Gli insiemi: elementi ripetuti
Passato il tomo di logica ecco gli insiemi. Ed è peggio.
Ho tre questioni da sottoporvi; le separo in tre messaggi per non appesantire.
Questa, come la 2, è più che altro una richiesta di conferma della bontà di quello che ho inteso. Almeno spero di avere inteso.
La terza è questione più filosofica.
Per quale ragione gli elementi ripetuti non si contano?
Questa caratteristica è una cosa piuttosto strana. Se un insieme è una collezione, mettiamo di francobolli, di sicuro chi la vende non sarà d’accordo sul considerare ininfluente il fatto che in essa ci siano 2 Gronchi rosa uguali invece di uno e se ne vorrà far pagare 2. Se gli si dice che ne va pagato 1 solo perché la collezione una collezione con 2 Gronchi è uguale a quella con 1 s’incazza matematico.
Per questo vi chiedo solo se l’impostazione è corretta, anche grossolanamente, visto che ho fiducia nella bontà di una soluzione che mi pare appagante: non esistono due cose uguali nel senso che potendone riconoscere la dualità ci dev’essere qualcosa che le distingue; magari l’essere di uno dei due alla destra dell’altro. Se si considerano gli enti come dati da tutte le loro proprietà il problema (almeno in teoria) si risolve.
Ho tre questioni da sottoporvi; le separo in tre messaggi per non appesantire.
Questa, come la 2, è più che altro una richiesta di conferma della bontà di quello che ho inteso. Almeno spero di avere inteso.
La terza è questione più filosofica.
Per quale ragione gli elementi ripetuti non si contano?
Questa caratteristica è una cosa piuttosto strana. Se un insieme è una collezione, mettiamo di francobolli, di sicuro chi la vende non sarà d’accordo sul considerare ininfluente il fatto che in essa ci siano 2 Gronchi rosa uguali invece di uno e se ne vorrà far pagare 2. Se gli si dice che ne va pagato 1 solo perché la collezione una collezione con 2 Gronchi è uguale a quella con 1 s’incazza matematico.
Per questo vi chiedo solo se l’impostazione è corretta, anche grossolanamente, visto che ho fiducia nella bontà di una soluzione che mi pare appagante: non esistono due cose uguali nel senso che potendone riconoscere la dualità ci dev’essere qualcosa che le distingue; magari l’essere di uno dei due alla destra dell’altro. Se si considerano gli enti come dati da tutte le loro proprietà il problema (almeno in teoria) si risolve.
Risposte
"vict85":
[quote="Gugo82"]Vict85, non ci siamo capiti.
Non volevo affatto dire che esiste una sola definizione formale giusta di multiinsieme, il che sarebbe troppo pretenzioso.
Con la mia frase intendevo dire questo: ogni definizione formale di multiinsieme non può appellarsi al concetto di "insieme con elementi ripetuti", perchè questo contraddice la Teoria degli Insiemi.
Pertanto, a meno di non voler costruire una nuova Teoria degli Insiemi e, di conseguenza, una nuova Matematica in cui il la cardinalità d'un insieme non si ottiene "contandone gli elementi" (come spiegato da Russell), la definizione corretta di multiinsieme è quella formale scritta su wikipedia.
Ho usato quella frase solo per comodità non mi aspettavo di essere formalmente corretto.[/quote]
E perchè non avresti dovuto esserlo?
Ripeto il mio punto di vista sulla questione:
"Gugo82":
Le semplificazioni fatte per spiegare ai non addetti sono un'altra cosa: è chiaro che non tutti sanno cosa sia una coppia ordinata o un'applicazione e perciò occorre semplificare il concetto; però, dopo aver fatto una "semplificazione divulgativa", bisogna sempre rientrare nell'ambito formale per non creare più confusione di prima nella mente di chi legge/ascolta.
Insomma, semplificare per esemplificare va bene, ma poi bisogna ritornare sempre a livello formale.
Ovviamente i livelli di formalizzazione che usi per parlare con un non addetto, uno studente od un professore sono differenti.
Un lavoro di divulgazione si valuta soprattutto in base all'adeguatezza del livello formale scelto rispetto alleconoscenze del pubblico cui quel lavoro è destinato, ma non si può mai rinunciare alla correttezza delle idee esposte (come diceva Einstein, "tutte le cose vanno rese più semplici possibili, ma non semplificate").
