Il paradosso del termometro
Lo metto nel forum di matematica perché mi pare la sua collocazione più naturale nonostante possa non apparirlo.
Il paradosso del termometro è questo
Per la misura della temperature esistono diverse scale termometriche.
La scala Celsius e la scala Fahrenheit dividono lo stesso intervallo di temperatura (tra punto di fusione ed ebollizione dell’acqua) rispettivamente in 100 °C e 180 °F.
Sicché risulta che 100 °C = 180 °F da cui segue
1 ° C = 1.8 °F
Che senza dubbio pare essere una uguaglianza
Purtroppo sussiste anche la seguente relazione
1 ° C = 33.8 °F
Ottenuta come semplice conversione tra scale termometriche.
Anche questa pare essere una uguaglianza a tutti gli effetti.
Ma se di due uguaglianza si tratta allora per esse valgono anche le proprietà transitiva e simmetrica e si può scrivere
1.8 ° F = 1 °C = 33.8 °F
Il che è ovviamente impossibile.
Il problema che vorrei sottoporvi è di tipo puramente matematico. Formale. Per favore non spostate il problema sulla fisica.
Per intendersi: quei segni di uguaglianza secondo voi sono formalmente corretti?
Se lo sono allora necessariamente vale 1.8 ° F = 33.8 °F.?
Il paradosso del termometro è questo
Per la misura della temperature esistono diverse scale termometriche.
La scala Celsius e la scala Fahrenheit dividono lo stesso intervallo di temperatura (tra punto di fusione ed ebollizione dell’acqua) rispettivamente in 100 °C e 180 °F.
Sicché risulta che 100 °C = 180 °F da cui segue
1 ° C = 1.8 °F
Che senza dubbio pare essere una uguaglianza
Purtroppo sussiste anche la seguente relazione
1 ° C = 33.8 °F
Ottenuta come semplice conversione tra scale termometriche.
Anche questa pare essere una uguaglianza a tutti gli effetti.
Ma se di due uguaglianza si tratta allora per esse valgono anche le proprietà transitiva e simmetrica e si può scrivere
1.8 ° F = 1 °C = 33.8 °F
Il che è ovviamente impossibile.
Il problema che vorrei sottoporvi è di tipo puramente matematico. Formale. Per favore non spostate il problema sulla fisica.
Per intendersi: quei segni di uguaglianza secondo voi sono formalmente corretti?
Se lo sono allora necessariamente vale 1.8 ° F = 33.8 °F.?
Risposte
Il deserto dei tartari 
"mircoFN":
Se non l'hai letto ti consiglio un libro di Dino Buzzati ..
Quale, di preciso?
"laura.todisco":
A me non sembrava tanto incomprensibile... il numero doveva essere lo stesso su entrambi i termometri... bah, non so più che fare con loro, mi sbagliano anche i test vero/falso... saranno pure artisti, ma dai... confesso che ogni tanto mi chiedo: "ma che ci faccio io qui? A chi servo?" .
Se non l'hai letto ti consiglio un libro di Dino Buzzati ..
"mircoFN":
Forse perché non avevi specificato in quale delle due scale volevi la temperatura suddetta!
A me non sembrava tanto incomprensibile... il numero doveva essere lo stesso su entrambi i termometri... bah, non so più che fare con loro, mi sbagliano anche i test vero/falso... saranno pure artisti, ma dai... confesso che ogni tanto mi chiedo: "ma che ci faccio io qui? A chi servo?"
Se però me ne dovessi andare mi dispiacerebbe lasciarli, perchè a parte i risultati in matematica e fisica... sono dei gran bravi ragazzi.
Forse perché non avevi specificato in quale delle due scale volevi la temperatura suddetta!
