[geometria analitica] help domani compito !
Ragazzi qualcuno mi saprebbe rispondere a qualcuna di queste domande le cui risposte sembrano inesistenti..
1) Come si trova una retta perpendicolare a un altra nello spazio?? nel 2d la direzione di una retta perpendicolare a ax + by + c = 0 è (a,b) ma nel 3d come si fa??? E l'inverso per un piano: da questa forma ax + by + cz + d = 0, so trovare un piano perpendicolare (a,b,c) ma uno parallelo come lo si trova??
2)Trovare l'equazione cartesiana del cilindro avente generatrici di direzione (1,1,1) e direttrice la curva di equazioni {3x^2 + 8xy -3y^2 + 10z^2 + 10x -20y=5; z-4=0}
3)Siano dati il punto A(2 ,3) e la retta s : x - 3y + 4 = 0 ; scrivere le equazioni della rotazione attorno all’origine del sistema di riferimento che porta il semiasse negativo delle ordinate a passare per A. Determinare, rispetto al sistema di riferimento così ottenuto, le coordinate del punto A e l’equazione della retta s.
4) Studiare, al variare del parametro k sull'insieme dei numeri reali, le mutue posizioni tra i piani
a: (2 + k)x + (k -1) y + (1- k)z + 3 + k = 0 e la retta r: {4x + 5y - z =0; 5x+y+4z=7}
devo fare un sistema con le 3 equazioni??
5)Studiare, al variare del parametro t in R, il sistema {(4-t)x + (t-1)y=t; tx + y= t;}e dare un’interpretazione geometrica, in R2, dei risultati ottenuti.
Qua devo applicare il teorema di rouchy cappelli vero??
6)centro del fascio di rette di equazione (3a + 2b)x + (a - b) y + 6a - b = 0 ???
7)Determinare le equazioni di un movimento rigido che porta l'asse delle ordinate e quello delle ascisse a coincidere, rispettivamente, con le rette a: 2x - y + 4 = 0 e b: x + 2y - 3 = 0 ; trovare, inoltre, le coordinate che assume nel nuovo sistema di riferimento il punto A(2,1).
Ragazzi so che non avrete nessuna voglia di rispondere a tutte queste domande ma rispondete almeno a quest'ultima e alla terza.. datemi qualche speranza per domani asd
1) Come si trova una retta perpendicolare a un altra nello spazio?? nel 2d la direzione di una retta perpendicolare a ax + by + c = 0 è (a,b) ma nel 3d come si fa??? E l'inverso per un piano: da questa forma ax + by + cz + d = 0, so trovare un piano perpendicolare (a,b,c) ma uno parallelo come lo si trova??
2)Trovare l'equazione cartesiana del cilindro avente generatrici di direzione (1,1,1) e direttrice la curva di equazioni {3x^2 + 8xy -3y^2 + 10z^2 + 10x -20y=5; z-4=0}
3)Siano dati il punto A(2 ,3) e la retta s : x - 3y + 4 = 0 ; scrivere le equazioni della rotazione attorno all’origine del sistema di riferimento che porta il semiasse negativo delle ordinate a passare per A. Determinare, rispetto al sistema di riferimento così ottenuto, le coordinate del punto A e l’equazione della retta s.
4) Studiare, al variare del parametro k sull'insieme dei numeri reali, le mutue posizioni tra i piani
a: (2 + k)x + (k -1) y + (1- k)z + 3 + k = 0 e la retta r: {4x + 5y - z =0; 5x+y+4z=7}
devo fare un sistema con le 3 equazioni??
5)Studiare, al variare del parametro t in R, il sistema {(4-t)x + (t-1)y=t; tx + y= t;}e dare un’interpretazione geometrica, in R2, dei risultati ottenuti.
Qua devo applicare il teorema di rouchy cappelli vero??
6)centro del fascio di rette di equazione (3a + 2b)x + (a - b) y + 6a - b = 0 ???
7)Determinare le equazioni di un movimento rigido che porta l'asse delle ordinate e quello delle ascisse a coincidere, rispettivamente, con le rette a: 2x - y + 4 = 0 e b: x + 2y - 3 = 0 ; trovare, inoltre, le coordinate che assume nel nuovo sistema di riferimento il punto A(2,1).