"Gugo82":
Vict85, non ci siamo capiti.
Non volevo affatto dire che esiste una sola definizione formale giusta di multiinsieme, il che sarebbe troppo pretenzioso.
Con la mia frase intendevo dire questo: ogni definizione formale di multiinsieme non può appellarsi al concetto di "insieme con elementi ripetuti", perchè questo contraddice la Teoria degli Insiemi.
Pertanto, a meno di non voler costruire una nuova Teoria degli Insiemi e, di conseguenza, una nuova Matematica in cui il la cardinalità d'un insieme non si ottiene "contandone gli elementi" (come spiegato da Russell), la definizione corretta di multiinsieme è quella formale scritta su wikipedia.
Ho usato quella frase solo per comodità non mi aspettavo di essere formalmente corretto.
Vict85, non ci siamo capiti.
Non volevo affatto dire che esiste una sola definizione formale giusta di multiinsieme, il che sarebbe troppo pretenzioso.
Con la mia frase:
intendevo dire questo:
Ovviamente do per scontato che tu accetti la Teoria degli Insiemi così com'è, però non è detto che tu lo faccia. Anzi se non lo fai cambia tutto.
Non volevo affatto dire che esiste una sola definizione formale giusta di multiinsieme, il che sarebbe troppo pretenzioso.
Con la mia frase:
"Gugo82":
La Matematica si basa su definizioni rigorose: la definizione formale è quella giusta e basta (a meno che non si voglia buttare a mare la Teoria degli Insiemi).
intendevo dire questo:
Ogni definizione formale di multiinsieme non può appellarsi al concetto di "insieme con elementi ripetuti", perchè questo contraddice la Teoria degli Insiemi.
Pertanto, a meno di non voler costruire una nuova Teoria degli Insiemi e, di conseguenza, una nuova Matematica in cui il la cardinalità d'un insieme non si ottiene "contandone gli elementi" (come spiegato da Russell), la definizione corretta di multiinsieme è quella formale scritta su wikipedia.
Ovviamente do per scontato che tu accetti la Teoria degli Insiemi così com'è, però non è detto che tu lo faccia. Anzi se non lo fai cambia tutto.
Intendevo dire che affinché, nella pratica , si possa contare, anche i nomi dei numeri devono potersi contare, in questo senso l’insieme dei nomi dei numeri è il codominio e non può contene elementi uguali (so che nessun insieme può contere elementi uguali, ma come detto, era per volgarizzare). Mi pare che questo collimi con quanto mi hai spiegato.
Un'altra osservazione:
dato che servono due insiemi per poter contare non è possibile contare (nel senso comune, cioò riferendosi ad N) gli elementi di N stesso.
La distinzione tra ordinale e cardinale serve allora per creare un doppione di N con cui contare N. Semplificando molto mi pare che l'idea sia questa.
Per questo ordinali e cardinali hanno nomi diversi per lo stesso numero.
Aspetto vostra confutazione. (con fiducia)
Sai Russell, ho sempre pensato che un matematico sia quello che risce a incuriosirsi per il fatto che quando va in albergo gli danno la chiave della camera; c'è scritto sulla porta n. 12 e invece ce n'è una sola. Solo un matematico può pensare che lo abbiano fregato.
Se ho detto fesserie non preoccuparti. Rimedito. Non dev'essere difficile. Forse ho avuto fretta.
Un'altra osservazione:
dato che servono due insiemi per poter contare non è possibile contare (nel senso comune, cioò riferendosi ad N) gli elementi di N stesso.
La distinzione tra ordinale e cardinale serve allora per creare un doppione di N con cui contare N. Semplificando molto mi pare che l'idea sia questa.
Per questo ordinali e cardinali hanno nomi diversi per lo stesso numero.
Aspetto vostra confutazione. (con fiducia)
Sai Russell, ho sempre pensato che un matematico sia quello che risce a incuriosirsi per il fatto che quando va in albergo gli danno la chiave della camera; c'è scritto sulla porta n. 12 e invece ce n'è una sola. Solo un matematico può pensare che lo abbiano fregato.
