Generazione di quaterne

gattomatto2
Salve,
osservando post recenti nella sezione "giochi" mi è venuta una idea per il problema che vi propongo.

Com'è noto l'ultimo teorema di Fermat ci dice che non è possibile trovare degli interi X, Y, Z tali da soddisfare l'equazione X^n+Y^n=Z^n per n interi maggiori o uguali a 3.

Però se si aggiunge un ulteriore intero W ciò è possibile, almeno per n=3. Cioè esistono degli interi positivi W, X, Y, Z tali da soddisfare l'equazione:

W^3+X^3+Y^3=Z^3 (1)

Ho scritto un breve programma in Fortran che cerca queste quaterne per W, X, Y compresi tra 1 e 1000. Eccone un paio di esempi:

W=1; X=6; Y=8; Z=9
W=15; X=20; Y=25; Z=30

Il problema che vi propongo è quello di cercare delle formule generatrici di quaterne di interi W(n), X(n), Y(n) e Z(n), per n intero, tali da soddisfare la (1). Io suggerirei di escludere dalla ricerca le formule banali che si ottengono considerando i multipli delle quaterne, come ad esempio:
W(n)=n; X(n)=6n; Y(n)=8n; Z(n)=9n

Un esempio esplicativo su ciò che intendo si ha per le terne pitagoriche X^2+Y^2=Z^2. Una soluzione classica è:

X(n)=n; Y(n)=(n^2-1)/2; Z(n)=(n^2+1)/2; per n dispari

altre soluzioni si possono trovare al link http://digilander.libero.it/salgam/

Questo è il codice del programma Fortran che ho realizzato e che pubblico qui per chiunque lo volesse migliorare o tradurre in altri linguaggi:

program quaterne
	integer(4) i,j,k,n,tot,res
	real(8) z
	n=3
	tot=1000
	do i=1,tot
		do j=i,tot
			do k=j,tot
				res=i**n+j**n+k**n
				z=exp(log((res+0d0))/(n+0d0))
				if (res-nint(z)**n==0) then
					write (*,*) i,j,k,nint(z)
				end if
			end do
		end do
	end do
end program


Aggiungo altre due cose:
1. nei tentativi che ho fatto fino ad ora non ho trovato alcuna formula generatrice di quaterne.
2. col programma postato ho visto che, per W, X, Y compresi tra 1 e 50, non ci sono quaterne del tipo W^5+X^5+Y^5=Z^5. C'è per caso qualcuno che si vuole sobbarcare la dimostrazione (o confutazione) della seguente congettura: non è possibile scomporre una quinta potenza di un intero nella somma di tre quinte potenze di interi

Buona ricerca, ciao

Risposte
Mistral2
quote:
Originally posted by gattomatto

Grazie alla cortesia di Mistral sono venuto in possesso della soluzione. E' effettivamente un po' lunghetta e anche assolutamente al di fuori delle mie capacità. Sono stato solo in grado di seguire per grandi linee il ragionamento del libro che riporterò compattato qui di seguito.
.....
spero di non aver commesso errori di battitura.

ciao a tutti

P.S. la prossima volta ci penserò su due volte prima di aprire un nuovo topic



Caspita ! complimenti!

