In che ordine studiare gli argomenti della matematica?
Siccome sto iniziando a studiare matematica da autodidatta, sarei libero di scegliere l'ordine degli argomenti. Ho frequentato un liceo scientifico e non devo partire proprio da zero. Avevo pensato di seguire l'ordine in cui gli argomenti vengono presentati in un corso di laurea, ed ho cercato vari pareri per decidere quali fossero i migliori libri di algebra lineare e analisi da autodidatti (alla fine ho preso l'Abate per geometria e il Pagani-Salsa di analisi). Però iniziando a studiare, ogni volta mi verrebbe la curiosità di approfondire gli argomenti che vengono trattati per primi, ma che vengono poco approfonditi, come la logica matematica, la teoria degli insiemi e l'algebra. Non è che approfondirli mi sia proprio indispensabile per capire il resto del contenuto di quei libri, però la curiosità rimane, la curiosità di capire le basi della matematica, forse questo è dovuto al mio preconcetto che la matematica vada studiata partendo dagli assiomi e poi costruendoci sopra tutto il resto. Solo che essendo un mio preconcetto, non so se in fin dei conti rispecchi il miglior modo di approcciare la materia, voi cosa mi consigliate di fare?
Risposte
Esistono in realtà applicazioni dell'analisi anche in campi abbastanza lontani ma queste cose si incontrano dopo e, in alcuni casi, sono cose che ti devi anche proprio mettere a cercare. Trovo non ci sia ragione di demonizzare un settore rispetto ad un altro. Intendevo solo dire che in uno studio autonomo si può rispettare un po' meno i dettami generalmente usati per il curriculum triennale perché sono stati tarati rispetto ad un particolare meccanismo di apprendimento.
Sono d'accordo con vict85. Da parte mia, studente di matematica, analisi 1 l'ho dato dopo Geometria1 (algebra lineare) e Geometria2 (topologia). Credo che molte cose servano all'analisi, ma l'analisi serva principalmente a se stessa, e a tutte le sue derivazioni ed applicazioni.
"Samy21":
Diciamo che algebra e algebra lineare (che da me è inserita nel corso di geometria) hanno dei concetti che vengono ripresi in altre materie, però l'importanza che ricopre l'analisi è unica.
Questo penso lo potranno confermare tutti
Non direi proprio. Come potresti pensare di fare analisi, quella dal secondo anno in poi, senza aver studiato bene algebra lineare? Specialmente da quando cominci a studiare analisi funzionale, spazi di Banach e di Hilbert . Comunque non voglio aprire un flame su cosa sia più importante tra i vari settori quindi mi limito a dire che tutti prendono un po' da tutti. L'importanza dell'analisi in vari altri settori è comunque quasi del tutto limitata a questioni storiche o del tutto assente. Per esempio la topologia algebrica non ha poi tanti legami con l'analisi a parte questioni puramente storiche ormai pressoché dimenticate. La teoria dei gruppi o delle categorie sono praticamente indipendenti anche se l'analisi li utilizza qua e là (il contrario avviene più raramente e molti gruppisti non incontreranno mai un concetto di analisi ma non è del tutto assente). L'algebra lineare prende e dà, anche se in generale i concetti di analisi nell'algebra lineare sono stati creati perché servivano all'analisi (o alla geometria differenziale). La geometria differenziale e il calcolo delle probabilità sono molto più connesse all'analisi e prendono e danno. Stessa cosa per la topologia, è difficile dire chi prende e dà di più tra i due (anche se la topologia è molto più usata al di fuori dell'analisi di quanto lo sia l'analisi). Potrei andare avanti ma la vedo un po' inutile. Non penso che ci sarebbero particolari problemi a lasciarsi analisi indietro. Derivate, integrali e convergenza di serie sono usate principalmente dall'analisi e dalle materie a lei molto connesse come la probabilità e l'analisi numerica. Mentre tutti si calcolano sistemi lineari.
grazie sei stato molto chiaro! ora posso studiare senza preoccuparmi di partire dagli assiomi 
@Samy21: ma io la studio per piacere, se la studiassi per i risvolti pratici, mi sarei accontentato dei corsi del politecnico. Comunque sia ho letto da qualche parte che anche teorie molto astratte o nate per pura speculazione intellettuale o per "svago" hanno poi trovato applicazioni pratiche molto importanti!