Se ho detto fesserie non preoccuparti. Rimedito. Non dev'essere difficile. Forse ho avuto fretta.
"silente":
un elemento di un insieme è l’insieme delle proprietà per le quali lo si considera.
Dimenticavo la definizione del contare. Pensate che sia corretto popolarizzarla con:
“non si può contare se per due numeri si sceglie lo stesso nome.”?
Quanto alla prima "definizione", abbiamo detto che il concetto di "insieme" è assunto come primitivo. Il concetto di "elemento" è del tutto insito in quello di insieme, e quindi non occorre definirlo! Anzi, meglio non farlo!
Quanto alla seconda riflessione sul "contare", il problema non sta nei numeri
Essi infatti sono un presupposto: per contare è necessario avere già ben presente $NN$ che, una volta fissato, non va più toccato. I numeri restano una cosa ben determinata, i nomi diversi sono un aiuto per distinguere numeri diversi tra loro. Ma i numeri non sono il loro nome. Il nome consente di accedere ad un particolare numero.
Il problema consiste semmai negli "oggetti" che contiamo: è il codominio il problema!!
Quando usiamo la matematica nella realtà dobbiamo sempre fare i conti con moltissimi fattori che corrompono la perfezione del ragionamento.
Se contiamo un sacchetto di caramelle tutte uguali, stiamo contando? Sì, perchè le caramelle sono diverse tra loro, se non altro per collocazione nello spazio!
Quando contiamo oggetti reali contiamo sempre!
Resta però utile il teorema che ho riportato: contando in ordine diverso degli oggetti otterremo necessariamente lo stesso numero!
Sento il conflitto e l’attrito tra i vostri pensieri come una viva testimonianza del fatto che la matematica è un’opinione e volentieri cito uno stimato docente: “sappiate che la matematica è un opinione. In questo corso sono ammesse tutte le opinioni con la sola condizione che siano uguali alle mie”.
Veniamo a noi.
Illustrissimo Russell Silente ti saluta. Mi sveli una soluzione (cosa si contare) straordinariamente semplice; così semplice che non so capisce come possa esser sfuggita. Puole puole….hai voglia se puole!
Il vecchio Bertrand ci aveva messi in guardia: “spesso le cose che non riesci a vedere sono proprio quelle che ti stanno sotto il naso” ( a dire il vero nell’affermare questo egli era disonestamente avvantaggiato dalle dimensioni del suo).
Oltre alla semplicità ciò che colpisce è come questa appaghi il senso comune (almeno il mio).
Mi sembra un modo di descrivere con perfetta aderenza quello che avevo supposto (spero); infatti dato
B={x,x,x,y,z}
si può sapere che ci sono 2 x solo se si riesce a distinguerli, ma se si riesce a distinguerli non sono uguali. Allora non sono 2 x. Non pretendo che questa forma sostenga solo questa idea. Mi basta che le si conformi.
Quando la forma si descrive qualcosa che riconosco mi sento sollevato.
Dopo un defatigante preludio vi chiedo conferma di un’idea che ho maturato.
Prima dicevo che una cosa va vista come l’insieme delle sue proprietà nel parlare di insiemi. Invero mi ero già accorto, meditando sulle lavatrici, delle insidie che nasconde questa via ma le avevo taciute.
Ora dico: un elemento di un insieme è l’insieme delle proprietà per le quali lo si considera.
Pongo oggi la questione perché si accorda col senso comune (sempre mio) e perché la ritengo connessa col problema dei multiisiemi (o almeno di una loro utilizzazione).
Un esempio giova sempre:
Se l’amministratore del forum entra in un negozio di lavatrici per comprarne una costui non vorrà vedere l’insieme delle lavatrici ma l’insieme dei modelli delle lavatrici. In questo caso due lavatrici possono essere uguali perché alcune delle proprietà che hanno e che ci consentono di distinguerle, come dicevo ad esempio l’essere di una alla destra, non interessano. Si considerano determinate proprietà, non tutte.
Se però, data la lista dei modelli delle lavatrici presenti, decidesse di fare un’offerta per comprarle tutte rilevando il negozio quelle proprietà tornano a valere e ad ogni lavatrice diventa un elemento a tutti gli effetti. E’ questo un multi insieme? O meglio serve (anche) a questo?
