Intuito e ragione: come si produce la matematica?
caro luca, riprendo la nostra discussione sull'intuito in questo topic apposito (vedete il topic olomorfia)
sono pienamente d'accordo con te quando dici che l'intuito può trarmi in inganno, ma... dato ke hanno tentato per secoli di dimostrare il quinto postulato di euclide, se avessimo atteso tale dimostrazione, se euclide non avesse dato... retta
al suo intuito, al giorno d'oggi nn potremmo misurare neppure i terreni.
certo, il postulato sulle parallele è in realtà una parte della definizione di retta, ma la scelta dell'ente matematico da "inventare" è stata indubbiamente dettata da esigenze pratiche, intuitive.
altro problema: una volta finita la dimostrazione, ki mi dà la certezza assoluta di non aver commesso errori? anke controllando e ricontrollando tutto dieci volte? anke john nash potrebbe non accorgersi degli errori della mia dimostrazione, perkè è un uomo. ci accorgiamo dell'errore matematico solo quando ne vediamo le conseguenze: gli incidenti causati dall'applicazione della teoria matematica (o + banalmente, del conto) sbagliata. ad esempio, la stabilità di un circuito ke va calcolata a priori: se sbagliamo il calcolo, lo stereo esplode lo stesso.
a rigore, anche il concetto di correttezza dovrebbe essere codificato in modo razionale come la logica aristotelica, e ti confesso di averlo spesso visto come relativo agli assiomi assunti, come il principio di non contraddizione dello stesso aristotele che distrugge il fatto che "essere e non essere sono la stessa cosa" proposto da parmenide. nessuno dei due ha ragione o torto, possiamo postulare il sistema logico che vogliamo assumendo o negando la non contraddizione.
però, procedendo così, andiamo a ritroso all'infinito.
tornando alla matematica aristotelica, ho notato che tutte le dimostrazioni hanno tutti e soli i seguenti ingredienti:
- il principio di non contraddizione;
- gli assiomi che, in realtà, sono le definizioni degli insiemi e degli enti matematici.
le premesse sono i secondi, le conseguenze sono i primi.
ke ne dici?
a presto, mys
sono pienamente d'accordo con te quando dici che l'intuito può trarmi in inganno, ma... dato ke hanno tentato per secoli di dimostrare il quinto postulato di euclide, se avessimo atteso tale dimostrazione, se euclide non avesse dato... retta
al suo intuito, al giorno d'oggi nn potremmo misurare neppure i terreni. certo, il postulato sulle parallele è in realtà una parte della definizione di retta, ma la scelta dell'ente matematico da "inventare" è stata indubbiamente dettata da esigenze pratiche, intuitive.
altro problema: una volta finita la dimostrazione, ki mi dà la certezza assoluta di non aver commesso errori? anke controllando e ricontrollando tutto dieci volte? anke john nash potrebbe non accorgersi degli errori della mia dimostrazione, perkè è un uomo. ci accorgiamo dell'errore matematico solo quando ne vediamo le conseguenze: gli incidenti causati dall'applicazione della teoria matematica (o + banalmente, del conto) sbagliata. ad esempio, la stabilità di un circuito ke va calcolata a priori: se sbagliamo il calcolo, lo stereo esplode lo stesso.
a rigore, anche il concetto di correttezza dovrebbe essere codificato in modo razionale come la logica aristotelica, e ti confesso di averlo spesso visto come relativo agli assiomi assunti, come il principio di non contraddizione dello stesso aristotele che distrugge il fatto che "essere e non essere sono la stessa cosa" proposto da parmenide. nessuno dei due ha ragione o torto, possiamo postulare il sistema logico che vogliamo assumendo o negando la non contraddizione.
però, procedendo così, andiamo a ritroso all'infinito.
tornando alla matematica aristotelica, ho notato che tutte le dimostrazioni hanno tutti e soli i seguenti ingredienti:
- il principio di non contraddizione;
- gli assiomi che, in realtà, sono le definizioni degli insiemi e degli enti matematici.
le premesse sono i secondi, le conseguenze sono i primi.
ke ne dici?
a presto, mys
Risposte
"Luca.Lussardi":
Sì, troppe parole a svantaggio della comprensione. Io avrò anche difficoltà nel linguaggio come dici tu e infatti non ti capisco.