@Samy21: ma io la studio per piacere, se la studiassi per i risvolti pratici, mi sarei accontentato dei corsi del politecnico. Comunque sia ho letto da qualche parte che anche teorie molto astratte o nate per pura speculazione intellettuale o per "svago" hanno poi trovato applicazioni pratiche molto importanti!
Quoto vic85, ti conviene studiare prima algebra, analisi e se proprio vuoi strafare, anche geometria (la parte di algebra lineare)... Per quanto mi riguarda la materia più importante di tutte è analisi, e lo capirai alla lunga.. Diciamo che algebra e algebra lineare (che da me è inserita nel corso di geometria) hanno dei concetti che vengono ripresi in altre materie, però l'importanza che ricopre l'analisi è unica.
Questo penso lo potranno confermare tutti
Questo penso lo potranno confermare tutti
Beh, dubito che ci sarà una rivoluzione tanto grande in teoria degli insiemi tale da cambiare tutto. Ma se un diverso sistema di assiomi diventasse comune direi che, purché sia equivalente a quello attuale o ne sia una ‘buona’ estensione, non cambierebbe quasi nulla. In fondo NGB assomiglia a ZFC sono da una vista esterna ma dal punto di vista di un logico sono molto diversi (e in realtà esistono persino assiomatizzazioni diverse ma equivalenti di NGB, una per lettera 
). Per intenderci, un analista difficilmente avrà particolari problemi dalla scelta tra NGB e ZFC al massimo ce l'avrà dall'accettare o meno il C (l'assioma della scelta). Il fatto è che da un punto di vista naif tutte le teorie degli insiemi appaiono più o meno uguali (tranne per l'assioma della scelta).
In generale in matematica non si butta nulla. Quindi finché non si trovano grosse falle non c'è rischio di effetto domino, e anche in quel caso si cercherebbe di risolvere la falla per non buttare ciò che ci hai costruito sopra. Come tra l'altro si è fatto in geometria sintetica. Detto questo l'interconnessione tra le varie aree della matematica è molto forte, specialmente quando vai avanti. Al massimo le rivoluzioni sono nuove teorie, nuovi metodi per guardare vecchi oggetti o generalizzazioni varie. Nulla di pericoloso insomma.
In ogni caso, ‘analisi matematica’ è un termine fin troppo generico ormai, tra l'altro non penso che ci siano più studiosi di analisi reale in una variabile. Rivoluzioni in alcuni ambiti, anche lontani come l'algebra omologica o la teoria dei gruppi, possono creare rivoluzioni anche in analisi matematica (in genere dopo qualche decina d'anni). Questo però in genere è legato al fatto che un metodo nuovo e potente può spesso, con eventualmente qualche adattamento, essere usato efficacemente anche in altri ambiti. Ogni oggetto matematico ha diverse sfaccettature e non esiste, in genere, uno strumento esclusivo per studiarlo (anche se a volte ne esistono di preferenziali).
). Per intenderci, un analista difficilmente avrà particolari problemi dalla scelta tra NGB e ZFC al massimo ce l'avrà dall'accettare o meno il C (l'assioma della scelta). Il fatto è che da un punto di vista naif tutte le teorie degli insiemi appaiono più o meno uguali (tranne per l'assioma della scelta).In generale in matematica non si butta nulla. Quindi finché non si trovano grosse falle non c'è rischio di effetto domino, e anche in quel caso si cercherebbe di risolvere la falla per non buttare ciò che ci hai costruito sopra. Come tra l'altro si è fatto in geometria sintetica. Detto questo l'interconnessione tra le varie aree della matematica è molto forte, specialmente quando vai avanti. Al massimo le rivoluzioni sono nuove teorie, nuovi metodi per guardare vecchi oggetti o generalizzazioni varie. Nulla di pericoloso insomma.
In ogni caso, ‘analisi matematica’ è un termine fin troppo generico ormai, tra l'altro non penso che ci siano più studiosi di analisi reale in una variabile. Rivoluzioni in alcuni ambiti, anche lontani come l'algebra omologica o la teoria dei gruppi, possono creare rivoluzioni anche in analisi matematica (in genere dopo qualche decina d'anni). Questo però in genere è legato al fatto che un metodo nuovo e potente può spesso, con eventualmente qualche adattamento, essere usato efficacemente anche in altri ambiti. Ogni oggetto matematico ha diverse sfaccettature e non esiste, in genere, uno strumento esclusivo per studiarlo (anche se a volte ne esistono di preferenziali).