Mi rendo conto che l’esempio non calza del tutto. Riprovo: quando si è considerato un insieme del tipo di quello dei modelli di lavatrice è possibile che ad ogni modello corrisponda una molteplicità che non è stata rilevata a livello degli elementi perché rispetto ad essa alcuni erano indistinguibili. Un multi insieme è qualcosa che si usa quando non si trova una proprietà che “separi” tutti gli elementi costruendone una di scopo?
E’ un modo di collegare due elencazioni per proprietà con “profondità” differente?
Forse non è proprio una questione matematica. Di sicuro non l’ho esposta come tale.
Mi dovrei iscrivere in un forum di filosofia.
Mi redimerò col prossimo topic.
Mi dite se ho capito qualcosa.
Dimenticavo la definizione del contare. Pensate che sia corretto che popolarizzarla con:
“non si può contare se per due numeri si sceglie lo stesso nome.”?
Veniamo a noi.
Illustrissimo Russell Silente ti saluta. Mi sveli una soluzione (cosa si contare) straordinariamente semplice; così semplice che non so capisce come possa esser sfuggita. Puole puole….hai voglia se puole!
Il vecchio Bertrand ci aveva messi in guardia: “spesso le cose che non riesci a vedere sono proprio quelle che ti stanno sotto il naso” ( a dire il vero nell’affermare questo egli era disonestamente avvantaggiato dalle dimensioni del suo).
Oltre alla semplicità ciò che colpisce è come questa appaghi il senso comune (almeno il mio).
Mi sembra un modo di descrivere con perfetta aderenza quello che avevo supposto (spero); infatti dato
B={x,x,x,y,z}
si può sapere che ci sono 2 x solo se si riesce a distinguerli, ma se si riesce a distinguerli non sono uguali. Allora non sono 2 x. Non pretendo che questa forma sostenga solo questa idea. Mi basta che le si conformi.
Quando la forma si descrive qualcosa che riconosco mi sento sollevato.
Dopo un defatigante preludio vi chiedo conferma di un’idea che ho maturato.
Prima dicevo che una cosa va vista come l’insieme delle sue proprietà nel parlare di insiemi. Invero mi ero già accorto, meditando sulle lavatrici, delle insidie che nasconde questa via ma le avevo taciute.
Ora dico: un elemento di un insieme è l’insieme delle proprietà per le quali lo si considera.
Pongo oggi la questione perché si accorda col senso comune (sempre mio) e perché la ritengo connessa col problema dei multiisiemi (o almeno di una loro utilizzazione).
Un esempio giova sempre:
Se l’amministratore del forum entra in un negozio di lavatrici per comprarne una costui non vorrà vedere l’insieme delle lavatrici ma l’insieme dei modelli delle lavatrici. In questo caso due lavatrici possono essere uguali perché alcune delle proprietà che hanno e che ci consentono di distinguerle, come dicevo ad esempio l’essere di una alla destra, non interessano. Si considerano determinate proprietà, non tutte.
Se però, data la lista dei modelli delle lavatrici presenti, decidesse di fare un’offerta per comprarle tutte rilevando il negozio quelle proprietà tornano a valere e ad ogni lavatrice diventa un elemento a tutti gli effetti. E’ questo un multi insieme? O meglio serve (anche) a questo?
Mi rendo conto che l’esempio non calza del tutto. Riprovo: quando si è considerato un insieme del tipo di quello dei modelli di lavatrice è possibile che ad ogni modello corrisponda una molteplicità che non è stata rilevata a livello degli elementi perché rispetto ad essa alcuni erano indistinguibili. Un multi insieme è qualcosa che si usa quando non si trova una proprietà che “separi” tutti gli elementi costruendone una di scopo?
E’ un modo di collegare due elencazioni per proprietà con “profondità” differente?
Forse non è proprio una questione matematica. Di sicuro non l’ho esposta come tale.
Mi dovrei iscrivere in un forum di filosofia.
Mi redimerò col prossimo topic.
Mi dite se ho capito qualcosa.
Dimenticavo la definizione del contare. Pensate che sia corretto che popolarizzarla con:
“non si può contare se per due numeri si sceglie lo stesso nome.”?
