Godel, teorema incompletezza/ indecidibilita'...
Premettendo che ho letto anni fa e capito fino a un certo punto il teorema di Godel, c'e' una domanda a cui non ho mai trovato risposta.
Il teorema parla di enunciati matematici di cui sarebbe impossibile dimostrare (e capire) se siano veri o falsi.
Si potrebbe avere qualche esempio pratico di questi teoremi di cui non si sa se sono veri o falsi ne' esiste la possibilita' teorica di appurarlo ?
Quello che non capisco e' che le conseguenze del teorema di Godel sarebbero abbastanza pesanti in quanto minano le fondamenta della logica e della matematica, ma poi queste conclusioni non hanno nessun effetto pratico sulla matematica "operativa", quella fatta di formule, numeri, ecc.
Chiedo scusa per il mio poco formalismo e la mia imprecisione, ma da mezzo profano vorrei addentrarmi nelle conseguenze logiche e pratiche di questo "bel" teorema.
Il teorema parla di enunciati matematici di cui sarebbe impossibile dimostrare (e capire) se siano veri o falsi.
Si potrebbe avere qualche esempio pratico di questi teoremi di cui non si sa se sono veri o falsi ne' esiste la possibilita' teorica di appurarlo ?
Quello che non capisco e' che le conseguenze del teorema di Godel sarebbero abbastanza pesanti in quanto minano le fondamenta della logica e della matematica, ma poi queste conclusioni non hanno nessun effetto pratico sulla matematica "operativa", quella fatta di formule, numeri, ecc.
Chiedo scusa per il mio poco formalismo e la mia imprecisione, ma da mezzo profano vorrei addentrarmi nelle conseguenze logiche e pratiche di questo "bel" teorema.
Risposte
Ragazzi, vedo che l'argomento è stato lasciato per qualche tempo in sospeso, a mio parere è estremamente interessante.
Se qualcuno si chiede perché la matematica fatta di formule sistemi di equazioni etc funziona fermo restando la presenza dello spettro di Godel, si pone una bella domanda. A primo acchitto si può affermare che la matematica del primo tipo è definita matematica naturale, mentre quella soggetta alle "restrizioni" di Godel è una matematica formalizzata. Inoltre non tutti i sistemi formali sono "sufficientemente" potenti da produrre proposizioni vere ma indimostrabili...Godel lo ha fatto per l'aritmetica. Interessante è anche l'approccio di un matematico contemporaneo (Gregory Chaitin) che è partito da un campo differente dalla logica, e più matematico: la teoria dell'informazione (per la precisione la Teoria Algoritmica dell' Informazione). Egli partendo dall'approccio alla Turing dimostra che ad un certo livello la matematica risulta casuale ed alcune proposizioni sono "incomprimibili" quindi "vere per nessuna ragione" come ama dire egli stesso. Per quanto riguarda i teoriemi di Godel e gli aspetti filosofici mi sento di consigliare la lettura del celebre: Godel, Escher, Bach, una eterna ghirlanda brillante, mentre per quanto riguarda Chitin vi è un bel libro in italiano: OMEGA.
Qualcuno disse: "se essere religiosi significa CREDERE con FEDE in VERITA' INDIMOSTRABILI, allora il MATEMATICO è l'unico RELIGIOSO che DIMOSTRA di possedere tale proprietà..." (mi sembra J.D. Barrow...)
Se qualcuno si chiede perché la matematica fatta di formule sistemi di equazioni etc funziona fermo restando la presenza dello spettro di Godel, si pone una bella domanda. A primo acchitto si può affermare che la matematica del primo tipo è definita matematica naturale, mentre quella soggetta alle "restrizioni" di Godel è una matematica formalizzata. Inoltre non tutti i sistemi formali sono "sufficientemente" potenti da produrre proposizioni vere ma indimostrabili...Godel lo ha fatto per l'aritmetica. Interessante è anche l'approccio di un matematico contemporaneo (Gregory Chaitin) che è partito da un campo differente dalla logica, e più matematico: la teoria dell'informazione (per la precisione la Teoria Algoritmica dell' Informazione). Egli partendo dall'approccio alla Turing dimostra che ad un certo livello la matematica risulta casuale ed alcune proposizioni sono "incomprimibili" quindi "vere per nessuna ragione" come ama dire egli stesso. Per quanto riguarda i teoriemi di Godel e gli aspetti filosofici mi sento di consigliare la lettura del celebre: Godel, Escher, Bach, una eterna ghirlanda brillante, mentre per quanto riguarda Chitin vi è un bel libro in italiano: OMEGA.
