Inventare assiomi
Buon giorno, mi sono iscritto per togliermi un dubbio che oggi mi frulla in testa.
se io dicessi per due punti passano infinite rette (non curve ma rette) e sulla base di questo assioma costruissi una matematica coerente con l'assioma stesso starei facendo comunque della matematica magari non una matematica sfruttabile dalle altre scienze ma pur sempre della matematica giusto?
Seconda domanda, una matematica che non puo' essere sfruttata dalle altre scienze sarebbe utile o inutile alla matematica stessa?
se io dicessi per due punti passano infinite rette (non curve ma rette) e sulla base di questo assioma costruissi una matematica coerente con l'assioma stesso starei facendo comunque della matematica magari non una matematica sfruttabile dalle altre scienze ma pur sempre della matematica giusto?
Seconda domanda, una matematica che non puo' essere sfruttata dalle altre scienze sarebbe utile o inutile alla matematica stessa?
Risposte
"giuliofis":
Ma è un'ottima base didattica per introdurre al pensiero matematico, non trovi?
Io penso che il più grande limite del modo in cui viene studiato è che spesso sembra che si sia preso il libro di euclide e lo si stia sfogliando. Quando nei secoli successivi si sono trovate straordinarie dimostrazioni alternative. Inoltre trovo che sembri che i matematici passino il tempo a costruire costruzioni geometriche improbabili. Euclide presenta un prodotto finito mentre manca il percorso per arrivarci che è molto più bello. Vi sarebbe poi da considerare che Euclide usa poco l'area per dimostrare le cose.
Inoltre, la geometria proiettiva sintetica (sia finita che infinita) è molto più divertente ed educativa secondo me
. E perché non quelle sferiche e iperboliche (proiettive e non).Tra l'altro io ho fatto la geometria sintetica all'università e devo dire che ha tutto un altro sapore rispetto a come si fa alle superiori (o almeno come la avevo percepita io).
Certo, per quello è necessario. Ma io mi accontentavo di mostrare le trasformazioni e imparare a lavorarci sopra.
"vict85":
Non servono i gruppi per parlare di trasformazioni, e possono essere le trasformazioni ad introdurre i gruppi (come è stato storicamente).
Per dimostrare l'equivalenza tra impostazione assiomatica e studio degli invarianti medianti gruppi di trasformazioni si... forse non stiamo parlando della stessa cosa...
"vict85":
io sinceramente penso sia molto sopravvalutata la geometria sintetica.
Ma è un'ottima base didattica per introdurre al pensiero matematico, non trovi?
Non servono i gruppi per parlare di trasformazioni, e possono essere le trasformazioni ad introdurre i gruppi (come è stato storicamente).
"vict85":
Non so, io sinceramente penso sia molto sopravvalutata la geometria sintetica. Avere una buona idea delle trasformazioni geometriche sarebbe inoltre molto utile per approcciare analisi con la corretta mentalità, ma viene dedicato meno tempo che ad euclide. Comunque con metodi analitici intendo la geometria analitica che si studia alle superiori, migliorata poi all'università usando i vettori. Non proprio bellissima ma ha vantaggi computazionali innegabili.
Capito... guarda mi trovi d'accordo sulla tua prima frase... Per spiegarti quello che intedevo devo precisare che mi riferivo allo studio della geometria nelle scuole superiori.. nel senso che al liceo secondo me non è possibile usare un approccio nel senso di Klein, perchè ciò richiederebbe di riformare completamente i programmi e quindi fare tantissima algebra preparatoria... sono richieste molte nozioni di teoria dei gruppi anche avanzate...
Forse all'università è un pò trascurata questa cosa... io ho potuto studiare queste cose (in minima parte) grazie ad un esame a scelta...
"Zilpha":
[quote="vict85"]
X Zilpha: Beh, in realtà per soppiantarla sono bastati i metodi analitici e trigonometrici. A loro volta soppiantati in parte da quelli vettoriali.
Che intendi per metodi analitici? io purtroppo conosco solo quello da me citato perchè è stato argomento di tesi... ed è abbastanza faticoso... in ogni caso io mi terrei i nostri cari assiomi, almeno da un punto di vista didattico...[/quote]
Non so, io sinceramente penso sia molto sopravvalutata la geometria sintetica. Avere una buona idea delle trasformazioni geometriche sarebbe inoltre molto utile per approcciare analisi con la corretta mentalità, ma viene dedicato meno tempo che ad euclide. Comunque con metodi analitici intendo la geometria analitica che si studia alle superiori, migliorata poi all'università usando i vettori. Non proprio bellissima ma ha vantaggi computazionali innegabili.