Meglio poche parole che centrino il problema, piuttosto che scrivere poemi che hanno poco significato.
Non so se i poemi abbiano tanto o poco significato, ma in poche parole la mia proposta è:
se la matematica, come altri linguaggi è proprietà emergente del nostro SNCentrale, proviamo allora a vedere cosa succede se si accetta di escludere il principio di non contraddizione.
La proposta deriva dall’osservazione che il SNC, paradossalmente consuma metabolicamente di più
nella fase del sogno che ha come linguaggio, (non i contenuti), un linguaggio che esclude il
principio di non contraddizione.
Perché sia paradossale mi pare evidente: “dormo per riposare, non per consumare di più rispettto alla veglia”.
Come mai, che significato ha un simile spreco metabolico? Una risposta possibile è che la contraddizione permette percorsi nuovi/diversi nella soluzione di problemi elaborati durante i sogni.
E’ permettere, ai non matematici, di affermare che zero diviso zero, è uno. Così per non contraddizione, per ingenua coerenza, per vedere cosa succede se fosse uno.
Che matematica ne esce?
O, più seriamente, di non essere posseduti dal linguaggio, ma di possederlo mettendolo alla prova con una antichissima risorsa del nostro cervello: la contraddizione.
A margine due osservazioni: patologie del SNC (non solo la discalculia), ma anche professionali
(matematici non ne sono esenti), indicano di “sguincio” che essere posseduti da uno o pochi linguaggi espone a rischio, diciamo, di obbligare la realtà ad essere univoca nella interpretazione.
Reintitolando, senza tesi precostituite ( intuito e ragione), il forum “ma come si produce la matematica?” si aprirebbe allora ad altre discipline, osservazioni, intimità, racconti, vissuti, ipotesi,
l’orizzonte relativo ad una magia musicale quale io reputo siano le matematiche.
Ancora troppe parole! Ma quando linguaggi differenti si incontrano, trascrizione e traduzione pretendono un po’ di tolleranza, suvvia provate a matematizzare “mi lascio trasportare dal profumo di una pasticceria o di quello molto sexy delle strafighe che incontro per strada: lo trovo molto + appagante!!!” di mysterium
Byby
abulafia
Sì, troppe parole a svantaggio della comprensione. Io avrò anche difficoltà nel linguaggio come dici tu e infatti non ti capisco.
Meglio poche parole che centrino il problema, piuttosto che scrivere poemi che hanno poco significato.
Meglio poche parole che centrino il problema, piuttosto che scrivere poemi che hanno poco significato.
abulafia, il tuo post mi sembra un estratto dell' "Ulisse" di Joyce 
"Luca.Lussardi":
Io non ho capito una parola di quello che hai scritto; spero di non essere l'unico.
Non sono un matematico; e non disperare, non sarai l’unico ad avere difficoltà di linguaggio.
I punti caldi sono: pochi matematici analizzano l’oggetto che produce matematica, il nostro cervello. Con la sua storia evolutiva, la sua fisiologia, e ancora più interessante con le sue
illuminanti patologie neurologiche (discalculia … etc). Anche le api usano la trigonometria,
ma con altre reti neuronali, dunque altri cervelli possono produrre altre matematiche.
Luca.Lussardi: “Purtroppo non è possibile dimostrare che la Teoria degli insiemi è esente da contraddizioni, benchè la logica lo sia. Si dimostra che la logica formale del primo ordine (il calcolo dei predicati) è completa e coerente (principio di non contraddizione incluso). Il problema è che la Matematica non è riconducibile alla logica, questo è stato il duro colpo alla scuola di Frege-Hilbert dato da Godel.” Ne esce evidente l’importanza del principio di non contraddizione.
Per ora secondo e ultimo punto caldo: a quale economia risponde il principio di non contraddizione
quando è escluso? Per capirci onda/corpuscolo, entanglement , e in particolare, fuori da ogni considerazione dei contenuti ma solo come codice linguistico, il linguaggio onirico in cui,
appunto, il principio di non contraddizione è escluso .