Qualcuno disse: "se essere religiosi significa CREDERE con FEDE in VERITA' INDIMOSTRABILI, allora il MATEMATICO è l'unico RELIGIOSO che DIMOSTRA di possedere tale proprietà..." (mi sembra J.D. Barrow...)
"Sidereus":
[quote="Lord K"][quote="Sidereus"]Ti devi appellare anche ad altre scienze, in primis la fisica e in generale tutta l'esperienza sensoriale. Altro che logica.
La logica guida sia la fisica che l'esperienza, che tu lo voglia ammettere o meno! Il punto è che non è una logica del primo ordine...
[/quote]La logica guida soltanto a posteriori, del primo o del secondo ordine che sia. Le scoperte si fanno con l'intuizione, non con la logica.[/quote]
No! Quel modo intrinseco che tu hai di pensare, nato e cresciuto all'interno del tuo cervello e determinato dal tuo DNA è il padre della tua "intuizione" e quel modo di pensare è un passaggio di elettricità attraverso i tuoi percorsi neurali che segue una logica! Forse non comune, forse solo tua, ma sempre una logica è!! Logica in greco è proprio parola, pensiero, idea, argomento e ragione!
P.S. per la definizione si legga qui
Il Teorema di Godel sta all'aritmetica come la coscienza sta al cervello...che ne dite?
"Lord K":
[quote="Sidereus"]Ti devi appellare anche ad altre scienze, in primis la fisica e in generale tutta l'esperienza sensoriale. Altro che logica.
La logica guida sia la fisica che l'esperienza, che tu lo voglia ammettere o meno! Il punto è che non è una logica del primo ordine...
[/quote]La logica guida soltanto a posteriori, del primo o del secondo ordine che sia. Le scoperte si fanno con l'intuizione, non con la logica.
"Lord K":
Io sono convinto che prima o poi modificheremo di molto la nostra logica e che avremo delle macchine "pensanti" e molto vicine al nostro modo di essere. Se ci pensiamo, non siamo forse noi una macchina di cellule ed elettricità? I piani per costruirci, imho, sono solo stati persi!
E' curioso il fatto che Luca Lussardi aveva tratto esattamente la conclusione opposta.
In sostanza dalla stessa premessa si può "logicamente" concludere sia una tesi che la tesi opposta. Non è forse questa l'essenza dell'indecidibilità?
D'altronde qualcosa di simile capita quando osserviamo che alcune importanti scoperte scientifiche sono proprio la conseguenza di errori.
Ma anche a scuola capita a volte di imparare più agevolmente dagli errori che dall'esecuzione meccanica di esercizi ripetitivi.
Ricerca e apprendimento hanno in comune la scoperta, che non può mai seguire lo stesso percorso delle sistematizzazioni manualistiche posteriori.
Il punto è che noi siamo invece abituati a ragionare seguendo "la logica" di queste sistematizzazioni manualistiche, che in realtà non hanno nulla a che vedere con la matematica ma sono il risultato di un approccio pedagogico sedimentato nel tempo e difficilmente sottoposto a critica (di certo non alla stessa critica a cui sono sottoposti i teoremi o le altre deduzioni frutto di ricerche scientifiche innovative).
"Sidereus":
Ti devi appellare anche ad altre scienze, in primis la fisica e in generale tutta l'esperienza sensoriale. Altro che logica.
La logica guida sia la fisica che l'esperienza, che tu lo voglia ammettere o meno! Il punto è che non è una logica del primo ordine...
"blackbishop13":
... un teorema è una proposizione vera, con la sua dimostrazione, a partire da certi assiomi.
Godel ci dice che esistono proposizioni di cui non si può stabilire il grado di verità.
La cosa è grave soltanto per i sognatori formalisti. In pratica, non puoi dimostrare tutte le affermazioni matematiche con la sola matematica.
Ma chi se ne frega.
Se vuoi imparare la lingua inglese e non conosci una parola di inglese , puoi sempre farti spiegare la grammatica e il significato delle parole in italiano o in un'altra lingua che conosci già. Se non ci fosse nemmeno questa possibilità, al limite per capire che cosa significa "armchair" qualcuno potrebbe indicarti una poltrona e risolveresti così il problema. Insomma, non puoi spiegare tutto l'inglese con l'inglese e basta. Ti serve qualche altro linguaggio complementare.