Grazie della risposta, mi hai chiarito un po' le idee! Ma quindi le varie branche possono essere considerate anche in modo più indipendente o sono intimamente e indissolubilmente collegate alle altre? Per fare un esempio (una scemenza, ma tanto per capire la connessione): mettiamo che ci sia una rivoluzione nella teoria degli insiemi, cosa succederebbe all'analisi matematica? sarebbe tutta da buttare e da ricostruire?
Oh, dimenticavo. L'analisi si fa da subito anche perché comprende numerosi metodi di calcolo. La stessa cosa vale anche per l'algebra lineare. Altre materie invece non ne aggiungono o ne aggiungono di molto più teorici e quindi non c'é bisogno di darti tempo per esercitarti. Se le cose te le fai da solo, e quindi il tempo non è il tuo problema, puoi anche ignorare questo aspetto e metterci 3 anni per imparare a calcolarti un integrale.
La logica e la teoria degli insiemi da un punto di vista approfondito sono, il più delle volte, piuttosto inutili per quasi tutti i matematici.
Per intenderci in “Handbook of Cathegorial algebra” nell'introduzione trovi scritto:
Quindi se un libro che HA bisogno di trattare questi aspetti li tralascia il più possibile e comunque non li tratta in modo troppo ‘da logici’, cosa dovrebbero fare i geometri e gli algebristi che raramente incontrano aspetti di teoria degli insiemi? Il fatto è che il più delle volte si lavora con insiemi sufficientemente belli da non aver problemi teorici oppure si usano teorie che risolvono il problema in qualche modo. Tieni comunque conto che la teoria della categorie, per esempio, è sufficientemente indipendente dalla scelta della teoria degli insiemi scelta, specialmente quando la usi. Detto questo, similmente a Borseaux, e vari altri, prediligo la teoria di Gödel-Bernays (ogni tanto ci infilano dentro anche Von Neumann e infatti viene segnata spesso come NGB).
La conoscenza degli assiomi può avere la sua utilità anche se in genere è sufficiente conoscere l'assioma della scelta e alcuni equivalenti (lemma di Zorn per esempio).
Per quanto riguarda il percorso che fa un matematico all'interno della triennale non è basato totalmente su un qualche ordine ‘costruttivo’, anche perché è da almeno metà del secolo scorso che si è compreso che non esiste un punto di inizio privilegiato. La logica, per esempio, può essere ‘definita da un punto di vista algebrico’ oppure puoi definirla a partire dagli insiemi. O comunque puoi lavorarci dando questi concetti, in genere successivi, come se fossero scontati. Nella maggior parte dei casi quando una teoria ne usa un'altra evita di occuparsi di questioni costitutive dell'altra fino a quando non ne è obbligata. L'analisi, per esempio, usa la teoria degli insiemi molto più di un algebrista o di un geometria. Uno studioso di algebra commutativa, in genere, accetta e usa il lemma di Zorn, anche perché gran parte della teoria la usa. Uno che studia i gruppi, in genere, non ha bisogno della teoria degli insiemi (e infatti esistono definizioni di gruppi che ignorano la presenza degli elementi).
Detto questo uno che vuole studiare analisi dovrebbe prima fare un corso serio di teoria (naif) degli insiemi, seguito da uno serio di topologia (o almeno sugli spazi metrici) e uno di algebra astratta (per lo meno anelli e campi numerici) e lineare. Inoltre dovrebbe vedere concetti come i reticoli (che in genere non vede) e la teoria degli ultrafiltri (o alternativamente quella delle reti). Alcuni libri, come il Rudin o il Pagani Salsa, lo fanno parzialmente. In parte tutto ciò dipende dal fatto che molte teorie sono relativamente indipendenti ma l'una può spesso fornire motivazioni ed esempi all'altra. L'analisi, per ragioni storiche e per la sua importanza, viene quindi fatta in modo relativamente naif sin da subito e si affina il suo studio con il tempo. Inoltre è per certi versi più intuitiva della topologia e dell'algebra astratta. Io personalmente non condivido troppo questa trattazione molto graduale, ma la trovo comprensibile dato che alcuni licei non fanno analisi. Se hai fatto lo scientifico e ti senti temerario potresti andare a vedere se capisci il baby rudin eventualmente integrando con il munkres di topologia. Tutto sommato potresti partire dall'algebra lineare (o meglio dai campi numerici) ma senza strafare.