Pjcohen: Prima visualizzo intuitivamente il problema, e viaggio un po' con la fantasia. Poi mi metto a costruire formalmente la prova, con un dettaglio crescente fino alla perfezione.
Luca.Lussardi:” io mi figuro che una Matematica completa sia troppo ricca per essere esente da contraddizioni. Quindi o rinunciamo a scoprire certe verità molto sottili, oppure rinunciamo alla coerenza, e siccome alla coerenza non possiamo rinunciare, dobbiamo abbandonare per sempre la speranza di una completezza.
E' pur vero che si tratta di un fatto che scoraggia a prima vista, ma la Matematica va avanti, completa e coerente o no che sia. Se in un futuro dovesse uscire una contraddizione certamente ci sarà bisogno di una revisione, ma se la contraddizione veramente fa crollare parte sostanziale della Matematica (come potrebbe accadere), allora è perchè noi non siamo stati in grado di capire cosa stavamo inizialmente richiedendo. “
Le neuroscienze filoevolutive hanno in parte risposto a quale economia risponda il sonno-paradosso -in cui per inciso il nostro SNC consuma più energia che durante la veglia- e parzialmente capito cioè, che il lusso energetico del sognare ha un valore adattativo/filogenetico, per tentare di risolvere fuori del contesto del principio di realtà ( o non contraddizione), problemi intuitivamente sottili, nella speranza di non scoraggiarsi di capire ponendo tutte le domande, anche quelle cotradditorie.
Troppe parole, eh?
abulafia
http://www.mat.uniroma2.it/LMM/BCD/SSIS ... rvelli.htm
Io non ho capito una parola di quello che hai scritto; spero di non essere l'unico.
ciao,
sono nuovo al forum.
per biblioteca scientifica ADELPHI di Wolfgang Pauli è uscito da poco "PSICHE E NATURA".
LA tesi forte è che la matematica non si produce ma si riproduce su base bio/psicoanalitica.
Sono rimasto perplesso, ma anche incuriosito della possibilità di antropizzare un pensiero che si autodefinisce generale.
Per ora riciao
sono nuovo al forum.
per biblioteca scientifica ADELPHI di Wolfgang Pauli è uscito da poco "PSICHE E NATURA".
LA tesi forte è che la matematica non si produce ma si riproduce su base bio/psicoanalitica.
Sono rimasto perplesso, ma anche incuriosito della possibilità di antropizzare un pensiero che si autodefinisce generale.
Per ora riciao
Non sono stato chiaro; intendevo che Euclide era convinto che il famoso quinto postulato dovesse essere un Teorema, poichè riteneva che la geometria euclidea dovesse essere l'unica possibile per leggere il mondo circostante. In questo si sbagliava, e vedendo che non riusciva a dimostrare il postulato delle parallele, lo prese come assioma.
Quello che portò Euclide fuori strada fu proprio il fatto che le rette, i triangoli i cerchi che lui immaginava, secondo lui erano proprio rette, triangoli e cerchi tracciati con carta sul foglio. Invece Euclide da buon assiomatico avrebbe dovuto comprendere che la Matematica è solo un sistema formale astratto, e le verità discendono solo dagli assiomi e da nient'altro. Per carità, possiamo sicuramente perdonare questa minuscola mancanza logica di Euclide, del resto è sostanzialmente il padre di tutti noi matematici, a lui dobbiamo tutto.
Quello che portò Euclide fuori strada fu proprio il fatto che le rette, i triangoli i cerchi che lui immaginava, secondo lui erano proprio rette, triangoli e cerchi tracciati con carta sul foglio. Invece Euclide da buon assiomatico avrebbe dovuto comprendere che la Matematica è solo un sistema formale astratto, e le verità discendono solo dagli assiomi e da nient'altro. Per carità, possiamo sicuramente perdonare questa minuscola mancanza logica di Euclide, del resto è sostanzialmente il padre di tutti noi matematici, a lui dobbiamo tutto.
"Luca.Lussardi":
Nel caso della Geometria euclidea è stato proprio l'intuito a portare "fuori strada" il nostro padre Euclide. Quello che infatti Euclide erroneamente pensava era che la Geometria del mondo che ..........