La stessa cosa vale in matematica. Non si spiega tutta la matematica con la matematica. Ti devi appellare anche ad altre scienze, in primis la fisica e in generale tutta l'esperienza sensoriale. Altro che logica.
I teoremi di Godel sono enunciati all'interno della logica del primo ordine ed in tale contesto dovrebbero essere visti. La matematica è logica e la logica è matematica. Attualmente gli studi sulla logica di ordini superiori stanno proprio cercando di valutare possibili sviluppi degli enunciati di Godel.
I teoremi di Godel, infatti, sono solo un putno che ci dice che non possiamo vedere i nostri limiti se rimaniamo all'interno di una logica del primo ordine... è uno sprono a proseguire la strada modificando il supporto logico con le logiche di ordini superiori o logiche che non sono legate, per esempio, al principi dati per scontati (fuzzy logic, manca il principio del terzo escluso e fa riferimento alle Algebre di Heyting).
Io sono convinto che prima o poi modificheremo di molto la nostra logica e che avremo delle macchine "pensanti" e molto vicine al nostro modo di essere. Se ci pensiamo, non siamo forse noi una macchina di cellule ed elettricità? I piani per costruirci, imho, sono solo stati persi!
I teoremi di Godel, infatti, sono solo un putno che ci dice che non possiamo vedere i nostri limiti se rimaniamo all'interno di una logica del primo ordine... è uno sprono a proseguire la strada modificando il supporto logico con le logiche di ordini superiori o logiche che non sono legate, per esempio, al principi dati per scontati (fuzzy logic, manca il principio del terzo escluso e fa riferimento alle Algebre di Heyting).
Io sono convinto che prima o poi modificheremo di molto la nostra logica e che avremo delle macchine "pensanti" e molto vicine al nostro modo di essere. Se ci pensiamo, non siamo forse noi una macchina di cellule ed elettricità? I piani per costruirci, imho, sono solo stati persi!
Beh i teoremi di Goedel dietro le righe stanno dicendo che la matematica nasce nella nostra intuizione, non è possibile ridurre la matematica alla sola logica. Ciò che Goedel ha distrutto è il sogno di Frege e di Hilbert che volevano una matematica che fosse in realtà solo una successione di teoremi costruiti sulla logica, cioè il meglio che possa fare l'intelligenza artificiale.
"Luca.Lussardi":
Questo forse, a pensarci bene, sta anche dicendo che la matematica è un prodotto della nostra mente, e non verrà mai prodotta da macchine intelligenti.
Questo era un po' il pensiero dello stesso Gödel. Lui infatti era in disaccordo con la teoria meccanicista secondo la quale la mente umana può essere "simulata" da una mdT. Avevo letto anche qualcosa su quella che lui chiamava "intuizione matematica", ma non ho mai approfondito e il senso di ciò mi è rimasto sempre elusivo. Forse perché d'altronde la vedo diversamente da lui.
Secondo me i teoremi di Goedel rappresentano un capitolo di estrema importanza in matematica e soprattutto in filosofia della matematica. Grazie a questi teoremi la matematica diventa il sapere più "onesto" che ci sia: infatti la matematica non solo afferma con precisione quali sono i suoi limiti, ma addirittura dimostra con le sue stesse armi di cui dispone che oltre certi limiti non potrà mai andare. Questo forse, a pensarci bene, sta anche dicendo che la matematica è un prodotto della nostra mente, e non verrà mai prodotta da macchine intelligenti.
beh più o meno, non è una cosa così da poco.
non è grave per la matematica classica, come dice Luca.Lussardi, ma è un concetto fondamentale a livello teorico, anche se di esempi non ne trovassimo!!
soprattutto il secondo teorema di Godel.
inoltre ti faccio un appunto notazionale: un teorema è una proposizione vera, con la sua dimostrazione, a partire da certi assiomi.
Godel ci dice che esistono proposizioni di cui non si può stabilire il grado di verità.
ciò che dici tu: esistono teoremi indimostrabili, non ha senso.
non è grave per la matematica classica, come dice Luca.Lussardi, ma è un concetto fondamentale a livello teorico, anche se di esempi non ne trovassimo!!
soprattutto il secondo teorema di Godel.
inoltre ti faccio un appunto notazionale: un teorema è una proposizione vera, con la sua dimostrazione, a partire da certi assiomi.
Godel ci dice che esistono proposizioni di cui non si può stabilire il grado di verità.
ciò che dici tu: esistono teoremi indimostrabili, non ha senso.