"Gugo82":
[quote="vict85"][quote="gugo82"][quote="vict85"]
Un insieme che può contenere ripetizioni si chiama multiinsieme http://it.wikipedia.org/wiki/Multiinsieme o meglio in quella inglese http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset
A volte può essere utile usarli, per esempio potremmo condiderare una funzione che $f: NN -> fr{M}(NN)$ (dove $fr{M}(NN)$ definisce l'insieme dei multiinsieme con elementi in $NN$) in cui per ogni elemento $n in NN$ scomponibile in $p_1^(s_1)p_2^(s_2)p_3^(s_3)p_4^(s_4)...$ è messo in relazione con l'insieme definito come $\{p_1, ..., p_1, p_2, ..., p_2, p_3, ..., p_3, p_4, ..., p_4 ...\}$ in cui ogni primo $p_n$ è ripetuto $s_n$ volte. E' immediato verificare che è una funzione biiettiva e che qualsiasi sotto-multiinsieme che consideriamo è immagine di un divisore del numero, quindi la cardinalità dell'insieme delle parti del multiinsieme considerato è uguale al numero di divisori del numero.
Se avessi letto meglio l'articolo in italiano (o quello inglese nella sezione Formal Definition) non avresti detto una bestialità del genere.
Un multiinsieme non è un insieme con elementi ripetuti, bensì una coppia ordinata avente come prima coordinata un insieme $A$ e come seconda coordinata un'applicazione di $A$ in $NN$ (senza lo $0$).[/quote]
Esprimere in maniera completa o come coppia non cambia molto... Lo scopo è comunque quello di esprimere un insieme speciale in cui possono esserci un certo numero di copie dell'elemento. Come è stato definito dai logici è un'altra cosa. Dopo di che è certo più comodo raccogliere le coppie uguali e dire il loro numero.[/quote]
Cambia tutto, invece.
La Matematica si basa su definizioni rigorose: la definizione formale è quella giusta e basta (a meno che non si voglia buttare a mare la Teoria degli Insiemi
).[/quote]
Al di là di quello che sono i multiset e che certo è molto conveniente definirlo come coppia ordinata (e comunque io non ho mai detto che la mia era una definizione per quello ho messo i link) dire che la definizione formale è quella giusta e basta è assurdo.
Per ogni “oggetto” esistono molteplici definizioni formali e ogni definizione formale se sostanzialmente equivalente a tutte le altre è corretta. A volte è necessario modificare alcuni teoremi o dimostrarli in altro modo ma prova a pensare a quante definizioni di derivata in un punto esistono e poi dimmi qual'é quella giusta e perché. E questo perché una definizione formale non è sostanziale ma solo un “referente” all'oggetto di “studio”, un utile metodo per descivere l'oggetto.
Per capirci il dizionario definisce cavallo (animale) come “grosso mammifero erbivoro con testa lunga, collo diritto sovrastato da criniera, coda corta con peli lunghissimi, orecchie corte e diritte, arti con un solo dito coperto dallo zoccolo; è usato come animale da cavalcatura e da tiro” ma anche una definizione più naïf come “La specie dell'animale che cavalca Zorro” è sostanzialmente corretta anche se è senza dubbio meno utile e decisamente meno condivisibile (non tutti sanno chi è Zorro).
Spesso inoltre la matematica ha preceduto la definizione formale e si è dovuto costruire un'assiomatizzazione ad hoc. Basta pensare al calcolo delle probabilità o anche l'algebra, a tutto il lavoro che l'analisi ha dovuto fare per eliminare il concetto di infinitesimo (anche se è stato riintrodotto in quella non-standard attraverso una nuova assiomatizzazione). E neanche la logica e la teoria degli insieme può dire di essere nata prima della sia assiomatizzazione.
Inoltre evidenzierei che non si può mai ritenere che una definzione sia superiore ad un altra anzi a volte passare da una all'altra ti permette di vedere il problema da una prospettiva migliore.
Per concludere non credo che la Teoria degli insiemi rimarrebbe così sconvolta da un piccolo mutamento della definizione di multiset e se si usa quella è solo perché è ritenuta superiore all'altra.
P.S: non sono un logico quindi probabilmente alcuni termini non saranno formalmente esatti; alcuni sono stati presi dalla linguistica.