Saluti

Mistral

gattomatto2
Grazie alla cortesia di Mistral sono venuto in possesso della soluzione. E' effettivamente un po' lunghetta e anche assolutamente al di fuori delle mie capacità. Sono stato solo in grado di seguire per grandi linee il ragionamento del libro che riporterò compattato qui di seguito. Innanzi tutto occorre dire che la soluzione è quella che prevede anche valori negativi per i termini dell'equazione:
(1) x^3+y^3+z^3=t^3
Per questo motivo si preferisce porre t=u e z=-v e scrivere la (1) nella forma:
(2) x^3+y^3=u^3+v^3
Il primo passo consiste nel porre:
x=X-Y; y=X+Y; u=U-V; v=U+V
Sostituento queste relazioni nella (2) dopo semplici passaggi si perviene all'equazione:
(3) X(X^2+3Y^2)=U(U^2+3V^2)
Nel caso in cui non siano contemporaneamente nulli X e Y (caso per il quale la (2) ammette soluzioni banali), la (3) si può anche scrivere come:
(4) X=U(U^2+3V^2)/(X^2+3Y^2)
o meglio come:
(5) X=U(U+V*sqrt(-3))(U-V*sqrt(-3))/((X+Y*sqrt(-3))(X-Y*sqrt(-3)))
Razionalizzando è facile dimostrare che, posti "a" e "b" numeri razionali, valgono le relazioni:
(6) (U+V*sqrt(-3))/(X+Y*sqrt(-3))=a+b*sqrt(-3)
(7) (U-V*sqrt(-3))/(X-Y*sqrt(-3))=a-b*sqrt(-3)
Sostituendo queste ultime due relazioni nella (5) si ottiene che:
(8) X=U(a^2+3b^2)
Inoltre dalla (6), ragruppando i termini che moltiplicano sqrt(-3), si ottengono le ulteriori relazioni:
(9) U=aX-3bY
(10) V=bX+aY
Sostituendo la (9) nella (8) si ottiene facilmente che:
(11) cX=dY
dove sono state effettuate le posizioni:
(12) c=a(a^2+3b^2)-1
(13) d=3b(a^2+3b^2)
Si verifica facilmente che per c=d=0 si ricade nel caso della soluzione banale e pertanto tale evenienza può scartarsi. Conseguentemente, affinché X e Y soddisfino la (11) e sufficiente che risultino:
(14) X=k*d=3kb(a^2+3b^2)
(15) Y=k*c=k[a(a^2+3b^2)-1]
con k diverso da zero.
Sostituendo le (14) e (15) nelle (9) e (10) si ottengono anche le espressioni di U e V in funzione di k, a e b.
Dati X, Y, U e V in funzione di k, a e b, e tenute in conto le posizioni inizialmente effettuate, si ottengono in funzione degli stessi tre parametri liberi anche x, y, u e v. La soluzione generale per la (2) è dunque:
x=k[1-(a-3b)(a^2+3b^2)]
y=k[(a+3b)(a^2+3b^2)-1]
u=k[(a+3b)-(a^2+3b^2)^2]
v=k[(a^2+3b^2)^2-(a-3b)]
dove a e b possono assumere qualunque valore, mentre k deve essere diverso da zero.
Aggiungo la soluzione fornita da Ramanujan alla (1) [non è generale]:
x=3a^2+5ab-5b^2
y=4a^2-4ab+6b^2
z=5a^2-5ab-3b^2
t=6a^2-4ab+4b^2
spero di non aver commesso errori di battitura.

ciao a tutti

P.S. la prossima volta ci penserò su due volte prima di aprire un nuovo topic

Mistral2
quote:
Originally posted by gattomatto

[quote]Originally posted by Mistral
......
Se ne avrai voglia e se lo riterrai opportuno, posta pure qui la soluzione del tuo libro [:)]

Ciao



Se mi maili ti mando il pezzo di libro [:)], poi se vuoi tu la posti

gattomatto2
quote:
Originally posted by Mistral
Ti assicuro che la soluzione nel libro che ho citato non è delle più facili, per intenderci non di quelle che proporrei dicendo "facile facile quando la scoprirete vi morderete la lingua", in genere quando lo faccio trovo da solo la soluzione, in questo caso probabilmente non ne sarei stato capace. Quindi mi sono permesso di segnalare la fonte della soluzione , comunque trovare una seconda soluzione alternativa lo metto nella lista delle cose da fare ok?



Bhe... se le cose stanno così allora mi arrendo [:)]. Poiché ero riuscito a trovare piuttosto facilmente una soluzione per il caso delle terne pitagoriche (sapevo comunque che le soluzioni esistevano ed erano semplici) avevo pensato, erroneamente, che l'estensione al caso in questione fosse solo di poco più difficile. L'unico accorgimento che ho adottato è stato quello di verificare col computer che il problema avesse effettivamente delle soluzioni. Non immaginavo che rispetto al caso delle terne pitagoriche il problema che ho proposto fosse parecchio più difficile.

Se ne avrai voglia e se lo riterrai opportuno, posta pure qui la soluzione del tuo libro [:)]

Ciao

Mistral2
quote:
Originally posted by gattomatto

Grazie per le info.
....
Anche tu Mistral... basta che non sbirci nel tuo libro. Io, a tempo perso, continuerò a giocare un po' con questo problemino. Sarà comunque divertente.