Giusto 4 giorni fa ho dato un test in cui avevo inserito questa domanda, alla quale TUTTI mi hanno risposto "NESSUNA" :
21. A quale temperatura un termometro tarato in gradi Celsius segna lo stesso numero di gradi di un termometro tarato in gradi Fahrenheit? (5 punti)
Erano 27 alunni!!!!!!!!!!!!! HO FATTO DOMANDA DI TRASFERIMENTO AHAHAHAAHAH
:21. A quale temperatura un termometro tarato in gradi Celsius segna lo stesso numero di gradi di un termometro tarato in gradi Fahrenheit? (5 punti)
Erano 27 alunni!!!!!!!!!!!!! HO FATTO DOMANDA DI TRASFERIMENTO AHAHAHAAHAH
Confesso che ho qualche problema a seguire il tuo ragionamento. Tuttavia penso che possiamo concordare che è diverso dire che due corpi hanno la stessa temperatura e che due corpi hanno una temperatura che è espressa dallo stesso numero nelle due scale.
Essere uguale in fisica non è proprio la stessa cosa che essere uguale in matematica. Temo che tra le due definizioni di uguale ci sia qualcosa di mezzo che si chiama 'procedimento convenzionale di misura' ma non vorrei che la questione assuma aspetti filosofici...
Sta di fatto che, indipendentemente dalla sezione in cui questo argomento è stato postato, qui si parla di misure di temperatura e non di iperuranio platonico. Almeno così mi era parso.....
ciao
Essere uguale in fisica non è proprio la stessa cosa che essere uguale in matematica. Temo che tra le due definizioni di uguale ci sia qualcosa di mezzo che si chiama 'procedimento convenzionale di misura' ma non vorrei che la questione assuma aspetti filosofici...
Sta di fatto che, indipendentemente dalla sezione in cui questo argomento è stato postato, qui si parla di misure di temperatura e non di iperuranio platonico. Almeno così mi era parso.....
ciao
Grazie a tutti.
Mi scuso preventivamente con coloro ai quali confonderò le idee ma provando da autodidatta è assai probabile che porti sul forum diverse …..bip….
Io avevo affrontato il problema in questo modo (mosso dalla osservazione che 2 °C gradi non è il doppio di 1°C):
è vero che 1°C = 1.8°F
E qui concordo con Giuseppe87 e credo con Fioravante Patrone mentre ho qualche problema a condividere le posizioni di Marco83 e mircoFN non tanto perché errate ma per il fatto che a me pare (ma sono lieto di imparare da chi mi smetisce) che 1°C = 1°F significhi proprio che $Delta1C=Delda1.8F$ (mi pare che sia sempre così per ogni cosa si vada misurando, anche per quelle proprietà della sembianze assolute) ed è per questo motivo che avevo chiesto di non spostare il problema sulla fisica. Insomma non condivido il fatto che una cosa che mi pare vera sia la causa di una cosa falsa. Inoltre la differenza di u.d.m. credo sia inessenziale a riguardo.
Il problema sorge con la seconda uguaglianza (scricchiolii sospetti giungono dalla semplice considerazione che per essa non valgono le consuete proprietà delle uguaglianze che invece valgono per la prima): in particolare nonno Euclide diceva: “se a cose uguali si addizionano cose uguali, le totalità sono uguali”.
Questo è ancora vero ma non se ne può dedurre che ad esempio i loro doppi sono ancora uguali.
A questo punto ho teso a vederne una analogia con l’omotetia dove la stessa figura(sulla cui uguaglianza a se stessa non v’è dubbio) può essere ottenuta da centri di proiezione diversi partendo da unità diverse con coefficienti (misure) diversa ma se i coefficienti raddoppiano le figure non sono più uguali.
Tuttavia se un corpo ha la temperatura di 1°C allora ha la temperatura di 33.8°F sicché in questo senso le temperature sono uguali. Qualcosa di “uguale” c’è. Quel qualcosa ci consente di trasformare tra l’altro le due temperature nella stessa temperatura assoluta. Insomma quella temperatura comunque la si rappresenti è per forza uguale a se stessa.
Allora bisognerà distinguere tra cose uguali e come le si rappresentano. Se non ci si riferisce alla stessa origine succede quello che avviene nell’omotetia e l’uguaglianza perde alcune delle sue proprietà e non è più tale.
Mi scuso preventivamente con coloro ai quali confonderò le idee ma provando da autodidatta è assai probabile che porti sul forum diverse …..bip….