"vict85":
[quote="gugo82"][quote="vict85"]
Un insieme che può contenere ripetizioni si chiama multiinsieme http://it.wikipedia.org/wiki/Multiinsieme o meglio in quella inglese http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset
A volte può essere utile usarli, per esempio potremmo condiderare una funzione che $f: NN -> fr{M}(NN)$ (dove $fr{M}(NN)$ definisce l'insieme dei multiinsieme con elementi in $NN$) in cui per ogni elemento $n in NN$ scomponibile in $p_1^(s_1)p_2^(s_2)p_3^(s_3)p_4^(s_4)...$ è messo in relazione con l'insieme definito come $\{p_1, ..., p_1, p_2, ..., p_2, p_3, ..., p_3, p_4, ..., p_4 ...\}$ in cui ogni primo $p_n$ è ripetuto $s_n$ volte. E' immediato verificare che è una funzione biiettiva e che qualsiasi sotto-multiinsieme che consideriamo è immagine di un divisore del numero, quindi la cardinalità dell'insieme delle parti del multiinsieme considerato è uguale al numero di divisori del numero.
Se avessi letto meglio l'articolo in italiano (o quello inglese nella sezione Formal Definition) non avresti detto una bestialità del genere.
Un multiinsieme non è un insieme con elementi ripetuti, bensì una coppia ordinata avente come prima coordinata un insieme $A$ e come seconda coordinata un'applicazione di $A$ in $NN$ (senza lo $0$).[/quote]
Esprimere in maniera completa o come coppia non cambia molto... Lo scopo è comunque quello di esprimere un insieme speciale in cui possono esserci un certo numero di copie dell'elemento. Come è stato definito dai logici è un'altra cosa. Dopo di che è certo più comodo raccogliere le coppie uguali e dire il loro numero.[/quote]
Cambia tutto, invece.
La Matematica si basa su definizioni rigorose: la definizione formale è quella giusta e basta (a meno che non si voglia buttare a mare la Teoria degli Insiemi
).Le semplificazioni fatte per spiegare ai non addetti sono un'altra cosa: è chiaro che non tutti sanno cosa sia una coppia ordinata o un'applicazione e perciò occorre semplificare il concetto; però, dopo aver fatto una "semplificazione divulgativa", bisogna sempre rientrare nell'ambito formale per non creare più confusione di prima nella mente di chi legge/ascolta.
In ogni caso penso che la domanda di "silente" puntasse a contenuti semplici piuttosto che ai multinsiemi...
Infatti:
E' forse eccessivo parlare di queste ultime cose...
Infatti:
"silente":
Per quale ragione gli elementi ripetuti non si contano?
E' forse eccessivo parlare di queste ultime cose...
"gugo82":
[quote="vict85"]
Un insieme che può contenere ripetizioni si chiama multiinsieme http://it.wikipedia.org/wiki/Multiinsieme o meglio in quella inglese http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset
A volte può essere utile usarli, per esempio potremmo condiderare una funzione che $f: NN -> fr{M}(NN)$ (dove $fr{M}(NN)$ definisce l'insieme dei multiinsieme con elementi in $NN$) in cui per ogni elemento $n in NN$ scomponibile in $p_1^(s_1)p_2^(s_2)p_3^(s_3)p_4^(s_4)...$ è messo in relazione con l'insieme definito come $\{p_1, ..., p_1, p_2, ..., p_2, p_3, ..., p_3, p_4, ..., p_4 ...\}$ in cui ogni primo $p_n$ è ripetuto $s_n$ volte. E' immediato verificare che è una funzione biiettiva e che qualsiasi sotto-multiinsieme che consideriamo è immagine di un divisore del numero, quindi la cardinalità dell'insieme delle parti del multiinsieme considerato è uguale al numero di divisori del numero.
Se avessi letto meglio l'articolo in italiano (o quello inglese nella sezione Formal Definition) non avresti detto una bestialità del genere.
Un multiinsieme non è un insieme con elementi ripetuti, bensì una coppia ordinata avente come prima coordinata un insieme $A$ e come seconda coordinata un'applicazione di $A$ in $NN$ (senza lo $0$).[/quote]
Esprimere in maniera completa o come coppia non cambia molto... Lo scopo è comunque quello di esprimere un insieme speciale in cui possono esserci un certo numero di copie dell'elemento. Come è stato definito dai logici è un'altra cosa. Dopo di che è certo più comodo raccogliere le coppie uguali e dire il loro numero.