Ragazzi so che non avrete nessuna voglia di rispondere a tutte queste domande ma rispondete almeno a quest'ultima e alla terza.. datemi qualche speranza per domani asd
Risposte
ok penso di aver capito.. queste formule molto + complicate di cui parli hanno qualche nome? così provo a cercarle su google
grazie d nuovo
grazie d nuovo
@gandelf
Guarda la cosa sta così.
Supponiamo di voler passare da un riferimento ortogonale (x,y) ad un altro
(X,Y) in cui i due assi Y ed X siano rappresentati rispettivamente dalle rette perpendicolari:
a) ax+by+c=0 e b) bx-ay+c'=0
Allora sara' sufficiente porre :
X=(+-)(ax+by+c )/sqrt(a^2+b^2) , Y=(+-)(bx-ay+c')/sqrt(a^2+b^2) da cui occorrera' ricavare x e y in funzione
di X e Y ( il segno dipende dall'orientamento che si sceglie sugli assi).Queste formule
valgono qualunque sia l'origine del nuovo riferimento,coincidente o meno con l'origine
del vecchio riferimento.
Per esempio nell'esercizio N°3 l'asse Y deve essere la retta OA di equazione
3x-2y=0 e l'asse X sara' allora la perpendicolare ad essa per l'origine O e cioe'
2x+3y=0 .Quindi in tal caso la trasformazione sara' (prendendo ad esempio il segno + per la prima e il - per la seconda):
X=(3x-2y)/sqrt(13),Y=-(2x+3y)sqrt(13) da cui si dovra' ricavare x ed y.
Ora puoi provare a fare da solo l'esercizio N° 7 che e' assai simile .
Se si vuole passare da un riferimento ortogonale ad uno non ortogonale le formule cambiano e di molto ( anche perche' in tal caso non ci si trova piu' di fronte a movimenti rigidi).
Archimede
Guarda la cosa sta così.
Supponiamo di voler passare da un riferimento ortogonale (x,y) ad un altro
(X,Y) in cui i due assi Y ed X siano rappresentati rispettivamente dalle rette perpendicolari:
a) ax+by+c=0 e b) bx-ay+c'=0
Allora sara' sufficiente porre :
X=(+-)(ax+by+c )/sqrt(a^2+b^2) , Y=(+-)(bx-ay+c')/sqrt(a^2+b^2) da cui occorrera' ricavare x e y in funzione
di X e Y ( il segno dipende dall'orientamento che si sceglie sugli assi).Queste formule
valgono qualunque sia l'origine del nuovo riferimento,coincidente o meno con l'origine
del vecchio riferimento.
Per esempio nell'esercizio N°3 l'asse Y deve essere la retta OA di equazione
3x-2y=0 e l'asse X sara' allora la perpendicolare ad essa per l'origine O e cioe'
2x+3y=0 .Quindi in tal caso la trasformazione sara' (prendendo ad esempio il segno + per la prima e il - per la seconda):
X=(3x-2y)/sqrt(13),Y=-(2x+3y)sqrt(13) da cui si dovra' ricavare x ed y.
Ora puoi provare a fare da solo l'esercizio N° 7 che e' assai simile .
Se si vuole passare da un riferimento ortogonale ad uno non ortogonale le formule cambiano e di molto ( anche perche' in tal caso non ci si trova piu' di fronte a movimenti rigidi).
Archimede
Esse valgono nel caso che l'origine sia punto fisso ( o unito) del movimento
altrimenti cambiano.
parli delle formule che ho scritto io?
Se è cosi, in che modo posso ottenere quelle che hai ottenuto tu?
ciauz
altrimenti cambiano.
parli delle formule che ho scritto io?
Se è cosi, in che modo posso ottenere quelle che hai ottenuto tu?
ciauz
Il calcolo di A si puoì fare anche come dici te.Io ho tenuto conto che
A,a trasformazione eseguita, sta sull'asse Y e dunque la sua ascissa e' nulla:X=0
Quanto alle formule che hai indicato si possono usare ma vanno corrette:
$x=+-(aX+bY)/(a^2+b^2),y=+-(bX-aY)/(a^2+b^2)$
Esse valgono nel caso che l'origine sia punto fisso ( o unito) del movimento
altrimenti cambiano.
