Giocando con i numeri... un risultato curioso!

[boulayo]

a volte mi piace "giocare" con i numeri provando a fare operazioni, successioni strane, ecc
e oggi mi è capitata questa cosa
se prendo un numero X maggiore di 1 e lo elevo alla 3a
la somma delle cifre del risultato, al crescere di X di 1 è sempre periodica 8-9-10
es
numero risultato somma cifre
2^3 ------> 8 ------> 8
3^3 ------> 27 ------>9
4^3 -------> 64 ------>10
5^3 -------> 125 ----->8
6^3 -------> 216 ------>9
7^3 -------> 343 ------>10
8^3 -------> 512 ------>8
9^3 -------> 729 ------> 18 ----> 1+8 =9
10^3 ------> 1000 -----> 1, ma dato che il numero è divisibile per 10 posso supporre che ci voglia uno 0, quindi 10
.
.
986^3 --->958585256 -->53 -->5+3=8
987^3---->961504803-> 36 --> 3+6=9
988^3 ---->964430272 ->37 --> 3+7=10

e questo sembra che valga sempre.
questa periodicità pare non valere per potenze diverse da 3.
si può dimostrare una cosa del genere?
grazie

[Karl1]

Ti ringrazio della risposta, però purtroppo non so che intendi con Zn e non ho una conoscenza reale di cosa si intende per gruppo. Non ti chiedo di spiegarmele perchè sono cose di base di cui però un misero studente del classico è all'oscuro. Appena ci arriverò nei miei studi privati di approfondimento in algebra e analisi(che purtroppo ho iniziato solo a ottobre e che al momento si limita ai limiti di funzione)la divorerò e ti ringrazierò nuovamente.

[Levacci]

Si può dimostrare così. Se $n$ è un numero primo, $ZZ_n$ forma un gruppo. Ogni elemento dell'insieme ${1,...,n-1}$ possiede un unico inverso nell'insieme stesso. Determiniamo quali sono gli elementi dell'insieme che coincidono con il proprio inverso. Si deve avere $i^2=1 (mod n)$, $i^2-1=0 (mod n)$ e, ricordando che nei gruppi vale la legge di annullamento del prodotto, $(i-1)(i+1)=0 (mod n)$. Quindi gli unici due elementi con questa proprietà sono $1$ e $n-1$. A questo punto basta moltiplicare: $n-1! =-1 (mod n)$.

[Karl1]

Ah!Esiste già un teorema equivalente alla regolarità da me trovata?mi sapresti dire qual'è la dimostrazione?

[Levacci]

ovvero il teorema di wilson .

[Karl1]

Vi riscrivo questa regolarità che ho trovato perchè prima l'ho postata in un gruppo sbagliato,mentre congetture libere e ricerca fa proprio al mio caso:"Se n è un numero primo, allora: (n-1)!=nq-1". Con q appartenente ad N.
Ho provato in vari modi una dimostrazione,ma non esce fuori. Gli esempi hanno l'area di dare ragione alla formuletta.
Ma anche se ci dovessero essere controesempi ci si può chiedere:esistono infiniti valori di n primo tali che la formula sia vera?
Chi mi sa dare una mano?

[boulayo]

grazie della tempestività della risposta!

[ficus2002]

"boulayo":se prendo un numero X maggiore di 1 e lo elevo alla 3a
la somma delle cifre del risultato, al crescere di X di 1 è sempre periodica 8-9-10

E' una cunseguenza del teorema di Eulero-Fermat: $a^3\equiv a\quad (\mod \ 3)$ per ogni $a$ intero. Infatti, ogni numero intero $a$ è congruo, modulo $3$, alla somma delle sue cifre. Cioè, se $s(a)$ è la somma delle cifre di $a$ ($0\le s(a)\le 9$), allora il resto di $s(a)$ e $a$ nella divisione per $3$ è lo stesso. Così,
se $a$ è del tipo $3k-1,\quad k\in ZZ$, allora $s(a)=8$
se $a$ è del tipo $3k,\quad k\in ZZ$, allora $s(a)=9$
se $a$ è del tipo $3k+1,\quad k\in ZZ$, allora $s(a)=1$.