"vict85":
Un insieme che può contenere ripetizioni si chiama multiinsieme http://it.wikipedia.org/wiki/Multiinsieme o meglio in quella inglese http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset
A volte può essere utile usarli, per esempio potremmo condiderare una funzione che $f: NN -> fr{M}(NN)$ (dove $fr{M}(NN)$ definisce l'insieme dei multiinsieme con elementi in $NN$) in cui per ogni elemento $n in NN$ scomponibile in $p_1^(s_1)p_2^(s_2)p_3^(s_3)p_4^(s_4)...$ è messo in relazione con l'insieme definito come $\{p_1, ..., p_1, p_2, ..., p_2, p_3, ..., p_3, p_4, ..., p_4 ...\}$ in cui ogni primo $p_n$ è ripetuto $s_n$ volte. E' immediato verificare che è una funzione biiettiva e che qualsiasi sotto-multiinsieme che consideriamo è immagine di un divisore del numero, quindi la cardinalità dell'insieme delle parti del multiinsieme considerato è uguale al numero di divisori del numero.
Se avessi letto meglio l'articolo in italiano (o quello inglese nella sezione Formal Definition) non avresti detto una bestialità del genere.
Un multiinsieme non è un insieme con elementi ripetuti, bensì una coppia ordinata avente come prima coordinata un insieme $A$ e come seconda coordinata un'applicazione di $A$ in $NN$ (senza lo $0$).
"silente":
Passato il tomo di logica ecco gli insiemi. Ed è peggio.
Ho tre questioni da sottoporvi; le separo in tre messaggi per non appesantire.
Questa, come la 2, è più che altro una richiesta di conferma della bontà di quello che ho inteso. Almeno spero di avere inteso.
La terza è questione più filosofica.
Per quale ragione gli elementi ripetuti non si contano?
Questa caratteristica è una cosa piuttosto strana. Se un insieme è una collezione, mettiamo di francobolli, di sicuro chi la vende non sarà d’accordo sul considerare ininfluente il fatto che in essa ci siano 2 Gronchi rosa uguali invece di uno e se ne vorrà far pagare 2. Se gli si dice che ne va pagato 1 solo perché la collezione una collezione con 2 Gronchi è uguale a quella con 1 s’incazza matematico.
Per questo vi chiedo solo se l’impostazione è corretta, anche grossolanamente, visto che ho fiducia nella bontà di una soluzione che mi pare appagante: non esistono due cose uguali nel senso che potendone riconoscere la dualità ci dev’essere qualcosa che le distingue; magari l’essere di uno dei due alla destra dell’altro. Se si considerano gli enti come dati da tutte le loro proprietà il problema (almeno in teoria) si risolve.
Un insieme che può contenere ripetizioni si chiama multiinsieme http://it.wikipedia.org/wiki/Multiinsieme o meglio in quella inglese http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset
A volte può essere utile usarli, per esempio potremmo condiderare una funzione che $f: NN -> fr{M}(NN)$ (dove $fr{M}(NN)$ definisce l'insieme dei multiinsieme con elementi in $NN$) in cui per ogni elemento $n in NN$ scomponibile in $p_1^(s_1)p_2^(s_2)p_3^(s_3)p_4^(s_4)...$ è messo in relazione con l'insieme definito come $\{p_1, ..., p_1, p_2, ..., p_2, p_3, ..., p_3, p_4, ..., p_4 ...\}$ in cui ogni primo $p_n$ è ripetuto $s_n$ volte. E' immediato verificare che è una funzione biiettiva e che qualsiasi sotto-multiinsieme che consideriamo è immagine di un divisore del numero, quindi la cardinalità dell'insieme delle parti del multiinsieme considerato è uguale al numero di divisori del numero.
La risposta alla domanda "perchè gli elementi ripetuti sono irrilevanti?" è semplice.
Prendiamo degli elementi $x,y,z,t$ diversi tra loro.
In sostanza si chiede perchè, ad esempio, i due insiemi ${x,y,z,t}$ e ${x,x,y,z,t,t,t,z,x}$ sono uguali.