Direi che ti manca algebra di Herstein per completare l'elenco dei manuali da cui iniziare. La mia opinione è, in definitiva, che se ti interessa approfondire un aspetto dell'argomento X puoi benissimo farlo.
Per intenderci in “Handbook of Cathegorial algebra” nell'introduzione trovi scritto:
Any book on category theory must say a word on the non-obvious
problems concerned with the logical foundations of the theory. We
mention both the axiom system of classes and that of universes, and later
we freely use the presentation which fits best the problem we study. We
chose not to dwell on foundational questions as long as the development
of the theory does not really depend on them.
Quindi se un libro che HA bisogno di trattare questi aspetti li tralascia il più possibile e comunque non li tratta in modo troppo ‘da logici’, cosa dovrebbero fare i geometri e gli algebristi che raramente incontrano aspetti di teoria degli insiemi? Il fatto è che il più delle volte si lavora con insiemi sufficientemente belli da non aver problemi teorici oppure si usano teorie che risolvono il problema in qualche modo. Tieni comunque conto che la teoria della categorie, per esempio, è sufficientemente indipendente dalla scelta della teoria degli insiemi scelta, specialmente quando la usi. Detto questo, similmente a Borseaux, e vari altri, prediligo la teoria di Gödel-Bernays (ogni tanto ci infilano dentro anche Von Neumann e infatti viene segnata spesso come NGB).
La conoscenza degli assiomi può avere la sua utilità anche se in genere è sufficiente conoscere l'assioma della scelta e alcuni equivalenti (lemma di Zorn per esempio).
Per quanto riguarda il percorso che fa un matematico all'interno della triennale non è basato totalmente su un qualche ordine ‘costruttivo’, anche perché è da almeno metà del secolo scorso che si è compreso che non esiste un punto di inizio privilegiato. La logica, per esempio, può essere ‘definita da un punto di vista algebrico’ oppure puoi definirla a partire dagli insiemi. O comunque puoi lavorarci dando questi concetti, in genere successivi, come se fossero scontati. Nella maggior parte dei casi quando una teoria ne usa un'altra evita di occuparsi di questioni costitutive dell'altra fino a quando non ne è obbligata. L'analisi, per esempio, usa la teoria degli insiemi molto più di un algebrista o di un geometria. Uno studioso di algebra commutativa, in genere, accetta e usa il lemma di Zorn, anche perché gran parte della teoria la usa. Uno che studia i gruppi, in genere, non ha bisogno della teoria degli insiemi (e infatti esistono definizioni di gruppi che ignorano la presenza degli elementi).
Detto questo uno che vuole studiare analisi dovrebbe prima fare un corso serio di teoria (naif) degli insiemi, seguito da uno serio di topologia (o almeno sugli spazi metrici) e uno di algebra astratta (per lo meno anelli e campi numerici) e lineare. Inoltre dovrebbe vedere concetti come i reticoli (che in genere non vede) e la teoria degli ultrafiltri (o alternativamente quella delle reti). Alcuni libri, come il Rudin o il Pagani Salsa, lo fanno parzialmente. In parte tutto ciò dipende dal fatto che molte teorie sono relativamente indipendenti ma l'una può spesso fornire motivazioni ed esempi all'altra. L'analisi, per ragioni storiche e per la sua importanza, viene quindi fatta in modo relativamente naif sin da subito e si affina il suo studio con il tempo. Inoltre è per certi versi più intuitiva della topologia e dell'algebra astratta. Io personalmente non condivido troppo questa trattazione molto graduale, ma la trovo comprensibile dato che alcuni licei non fanno analisi. Se hai fatto lo scientifico e ti senti temerario potresti andare a vedere se capisci il baby rudin
eventualmente integrando con il munkres di topologia. Tutto sommato potresti partire dall'algebra lineare (o meglio dai campi numerici) ma senza strafare.Direi che ti manca algebra di Herstein per completare l'elenco dei manuali da cui iniziare. La mia opinione è, in definitiva, che se ti interessa approfondire un aspetto dell'argomento X puoi benissimo farlo.
scusa mi sono espresso male, l''ho scritto solo perchè la maggior parte delle domande simili alla mia erano poste da chi non aveva finito le superiori e quindi necessitava di un percorso diverso. sono consapevole che quello che ho studiato finora di matematica mi è stato presentato in modo intuitivo e non rigoroso e soprattutto dando per scontate le basi, è proprio per questo che mi piacerebbe partire dalle fondamenta e costruire il ragionamento mattone dopo mattone!