Nel tuo caso l'asse Y deve coincidere ,a meno dell'orientamento, con la retta
OA di equazione $3x-2y=0$ e quindi a=3,b=-2.Sostituendo tali valori
nella trasformazione si ottengono,a meno del segno,le equazioni che ti ho
suggerito.
Archimede
A,a trasformazione eseguita, sta sull'asse Y e dunque la sua ascissa e' nulla:X=0
Quanto alle formule che hai indicato si possono usare ma vanno corrette:
$x=+-(aX+bY)/(a^2+b^2),y=+-(bX-aY)/(a^2+b^2)$
Esse valgono nel caso che l'origine sia punto fisso ( o unito) del movimento
altrimenti cambiano.
Nel tuo caso l'asse Y deve coincidere ,a meno dell'orientamento, con la retta
OA di equazione $3x-2y=0$ e quindi a=3,b=-2.Sostituendo tali valori
nella trasformazione si ottengono,a meno del segno,le equazioni che ti ho
suggerito.
Archimede
"archimede":
Provo col terzo.Le equazioni della rotazione richiesta (fare la figura!)
sono:
$x=Xcos(pi/2+alpha)-Ysin(pi/2+alpha) ,y=Xsin(pi/2+alpha)+Ycos(pi/2+alpha)$ dove $alpha$ e' l'angolo (contato in senso antiorario) del semiasse x positivo col vettore OA e dunque $tanalpha=3/2$.Sostituendo si ha:
(1) $x=(-3X-2Y)/(sqrt(13)),y=(2X-3Y)/(sqrt13)$
Per avere A in XY bastera' sostituire,ad esempio, nella prima delle (1) x=2 e X=0 e quindi:
$A(0,-sqrt13)$ e per avere l'equazione di s in XY bastera' sostituire le (1) nella
equazione data di s ottenendo:
$9X-7Y-4sqrt13=0$
Archimede
Ciao Archimede, grazie mille per la risposta
purtroppo alcune cose non le ho capite..
in particolare questo:
dove $alpha$ e' l'angolo (contato in senso antiorario) del semiasse x positivo col vettore OA e dunque $tanalpha=3/2$
Per la seconda parte: non è meglio sostiuire semplicemente in $x=(-3X-2Y)/(sqrt(13)),y=(2X-3Y)/(sqrt13)$ alle x e y del lato destro 2 e 3 (gli elementi di A) non capisco quello zero da dove sia saltato fuori
comunque grazie mille di nuovo..
edit:
ho trovato queste formule per il cambiamento di riferimento:
x= +- (bx+ay+c) / sqrt(a^2 + b^2)
e
y= +- (ax+by+c) / sqrt(a^2 + b^2)
Si possono applicare in questo caso?
Provo col terzo.Le equazioni della rotazione richiesta (fare la figura!)
sono:
$x=Xcos(pi/2+alpha)-Ysin(pi/2+alpha) ,y=Xsin(pi/2+alpha)+Ycos(pi/2+alpha)$ dove $alpha$ e' l'angolo (contato in senso antiorario) del semiasse x positivo col vettore OA e dunque $tanalpha=3/2$.Sostituendo si ha:
(1) $x=(-3X-2Y)/(sqrt(13)),y=(2X-3Y)/(sqrt13)$
Per avere A in XY bastera' sostituire,ad esempio, nella prima delle (1) x=2 e X=0 e quindi:
$A(0,-sqrt13)$ e per avere l'equazione di s in XY bastera' sostituire le (1) nella
equazione data di s ottenendo:
$9X-7Y-4sqrt13=0$
Archimede
sono:
$x=Xcos(pi/2+alpha)-Ysin(pi/2+alpha) ,y=Xsin(pi/2+alpha)+Ycos(pi/2+alpha)$ dove $alpha$ e' l'angolo (contato in senso antiorario) del semiasse x positivo col vettore OA e dunque $tanalpha=3/2$.Sostituendo si ha:
(1) $x=(-3X-2Y)/(sqrt(13)),y=(2X-3Y)/(sqrt13)$
Per avere A in XY bastera' sostituire,ad esempio, nella prima delle (1) x=2 e X=0 e quindi:
$A(0,-sqrt13)$ e per avere l'equazione di s in XY bastera' sostituire le (1) nella
equazione data di s ottenendo:
$9X-7Y-4sqrt13=0$
Archimede
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