Ciao ciao



Ti assicuro che la soluzione nel libro che ho citato non è delle più facili, per intenderci non di quelle che proporrei dicendo "facile facile quando la scoprirete vi morderete la lingua", in genere quando lo faccio trovo da solo la soluzione, in questo caso probabilmente non ne sarei stato capace. Quindi mi sono permesso di segnalare la fonte della soluzione , comunque trovare una seconda soluzione alternativa lo metto nella lista delle cose da fare ok?

Saluti
Mistral

gattomatto2
Grazie per le info.

Comunque, per quanto riguarda le due quaterne che ho riportato nel precedente post tengo a precisare che non le ho "trovate" io ma il mio computer e sono, rispettivamente, la prima e l'ultima fornita dal computer nel momento che ho premuto il tasto "pausa". Le quaterne uscivano ad una velocità tale che non ho badato alla quaterna 3 4 5 e 6 che, comunque, il programma trova ugualmente (ho controllato). Certo che è divertente notare come la seconda quaterna che ho tirato fuori praticamente a caso sia un multiplo della quaterna 3 4 5 e 6: basta moltiplicare tutto per 5. Effettivamente ciò mi fa pensare che questa quaterna abbia effettivamente qualcosa di "esoterico" [:)]

Chi non possiede il libro di Mistral e volesse ugualmente cimentarsi nella risoluzione del problema proposto,
sarà ovviamente il benvenuto. Anche tu Mistral... basta che non sbirci nel tuo libro. Io, a tempo perso, continuerò a giocare un po' con questo problemino. Sarà comunque divertente.

Ciao ciao

Mistral2
quote:
Originally posted by gattomatto

Salve,
osservando post recenti nella sezione "giochi" mi è venuta una idea per il problema che vi propongo.

Com'è noto l'ultimo teorema di Fermat ci dice che non è possibile trovare degli interi X, Y, Z tali da soddisfare l'equazione X^n+Y^n=Z^n per n interi maggiori o uguali a 3.

Però se si aggiunge un ulteriore intero W ciò è possibile, almeno per n=3. Cioè esistono degli interi positivi W, X, Y, Z tali da soddisfare l'equazione:

W^3+X^3+Y^3=Z^3 (1)

Ho scritto un breve programma in Fortran che cerca queste quaterne per W, X, Y compresi tra 1 e 1000. Eccone un paio di esempi:

W=1; X=6; Y=8; Z=9
W=15; X=20; Y=25; Z=30

Il problema che vi propongo è quello di cercare delle formule generatrici di quaterne di interi W(n), X(n), Y(n) e Z(n), per n intero, tali da soddisfare la (1). Io suggerirei di escludere dalla ricerca le formule banali che si ottengono considerando i multipli delle quaterne, come ad esempio:
W(n)=n; X(n)=6n; Y(n)=8n; Z(n)=9n

Un esempio esplicativo su ciò che intendo si ha per le terne pitagoriche X^2+Y^2=Z^2. Una soluzione classica è:

X(n)=n; Y(n)=(n^2-1)/2; Z(n)=(n^2+1)/2; per n dispari
.......

Aggiungo altre due cose:
1. nei tentativi che ho fatto fino ad ora non ho trovato alcuna formula generatrice di quaterne.
2. col programma postato ho visto che, per W, X, Y compresi tra 1 e 50, non ci sono quaterne del tipo W^5+X^5+Y^5=Z^5. C'è per caso qualcuno che si vuole sobbarcare la dimostrazione (o confutazione) della seguente congettura: non è possibile scomporre una quinta potenza di un intero nella somma di tre quinte potenze di interi

Buona ricerca, ciao


Per tua info l'equazione W^3+X^3+Y^3=Z^3 è studiata e risolta completamente sul libro Hardy-Wright "An Introduction to the Theory of Numbers" Capitolo XIII paragrafo 13.7. La soluzione li riportata è di Eulero. Tra l'altro non hai trovato 3^3+4^3+5^3=6^3 che ha un che di cabalistico, tipo 3^2+4^2=5^2. Ovviamente ciò non toglie che chi vuole può cimentarsi nella propria soluzione della equazione Diofantea.
Mentre il problema delle quinte potenze che tu enunci è dato come irrisolto nel libro che ho citato sopra. Si noti che se si esculdono le soluzioni banali il problema equivale a trovare un numero che ha due rappresentazioni distinte come somma di due quinte potenze di numeri interi (quindi non necessariamente positivi!).

Saluti

Mistral

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