Io avevo affrontato il problema in questo modo (mosso dalla osservazione che 2 °C gradi non è il doppio di 1°C):
è vero che 1°C = 1.8°F
E qui concordo con Giuseppe87 e credo con Fioravante Patrone mentre ho qualche problema a condividere le posizioni di Marco83 e mircoFN non tanto perché errate ma per il fatto che a me pare (ma sono lieto di imparare da chi mi smetisce) che 1°C = 1°F significhi proprio che $Delta1C=Delda1.8F$ (mi pare che sia sempre così per ogni cosa si vada misurando, anche per quelle proprietà della sembianze assolute) ed è per questo motivo che avevo chiesto di non spostare il problema sulla fisica. Insomma non condivido il fatto che una cosa che mi pare vera sia la causa di una cosa falsa. Inoltre la differenza di u.d.m. credo sia inessenziale a riguardo.
Il problema sorge con la seconda uguaglianza (scricchiolii sospetti giungono dalla semplice considerazione che per essa non valgono le consuete proprietà delle uguaglianze che invece valgono per la prima): in particolare nonno Euclide diceva: “se a cose uguali si addizionano cose uguali, le totalità sono uguali”.
Questo è ancora vero ma non se ne può dedurre che ad esempio i loro doppi sono ancora uguali.
A questo punto ho teso a vederne una analogia con l’omotetia dove la stessa figura(sulla cui uguaglianza a se stessa non v’è dubbio) può essere ottenuta da centri di proiezione diversi partendo da unità diverse con coefficienti (misure) diversa ma se i coefficienti raddoppiano le figure non sono più uguali.
Tuttavia se un corpo ha la temperatura di 1°C allora ha la temperatura di 33.8°F sicché in questo senso le temperature sono uguali. Qualcosa di “uguale” c’è. Quel qualcosa ci consente di trasformare tra l’altro le due temperature nella stessa temperatura assoluta. Insomma quella temperatura comunque la si rappresenti è per forza uguale a se stessa.
Allora bisognerà distinguere tra cose uguali e come le si rappresentano. Se non ci si riferisce alla stessa origine succede quello che avviene nell’omotetia e l’uguaglianza perde alcune delle sue proprietà e non è più tale.
In parole povere la tua prima uguaglianza e' sbagliata; dovrebbe essere scritta come $Delta1C=Delta1.8F$, quindi il paradosso da te temuto non si presenta.
Vorrei aggiungere un elemento, diciamo un po' 'fisico', alla rigorosa spiegazione di Fioravante.
La prima uguaglianza si riferisce a un grado inteso come variazione di temperatura. Quindi è vero che la variazione di 1 °C equivale a una variazione di 1.8°F (la scala Celsius è un po' più grossolana, o meglio ha una risoluzione inferiore, di quella Fahrenheit).
La seconda uguaglianza invece si riferisce all'indicazione che darebbero due termometri quando sono posti in contatto con uno stesso corpo che si trova poco al di sopra della condizione di liquefazione dell'acqua (ovvero a pressione atmosferica e a 1°C). In questo caso la differenza numerica è da attribuirsi non solo alla differenza di graduazione ma anche anche alla posizione convenzionale dello zero che è diverso nelle due scale.
ciao
La prima uguaglianza si riferisce a un grado inteso come variazione di temperatura. Quindi è vero che la variazione di 1 °C equivale a una variazione di 1.8°F (la scala Celsius è un po' più grossolana, o meglio ha una risoluzione inferiore, di quella Fahrenheit).
La seconda uguaglianza invece si riferisce all'indicazione che darebbero due termometri quando sono posti in contatto con uno stesso corpo che si trova poco al di sopra della condizione di liquefazione dell'acqua (ovvero a pressione atmosferica e a 1°C). In questo caso la differenza numerica è da attribuirsi non solo alla differenza di graduazione ma anche anche alla posizione convenzionale dello zero che è diverso nelle due scale.
ciao
Calma e gesso...
Una misura è una applicazione(*) $m$ che va da una certa classe $A$ di oggetti in $RR$.
Questa applicazione (che assomiglia tanto alle funzioni di utilità degli economisti) traduce una relazione $\succ$ su $A$ "in numeri".
Parliamo di temperatura.