Definizione.
Siano $A,B$ insiemi. Si dice che $B$ è sottoinsieme di $A$ se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.
In simboli, $x in B rArr x in A$ per ogni elemento $x$.
Definizione.
Siano $A,B$ insiemi. Si dice che $A$ e $B$ sono uguali, e si scrive $A=B$, se $A$ è sottoinsieme di $B$ e $B$ è sottoinsieme di $A$. Equivalentemente, ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$, e viceversa.
Torniamo agli insiemi dell'esempio.
Siano $A={x,y,z,t}$ e $B={x,x,y,z,t,t,t,z,x}$
Ovviamente nessuno può obiettare che ogni elemento che sta in $A$ sta anche in $B$, e viceversa.
Quindi i due insiemi sono uguali...ed è già qualcosa!
La domanda "perchè contiamo gli elementi di $A$ e non quelli di $B$?" è già più interessante!
Bisogna sapere bene, matematicamente parlando, cosa vuol dire "contare".
A questo scopo riprendo un mio vecchio post apportando qua e là qualche modifica...
Adesso azzardiamoci provocatoriamente a contare un insieme con elementi ripetuti, come ad esempio $B$.
$1 to x$
$2 to x$
$3 to y$
$4 to z$
$5 to t$
$6 to t$
$7 to t$
$8 to z$
$9 to x$
Vuol dire forse che $B$ ha $9$ elementi??
No! Infatti non abbiamo contato, giacchè abbiamo dato una funzione non iniettiva!!!
Questo è quello che succede a chi conta elementi ripetuti: in realtà non conta!!
Prendiamo degli elementi $x,y,z,t$ diversi tra loro.
In sostanza si chiede perchè, ad esempio, i due insiemi ${x,y,z,t}$ e ${x,x,y,z,t,t,t,z,x}$ sono uguali.
Definizione.
Siano $A,B$ insiemi. Si dice che $B$ è sottoinsieme di $A$ se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.
In simboli, $x in B rArr x in A$ per ogni elemento $x$.
Definizione.
Siano $A,B$ insiemi. Si dice che $A$ e $B$ sono uguali, e si scrive $A=B$, se $A$ è sottoinsieme di $B$ e $B$ è sottoinsieme di $A$. Equivalentemente, ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$, e viceversa.
Torniamo agli insiemi dell'esempio.
Siano $A={x,y,z,t}$ e $B={x,x,y,z,t,t,t,z,x}$
Ovviamente nessuno può obiettare che ogni elemento che sta in $A$ sta anche in $B$, e viceversa.
Quindi i due insiemi sono uguali...ed è già qualcosa!
La domanda "perchè contiamo gli elementi di $A$ e non quelli di $B$?" è già più interessante!
Bisogna sapere bene, matematicamente parlando, cosa vuol dire "contare".
A questo scopo riprendo un mio vecchio post apportando qua e là qualche modifica...
"Russell":
Definiamo questo simbolo per ogni $n$ naturale:
$n_s :={i in NN \mbox{ tali che } 0 A titolo di esempio, $3_s={1,2,3}$
$7_s={1,2,3,4,5,6,7}$ ...facile!
Un insieme $A$ si dice finito se esiste $n in NN$ ed esiste $f$ corrispondenza biunivoca $f:n_s to A$. (1)
Teorema.
Sia $A$ un insieme. Se esistono $n,m in NN$ ed esistono $f,g$ biunivoche $f:n_s to A$ e $f:m_s to A$ allora $n=m$ (si dimostra per induzione)
Alla luce del precedente risultato diciamo che, nella ipotesi (1), $A$ ha $n$ elementi.
Questo vuol dire "contare" un insieme!
Adesso azzardiamoci provocatoriamente a contare un insieme con elementi ripetuti, come ad esempio $B$.
$1 to x$
$2 to x$
$3 to y$
$4 to z$
$5 to t$
$6 to t$
$7 to t$
$8 to z$
$9 to x$
Vuol dire forse che $B$ ha $9$ elementi??
No! Infatti non abbiamo contato, giacchè abbiamo dato una funzione non iniettiva!!!
Questo è quello che succede a chi conta elementi ripetuti: in realtà non conta!!
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