Ma Euclide non andò affatto fuori strada! Anzi.. fece esattamente ciò che tu dici nel secondo capoverso del tuo post: formulò cinque postulati, reputati indiscutibilmente credibili sia per fiducia che per definizione, e su questi, applicando il metodo dimostrativo rigoroso, pervenne alla ben nota geometria euclidea.
allora sei già monco. ho 24 anni, giacor86, la terza liceo l'ho finita sette anni fa.
lo so ke la mat da soddisfazione, ma non ho la soddisfazione di essere un matematico
lo so ke la mat da soddisfazione, ma non ho la soddisfazione di essere un matematico
si myesterium... ma cosa centra? mi farei tagliare una mano che hai appena finito la 3 liceo. ma anche tutte e 2. la parola ontologia è proprio uan di quelle parole che in 3 ti martella la testa. non stare a farti troppe fisse, la matematica da soddisfazioni tranquillo. non è tutto sto sbatti che credi tu.
"pjcohen":
Questa (sull'indecidibilità della congettura Goldbach) non lo sapevo, Luca. Dove posso trovare qualche informazione?
Puoi partire da Wikipedia (in Italiano), o da MathWorld (in Inglese).
Infine, per completezza, c'è sempre [url=http://www.google.it/search?q=godel&start=0&ie=utf-8&hl=it&oe=utf-8&client=firefox-a&rls=org.mozilla:it:official]Google[/url].
In realtà io sono parecchio felice, non sono uno di quei matematici frustrati come spesso appare dall'opinione pubblica.
Per pjchoen: non so dove tu possa trovare qualcosa, ma il fatto che dicevo è banale: se la congettura di Goldbach fosse indecidibile, non potrebbe essere falsa, altrimenti esisterebbe un controesempio. Ma se io scrivo un controesempio questa è una dimostrazione della falsità, contro il fatto che la dimostrazione non può essere scritta.
Per pjchoen: non so dove tu possa trovare qualcosa, ma il fatto che dicevo è banale: se la congettura di Goldbach fosse indecidibile, non potrebbe essere falsa, altrimenti esisterebbe un controesempio. Ma se io scrivo un controesempio questa è una dimostrazione della falsità, contro il fatto che la dimostrazione non può essere scritta.
repetita juvant: 
scusate il bis del msg 
scusate il bis del msg
x giacor86: parmenide diceva che ciò a cui possiamo pensare è l'essere, ciò a cui nn possiamo pensare è il non essere. siccome noi possiamo pensare al non essere, il non essere è l'essere, dunque, essere e non essere coincidono.
x tutti: mamma mia, vi confesso ke, +ttosto di sforzarmi di trovare un valore ontologico alla matematica, mi lascio trasportare dal profumo di una pasticceria o di quello molto sexy delle strafighe che incontro per strada: lo trovo molto + appagante!!!
infatti bolyai padre raccomandò al figlio trentenne di non studiare le geometrie non euclidee, dicendogli che tale studio lo avrebbero privato della sua felicità.
allora i matematici sono coscienti di essere infelici e non possono fare a meno della loro infelicità?
bene, allora, prima che sia troppo tardi, mi dileguo...
voi ke dite?
x tutti: mamma mia, vi confesso ke, +ttosto di sforzarmi di trovare un valore ontologico alla matematica, mi lascio trasportare dal profumo di una pasticceria o di quello molto sexy delle strafighe che incontro per strada: lo trovo molto + appagante!!!
infatti bolyai padre raccomandò al figlio trentenne di non studiare le geometrie non euclidee, dicendogli che tale studio lo avrebbero privato della sua felicità.
allora i matematici sono coscienti di essere infelici e non possono fare a meno della loro infelicità?
bene, allora, prima che sia troppo tardi, mi dileguo...
voi ke dite?
Intuito e ragione ...
Io non ci vedo contraddizione, purché ciascuno stia al proprio posto.
L'intuito non darà mai una dimostrazione e non è infallibile (altrimenti potrebbe dimostrare) anzi, talvolta fa prendere cantonate notevoli.
Eppure, non ci si può rinunciare, nonostante tutti questi handicapp, perché è estremamente potente, avendo come unico limite la fantasia e l'immaginazione.