Ovviamente $a \succ b$ vuol dire che il corpo $a$(**) è più caldo del corpo $b$.
Grazie alle proprietà della particolare grandezza che vogliamo misurare, possiamo realizzare concretamente la funzione $m$ accostando al corpo un termometro (mancano molti dettagli, ma li lascio ai posteri). Il termometro ci permette di convertire la misura di temperatura in una misura di lunghezza (della colonnina di mercurio).
Accostando alla colonnina di mercurio una scala graduata, realizziamo $m$.
Ovviamente ci sono 2 cose arbitrarie: lo zero e l'unità di misura che abbiamo scelto per la nostra scala graduata (ci sarebbe anche il verso, ma lasciamo stare(***)).
I signori Fahrenheit e Celsius hanno usato due scale graduate diverse.
1 ° C = 33.8 °F vuol dire che: $m_F(a) = 33.8 \iff m_C(a) = 1$
100 °C = 180 °F invece vuol dire che: $m_F(b) - m_F(a) = \frac{180}{100} ( m_C(b) - m_C(a) )$
Quindi le due "uguaglianze" sono state usate con significati diversi. Cosa deprecabile.
Per il principio "garbage in - garbage out", non ne può venire niente di buono. Ma solo spazzatura.
Se invece si usano le relazioni di destra, nulla di strano accade. Ad esempio, si può dedurre (oooh!) che $m_F(a) = 32 \iff m_C(a) = 0$, cosa che mi pare sia vera.
(*) [size=75]Ovviamente non è così semplice, ma qui questo può bastare.[/size]
(**) [size=75]Qui, oggi.[/size]
(***) [size=75]Anche se, a dire il vero, proprio questo Celsius fece...[/size]
Una misura è una applicazione(*) $m$ che va da una certa classe $A$ di oggetti in $RR$.
Questa applicazione (che assomiglia tanto alle funzioni di utilità degli economisti) traduce una relazione $\succ$ su $A$ "in numeri".
Parliamo di temperatura.
Ovviamente $a \succ b$ vuol dire che il corpo $a$(**) è più caldo del corpo $b$.
Grazie alle proprietà della particolare grandezza che vogliamo misurare, possiamo realizzare concretamente la funzione $m$ accostando al corpo un termometro (mancano molti dettagli, ma li lascio ai posteri). Il termometro ci permette di convertire la misura di temperatura in una misura di lunghezza (della colonnina di mercurio).
Accostando alla colonnina di mercurio una scala graduata, realizziamo $m$.
Ovviamente ci sono 2 cose arbitrarie: lo zero e l'unità di misura che abbiamo scelto per la nostra scala graduata (ci sarebbe anche il verso, ma lasciamo stare(***)).
I signori Fahrenheit e Celsius hanno usato due scale graduate diverse.
1 ° C = 33.8 °F vuol dire che: $m_F(a) = 33.8 \iff m_C(a) = 1$
100 °C = 180 °F invece vuol dire che: $m_F(b) - m_F(a) = \frac{180}{100} ( m_C(b) - m_C(a) )$
Quindi le due "uguaglianze" sono state usate con significati diversi. Cosa deprecabile.
Per il principio "garbage in - garbage out", non ne può venire niente di buono. Ma solo spazzatura.
Se invece si usano le relazioni di destra, nulla di strano accade. Ad esempio, si può dedurre (oooh!) che $m_F(a) = 32 \iff m_C(a) = 0$, cosa che mi pare sia vera.
(*) [size=75]Ovviamente non è così semplice, ma qui questo può bastare.[/size]
(**) [size=75]Qui, oggi.[/size]
(***) [size=75]Anche se, a dire il vero, proprio questo Celsius fece...[/size]
La prima relazione è una uguaglianza ed esprime il fatto che un grado Fahrenheit è 5/9 di un grado Celsius.
La seconda non è una uguaglianza ma una legge che permette di passare da una scala all'altra. Non vale ovviamente la proprietà transitiva.
Lo sposto in generale perchè non è un gioco matematico.
La seconda non è una uguaglianza ma una legge che permette di passare da una scala all'altra. Non vale ovviamente la proprietà transitiva.
Lo sposto in generale perchè non è un gioco matematico.
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