"vict85":
X Zilpha: Beh, in realtà per soppiantarla sono bastati i metodi analitici e trigonometrici. A loro volta soppiantati in parte da quelli vettoriali.
Che intendi per metodi analitici? io purtroppo conosco solo quello da me citato perchè è stato argomento di tesi... ed è abbastanza faticoso... in ogni caso io mi terrei i nostri cari assiomi, almeno da un punto di vista didattico...
"pirata95":
Wow, quindi la mia domanda non era del tutto senza senso.
Be, se quel ragionamento va bene la domanda che mi verrebbe da fare ora e' perche' la matematica fondata su assiomi "standard" vince sulle altre?
p.s.
non ho capito fino in fondo la tua risposta perche' non sono un matematico, quindi non conosco gli approcci moderni alla geometria
=)
In realtà è molto difficile trovare qualche vantaggio rispetto agli altri approcci. Perde praticamente su tutti i fronti.
X Zilpha: Beh, in realtà per soppiantarla sono bastati i metodi analitici e trigonometrici. A loro volta soppiantati in parte da quelli vettoriali.
L'approccio moderno alla geometria è dovuto a Klein.
La sua idea si basa sulla possibilità di individuare dei gruppi di trasformazioni rispetto alle quali certe proprietà delle figure si conservano; in quest’ottica, ogni geometria si caratterizza proprio come studio delle proprietà invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni individuato. Alla luce di ciò, dopo aver garantito la perfetta equivalenza tra la geometria associata ad un gruppo di trasformazioni e il corrispondente sistema assiomatico-deduttivo, quest’ultimo può essere abbandonato in favore di un’impostazione del primo tipo.
E’ importante osservare che la possibilità di descrivere proprietà matematiche in termini di azione di gruppo costituisce un principio generale su cui impostare l’intera ricerca matematica. Non a caso, infatti, lo studio delle proprietà invarianti per gruppi di trasformazioni ha condotto ad importanti risultati anche in ambito non strettamente geometrico: ad esempio, ha contribuito a reinterpretare la fisica teorica moderna, a partire dall’invarianza delle equazioni di Maxwell per trasformazioni di Lorentz.
Spero di aver sciolto qualche tua perplessità... ho fatto la tesi su queste cose!
La sua idea si basa sulla possibilità di individuare dei gruppi di trasformazioni rispetto alle quali certe proprietà delle figure si conservano; in quest’ottica, ogni geometria si caratterizza proprio come studio delle proprietà invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni individuato. Alla luce di ciò, dopo aver garantito la perfetta equivalenza tra la geometria associata ad un gruppo di trasformazioni e il corrispondente sistema assiomatico-deduttivo, quest’ultimo può essere abbandonato in favore di un’impostazione del primo tipo.
E’ importante osservare che la possibilità di descrivere proprietà matematiche in termini di azione di gruppo costituisce un principio generale su cui impostare l’intera ricerca matematica. Non a caso, infatti, lo studio delle proprietà invarianti per gruppi di trasformazioni ha condotto ad importanti risultati anche in ambito non strettamente geometrico: ad esempio, ha contribuito a reinterpretare la fisica teorica moderna, a partire dall’invarianza delle equazioni di Maxwell per trasformazioni di Lorentz.
Spero di aver sciolto qualche tua perplessità... ho fatto la tesi su queste cose!
Wow, quindi la mia domanda non era del tutto senza senso.
Be, se quel ragionamento va bene la domanda che mi verrebbe da fare ora e' perche' la matematica fondata su assiomi "standard" vince sulle altre?
p.s.
non ho capito fino in fondo la tua risposta perche' non sono un matematico, quindi non conosco gli approcci moderni alla geometria
=)
Be, se quel ragionamento va bene la domanda che mi verrebbe da fare ora e' perche' la matematica fondata su assiomi "standard" vince sulle altre?
p.s.
non ho capito fino in fondo la tua risposta perche' non sono un matematico, quindi non conosco gli approcci moderni alla geometria
=)
Beh, staresti facendo matematica si. Comunque l'approccio assiomatico di questo tipo alla geometria è abbandonato da almeno 60-70 anni. E sono circa 200 anni che si conoscono altri approcci alla geometria, approcci che si sono rivelati molto più efficaci ed espressivi oserei dire.
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