Spesso un risultato se non fosse stato intuito prima non sarebbe stato dimostrato succesivamente.
Io non ci vedo contraddizione, purché ciascuno stia al proprio posto.
L'intuito non darà mai una dimostrazione e non è infallibile (altrimenti potrebbe dimostrare) anzi, talvolta fa prendere cantonate notevoli.
Eppure, non ci si può rinunciare, nonostante tutti questi handicapp, perché è estremamente potente, avendo come unico limite la fantasia e l'immaginazione.
Spesso un risultato se non fosse stato intuito prima non sarebbe stato dimostrato succesivamente.
Questa (sull'indecidibilità della congettura Goldbach) non lo sapevo, Luca. Dove posso trovare qualche informazione?
Sì, anche se va precisato che una via di salvezza per certe proposizioni c'è; per esempio se si dimostrasse che la Congettura di Goldbach fosse indecidibile, allora dovrebbe essere per forza vera. Questo fatto è curioso e molto particolare: noi non possiamo scrivere una dimostrazione di una proposizione che però sappiamo essere certamente vera.
Purtroppo non si può aver tutto, e ritengo che i Teoremi di Godel siano molto "naturali", per quanto sconfortanti: io mi figuro che una Matematica completa sia troppo ricca per essere esente da contraddizioni. Quindi o rinunciamo a scoprire certe verità molto sottili, oppure rinunciamo alla coerenza, e siccome alla coerenza non possiamo rinunciare, dobbiamo abbandonare per sempre la speranza di una completezza.
E' pur vero che si tratta di un fatto che scoraggia a prima vista, ma la Matematica va avanti, completa e coerente o no che sia. Se in un futuro dovesse uscire una contraddizione certamente ci sarà bisogno di una revisione, ma se la contraddizione veramente fa crollare parte sostanziale della Matematica (come potrebbe accadere), allora è perchè noi non siamo stati in grado di capire cosa stavamo inizialmente richiedendo.
Purtroppo non si può aver tutto, e ritengo che i Teoremi di Godel siano molto "naturali", per quanto sconfortanti: io mi figuro che una Matematica completa sia troppo ricca per essere esente da contraddizioni. Quindi o rinunciamo a scoprire certe verità molto sottili, oppure rinunciamo alla coerenza, e siccome alla coerenza non possiamo rinunciare, dobbiamo abbandonare per sempre la speranza di una completezza.
E' pur vero che si tratta di un fatto che scoraggia a prima vista, ma la Matematica va avanti, completa e coerente o no che sia. Se in un futuro dovesse uscire una contraddizione certamente ci sarà bisogno di una revisione, ma se la contraddizione veramente fa crollare parte sostanziale della Matematica (come potrebbe accadere), allora è perchè noi non siamo stati in grado di capire cosa stavamo inizialmente richiedendo.
Io invece trovo sconfortanti i limiti della logica formale evidenziati da godel. Il suo lavoro insinua il dubbio, e paventa l'ipotesi che esistano problemi matematici che non potremo MAI risolvere. E' bene notare che nessuno hai mai dimostrato che questo è vero, ma appunto l'opera di godel indica che questa ipotesi potrebbe benissimo realizzarsi. In teoria degli insiemi è stato fatto un gran lavoro per tentare di decidere se l'ipotesi del continuo è vera o falsa, tentando di aggiungere nuovi assiomi. Per me è sconfortante la possibilità di non poter sapere mai se è vera oppure no.
Godel ha dimostrato che la Matematica non segue puramente dalla Logica, ma è qualcosa di più, c'è un qualcosa di più nella Matematica che nella pura Logica formale non c'è. Questo secondo me è già affascinante di per se, che la Matematica riconosca e dichiari apertamente, con i suoi stessi strumenti, i propri limiti.
beh mysterium perchè? alla fine la matematica non è che ci perde molto. perchè perde fascino? dopotutto è un sistema formale e come ogni sistema formale deve sottostare ai teoremi di godel.. però fissati gli assiomi iniziali, chi la ferma più? (mi rispieghi un secondo la storia di aristotele plz che mi sono perso fra i non essere e le contraddizioni)
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