Il prossimo anno passo a fisica, però comunque vorrei studiare la matematica per conto mio in modo indipendente, perchè mi piace!
Il fatto principale è che non so se seguire un approccio storico o assiomatico... o un approccio diverso ancora. Però anche volendo sarebbe difficile seguire un approccio autonomo perchè molti libri di testo sono fatti in modo da seguire l'ordine dei corsi universitari.
grazie, allora continuerò a studiare sul Salsa e prenderò anche l'altro come apprfondimento!
ps: ah comunque ho fatto un anno di ingegneria e rimpiango quasi il rigore della mia professoressa del liceo
sono consapevole che quello che ho studiato finora di matematica mi è stato presentato in modo intuitivo e non rigoroso e soprattutto dando per scontate le basi, è proprio per questo che mi piacerebbe partire dalle fondamenta e costruire il ragionamento mattone dopo mattone!Il prossimo anno passo a fisica, però comunque vorrei studiare la matematica per conto mio in modo indipendente, perchè mi piace!
Il fatto principale è che non so se seguire un approccio storico o assiomatico... o un approccio diverso ancora. Però anche volendo sarebbe difficile seguire un approccio autonomo perchè molti libri di testo sono fatti in modo da seguire l'ordine dei corsi universitari.
grazie, allora continuerò a studiare sul Salsa e prenderò anche l'altro come apprfondimento!
ps: ah comunque ho fatto un anno di ingegneria e rimpiango quasi il rigore della mia professoressa del liceo
Salve Lanus,
se proprio lo vuoi sapere la teoria fondazionale della matematica è la teoria degli insiemi (ovviamente ZFC all'inzio, se le def. vengono presentate giustamente non si avranno problemiin seguito a passare alle altre teorie degli insiemi con NGB e altre...), mentre per comprendere il metodo matematico occorre fare la logica matematica..etc..
Ma ti sconsiglio di approfondire alcuni concetti in maniera esagerata perchè, sicuramente, all'inizio non ti serviranno a nulla...
Strano che tu non debba partire da zero, forse a livello analitico ma a livello insiemistico mi sa che dovrai partire per forza da zero, i concetti insiemistici delle scuole superiori sono ridotti all'osso e spiegati malissimo...
Il Pagani Salsa è un buon testo per l'analisi, ti suggerisco di leggere il primo capitolo di logica e di assimilare a livello pratico i concetti lì esposti, approfondisci il tutto con il Giovanni Prodi (consiglio mio personale).
Per algebra e geometria non saprei consigliarti, dipende dal corso universitario che vuoi scegliere..
Cordiali saluti
P.S.= Studiare la matematica, solamente a livello assiomatico è un qualcosa di troppo ampolloso, ciò dovresti farlo dopo aver acquisito una certa padronanza di alcuni concetti e non all'inizio...
se proprio lo vuoi sapere la teoria fondazionale della matematica è la teoria degli insiemi (ovviamente ZFC all'inzio, se le def. vengono presentate giustamente non si avranno problemiin seguito a passare alle altre teorie degli insiemi con NGB e altre...), mentre per comprendere il metodo matematico occorre fare la logica matematica..etc..
Ma ti sconsiglio di approfondire alcuni concetti in maniera esagerata perchè, sicuramente, all'inizio non ti serviranno a nulla...
Strano che tu non debba partire da zero, forse a livello analitico ma a livello insiemistico mi sa che dovrai partire per forza da zero, i concetti insiemistici delle scuole superiori sono ridotti all'osso e spiegati malissimo...
Il Pagani Salsa è un buon testo per l'analisi, ti suggerisco di leggere il primo capitolo di logica e di assimilare a livello pratico i concetti lì esposti, approfondisci il tutto con il Giovanni Prodi (consiglio mio personale).
Per algebra e geometria non saprei consigliarti, dipende dal corso universitario che vuoi scegliere..
Cordiali saluti
P.S.= Studiare la matematica, solamente a livello assiomatico è un qualcosa di troppo ampolloso, ciò dovresti farlo dopo aver acquisito una certa padronanza di alcuni concetti e non all'inizio...
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