Geometria

[jonnygo]

qualcuno mi saprebbe dare una definizione precisa di che cos'è una famiglia di vettori e che rapporti ha con i sottospazi?
grazie

[Sk_Anonymous]

Riporto la definizione che ho appreso a suo tempo. Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$. Allora un sottoinsieme $W$ di $V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se:

1) $0_V\inW$
2) $\forall\alpha,\beta\inW\ \ \alpha+\beta\inW$
3) $\forall\alpha\inW\,forall\lambda\inK\ \ \lambda*\alpha\inW$.

[remo2]

si ok...capito adesso che volevi dire

[Eredir]

"remo":no un attimo,qui non ti seguo...con ciò cosa vorresti dire scusa?

Se $\barV$ fosse un sottospazio allora $v_1+v_2$ apparterrebbe ancora a $\barV$.
Ad esempio prendo $\barV={(1,0),(0,1)}$ e faccio la somma $(1,0)+(0,1)=(1,1)$, ma chiaramente questo non è uno dei vettori di $\barV$.
Invece appartiene a $span(\barV)$, che è l'insieme formato dalle combinazioni lineari dei vettori di $\barV$.

[remo2]

no un attimo,qui non ti seguo...con ciò cosa vorresti dire scusa?

[Eredir]

"remo":si ok...deve rispettare il fatto che sia non vuoto,e deve essere uno spazio vettoriale risp a somma e prodotto di un numero reale in V

Se prendo $\barV={v_1,v_2}$ come fa $v_1+v_2$ a stare ancora dentro $barV$?
Ovviamente non accade, a meno che $v_1=v_2=0$.

[_Tipper]

Sì: diciamo che se $V$ è uno s.v. e $\bar{V} \subseteq V$, se ogni combinazione lineare di elementi di $\bar{V}$ sta in $\bar{V}$ allora $\bar{V}$ è un sottospazio di $V$.

[remo2]

si ok...deve rispettare il fatto che sia non vuoto,e deve essere uno spazio vettoriale risp a somma e prodotto di un numero reale in V

[remo2]

sul libro ho trovato questa definizione io,per lo meno...

[_Tipper]

Se è contenuto nello spazio $V$ vuol dire che è un sottoinsieme di $V$. Ad esempio, chi ti dice che in $\bar{V}$ ci sia il vettore nullo?

[remo2]

come no...se è contenuto nello spazio $V$...

[_Tipper]

No, $V$ segnato non è il sottospazio... Un sottospazio di $V$ potrebbe essere lo span di $\bar{V}$.

[remo2]

confermo,dove V segnato è il sottospazio...

[_Tipper]

Che io sappia una famiglia di vettori è un insieme di vettori. Se $V$ è uno spazio vettoriale, e $v_1, v_2, \ldots, v_n$ sono vettori di $V$, allora $\bar{V} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ è una famiglia di vettori e risulta $\bar{V} \subset V$...