Ringrazio per gli interventi fatti.
Beh, anche se non l'avevo esplicitamente detto, la mia sensazione era questa, ed erano queste le parole che in un certo senso volevo sentirmi dire.
Scoprire che in un campo come la matematica, dove tutto e' preciso e determinato, esistono interi teoremi che non si possono dimostrare lascia abbastanza perplessi, ma detto questo l'effetto pratico di quei pocchi teoremi che non si possono dimostrare ha un impatto particamente nullo.
Lo dico perche' leggendo delle pagine divulgative su Godel, si ha come l'impressione che la matematica perda di valore, diventi qualcosa di inaffidabile, ma evidentemente cosi' non e'.
Praticamente il suo effetto è quasi nullo;
Beh, anche se non l'avevo esplicitamente detto, la mia sensazione era questa, ed erano queste le parole che in un certo senso volevo sentirmi dire.
Scoprire che in un campo come la matematica, dove tutto e' preciso e determinato, esistono interi teoremi che non si possono dimostrare lascia abbastanza perplessi, ma detto questo l'effetto pratico di quei pocchi teoremi che non si possono dimostrare ha un impatto particamente nullo.
Lo dico perche' leggendo delle pagine divulgative su Godel, si ha come l'impressione che la matematica perda di valore, diventi qualcosa di inaffidabile, ma evidentemente cosi' non e'.
L'ipotesi del continuo è effettivamente un esempio di proposizione indecidiibile prevista dal primo teorema di Goedel (se un sistema assiomatico è coerente allora è incompleto).
Il secondo teorema di Goedel è la spada di Damocle sulla matematica: non è possibile dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico, dal quale si possa dedurre la teoria dei numeri naturali, restando all'interno del sistema assiomatico stesso. Questo vuol dire che non potremo mai dimostrare l'assenza di contraddizioni logiche restando all'interno della matematica, come Hilbert sperava. Per far ciò bisogna guardare dal di fuori la matematica (metamatematica). Ora, quanto effettivamente è grave per la matematica "classica" tutto ciò? Praticamente il suo effetto è quasi nullo; infatti le contraddizioni logiche ci sono state in passato, nell'ambito della teoria degli insiemi, e sono state risolte all'interno della stessa teoria assiomatica degli insiemi. Ora pensare che vi sia una contraddizione nel bel mezzo della matematica "fatta da numeri e formule", come si diceva, non è ragionevole; o meglio, se vi fosse vorrebbe dire che qualche proprietà falsa dei numeri naturali l'abbiamo presa per vera, visto che, modulo il formalismo insiemistico, tutta la matematica è costruita sui numeri naturali. Non credo proprio che una proprietà falsa sui numeri naturali abbia resistito per 2300 anni...
Il secondo teorema di Goedel è la spada di Damocle sulla matematica: non è possibile dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico, dal quale si possa dedurre la teoria dei numeri naturali, restando all'interno del sistema assiomatico stesso. Questo vuol dire che non potremo mai dimostrare l'assenza di contraddizioni logiche restando all'interno della matematica, come Hilbert sperava. Per far ciò bisogna guardare dal di fuori la matematica (metamatematica). Ora, quanto effettivamente è grave per la matematica "classica" tutto ciò? Praticamente il suo effetto è quasi nullo; infatti le contraddizioni logiche ci sono state in passato, nell'ambito della teoria degli insiemi, e sono state risolte all'interno della stessa teoria assiomatica degli insiemi. Ora pensare che vi sia una contraddizione nel bel mezzo della matematica "fatta da numeri e formule", come si diceva, non è ragionevole; o meglio, se vi fosse vorrebbe dire che qualche proprietà falsa dei numeri naturali l'abbiamo presa per vera, visto che, modulo il formalismo insiemistico, tutta la matematica è costruita sui numeri naturali. Non credo proprio che una proprietà falsa sui numeri naturali abbia resistito per 2300 anni...
proprio oggi nella sezione secondaria di secondo grado se ne è parlato:
l'ipotesi di Godel sul continuo è indecidibile a partire dagli assiomi standard (ovvero Zermelo-Fraenkel più assioma della scelta)
guarda qui per la spiegazione:
http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo
e qui per la discussione citata:
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... 60616.html
l'ipotesi di Godel sul continuo è indecidibile a partire dagli assiomi standard (ovvero Zermelo-Fraenkel più assioma della scelta)
guarda qui per la spiegazione:
http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo
e qui per la discussione citata:
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... 60616.html
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