della teoria delle serie di Fourier. (il concetto di problema agli autovalori e di autofunzioni)
Nel caso di problema in tutto lo spazio (quindi senza condizioni al bordo) la tecnica piú usata in genere é quella che fa riferimento alla soluzione fondamentale. Per comprendere questa tecnica é sufficiente conoscere le proprietá della trasformata di Fourier. A dire il vero, peró, non só se esiste una soluzione fondamentale per l'equazione di Schrodinger e se questa é usata... (immagino comunque di si)
Infine nel caso tempo-invariante, con geometrie particolari (o in tutto lo spazio), é possibile, di fatto, ricondurre il problema a una equazione ordinaria.
Esistono, invero, anche altre tecniche: ad esempio si puó tentare di congetturare una soluzione a meno di alcuni parametri e vedere se questa risolve l'equazione... oppure il "mitico" metodo delle caratteristiche che peró, data la natura dell'equazione (Parabolica), vengono fuori complesse...
Non ti posso peró qui accontentare sulla richiesta di risoluzione dell'equazione. Tanto per cominciare perché l'equazione di per se non ha una soluzione, ma potrebbero ammettere soluzione dei particolari __problemi__ per quella equazione: bisogna scegliere un dominio su cui studiare il problema e tutta una serie di condizioni al bordo e iniziali. Poi, non avendo studiato Meccanica Quantistica, non ti saprei neppure portare un caso particolarmente interessante: potrei impostare tranquillamente un problema che non ha nessuna attinenza con la realtá e perdere ore per trovare una soluzione che non ha senso perché sono partito da condizioni al contorno insensate. Infine non é neppure detto che io sia in grado di risolvere il problema!
Per il tempo che si impiega per risolvere questa equazione: dipende tutto dal problema. Tuttavia nel caso di problemi molto semplici se si ha un po' di esperienza con le PDE (ovviamente casi accademici!) penso che in un'ora uno se la cava anche... il problema poi é interpretare la soluzione: infatti le tecniche di cui ho parlato prima risolvono si alcuni problemi, ma si ottengono soluzioni in forma di integrali di convoluzione o di serie di funzioni. Ottenere da li una soluzione "cristiana" é un'impresa. E li si riesce a venirne fuori solo andando a prendere quei 8-9 casi ultrafamosi studiati da illustri Fisici o Matematici e copiando...
La morale é: molto meglio studiare il problema per via numerica!
Per finire alcune soluzioni in forma chiusa (quei casi di cui parlavo prima) si trovano ad esempio sulla Wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schrodingers_equation
Per questo tipo di equazioni non é possibile fare discorsi molto generali, soprattutto se si parla di risolverle analiticamente. Di solito é possibile risolvere queste equazioni, infatti, solo nel caso di geometrie semplici o studiando il problema in tutto lo spazio...
Una tecnica che si puó usare é quella della separazione delle variabili: per comprendere questa tecnica é sufficiente una buona conoscenza della teoria delle serie di Fourier. (il concetto di problema agli autovalori e di autofunzioni)
Nel caso di problema in tutto lo spazio (quindi senza condizioni al bordo) la tecnica piú usata in genere é quella che fa riferimento alla soluzione fondamentale. Per comprendere questa tecnica é sufficiente conoscere le proprietá della trasformata di Fourier. A dire il vero, peró, non só se esiste una soluzione fondamentale per l'equazione di Schrodinger e se questa é usata... (immagino comunque di si)
Infine nel caso tempo-invariante, con geometrie particolari (o in tutto lo spazio), é possibile, di fatto, ricondurre il problema a una equazione ordinaria.
Esistono, invero, anche altre tecniche: ad esempio si puó tentare di congetturare una soluzione a meno di alcuni parametri e vedere se questa risolve l'equazione... oppure il "mitico" metodo delle caratteristiche che peró, data la natura dell'equazione (Parabolica), vengono fuori complesse...
Non ti posso peró qui accontentare sulla richiesta di risoluzione dell'equazione. Tanto per cominciare perché l'equazione di per se non ha una soluzione, ma potrebbero ammettere soluzione dei particolari __problemi__ per quella equazione: bisogna scegliere un dominio su cui studiare il problema e tutta una serie di condizioni al bordo e iniziali. Poi, non avendo studiato Meccanica Quantistica, non ti saprei neppure portare un caso particolarmente interessante: potrei impostare tranquillamente un problema che non ha nessuna attinenza con la realtá e perdere ore per trovare una soluzione che non ha senso perché sono partito da condizioni al contorno insensate. Infine non é neppure detto che io sia in grado di risolvere il problema!
Per il tempo che si impiega per risolvere questa equazione: dipende tutto dal problema. Tuttavia nel caso di problemi molto semplici se si ha un po' di esperienza con le PDE (ovviamente casi accademici!) penso che in un'ora uno se la cava anche... il problema poi é interpretare la soluzione: infatti le tecniche di cui ho parlato prima risolvono si alcuni problemi, ma si ottengono soluzioni in forma di integrali di convoluzione o di serie di funzioni. Ottenere da li una soluzione "cristiana" é un'impresa. E li si riesce a venirne fuori solo andando a prendere quei 8-9 casi ultrafamosi studiati da illustri Fisici o Matematici e copiando...
La morale é: molto meglio studiare il problema per via numerica!
Per finire alcune soluzioni in forma chiusa (quei casi di cui parlavo prima) si trovano ad esempio sulla Wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schrodingers_equation
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