Fuochi ellisse.
Perchè, se questo è vero, i fuochi in un ellisse sono simmetrici rispetto all'origine del sistema di riferimento?
Perchè, in sostanza, le coordinate dei fuochi F e F' sono F (c; 0) e F'(-c; 0)?
Perchè, in sostanza, le coordinate dei fuochi F e F' sono F (c; 0) e F'(-c; 0)?
Risposte
Oppure si può definire come il punto medio del segmento avente per estremi i fuochi.
Effettivamente ho scritto male.
Non sono mai stato molto bravo nelle definizioni, ma volevo evitare di definire il centro tirandolo in ballo nella definizione.
Altrimenti, si potrebbe dire:
Il centro è il punto tale per cui, ogni retta passante per quel punto interseca l'ellisse in due punti ugualmente distanti da esso.
Oppure, può sempre essere definito come il centro di simmetria dell'ellisse:
Qualsiasi punto dell'ellisse simmetrico rispetto a C è ancora un punto dell'ellisse.
Non sono mai stato molto bravo nelle definizioni, ma volevo evitare di definire il centro tirandolo in ballo nella definizione.
Altrimenti, si potrebbe dire:
Il centro è il punto tale per cui, ogni retta passante per quel punto interseca l'ellisse in due punti ugualmente distanti da esso.
Oppure, può sempre essere definito come il centro di simmetria dell'ellisse:
Qualsiasi punto dell'ellisse simmetrico rispetto a C è ancora un punto dell'ellisse.
"Cheguevilla":
Per ogni coppia di punti dell'ellisse giacenti sulla stessa retta, C è equidistante da entrambi i punti.
Più banalmente, il centro di simmetria.
La retta deve passare anche per il centro, sennò non funziona.
Pensa alla retta passante per $(a,0)$ e $(0,b)$, in soldoni i punti dell'ellisse più a destra (il primo) e più in alto (l'altro).
Ciao.
"Chevtchenko":
[quote="turtle87"]il centro dell'ellisse.
Come lo definisci?[/quote]Per ogni coppia di punti dell'ellisse giacenti sulla stessa retta, C è equidistante da entrambi i punti.
Più banalmente, il centro di simmetria.
"turtle87":
il centro dell'ellisse.
Come lo definisci?
"turtle87":
Ho sbagliato a scrivere, avete ragione. Comunque intendevo il centro dell'ellisse, non ovviamente il centro del sistema di riferimento.
Però, non so se sono stato chiaro nell'esporre il mio dubbio. Io parto semplicemente dalla definizione di ellisse, quella che si basa sul fatto che due segmenti congiungenti un punto dell'ellisse con due fuochi abbiano la loro somma costante.
Cioè, lì mi dà per scontata questa simmetria, e quindi l'uguaglianza in valore assoluto dell'ascissa dei due fuochi (sempre in un ellisse avente per centro il centro del sistema di riferimento). E' questo che non capisco, perchè mi dia per scontata questa simmetria.
Nella parabola, ebbi la stessa impressione. Lì dava per scontato il fatto che l'ordinata del fuoco e della generatrice (per semplicità, mi riferisco sempre ad una parabola con vertice nell'origine del sistema di riferimento) avessero ordinate opposte. Anche se lì la considerazione di carattere intuitivo c'era: era la stessa appartenenza del vertice alla parabola che, riferendomi alla definizione, giustificasse il fatto che fuoco e generatrice avessero coordinate opposte. Qui non riesco a trovarla, magari sarà anche semplice, ma mi sfugge.
Vediamo se questo discorso ti sembra convincente.
Parti dai due fuochi e metti l'asse $x$ sulla retta che contiene i due fuochi. Metti l'origine nel punto medio tra i due fuochi (sull'asse $x$) e fai partire
l'asse $y$ in modo che sia perpendicolare all'asse $x$.
In questo modo i due fuochi hanno coordinate $(\pm c,0)$ per un opportuno $c$. Mi pare chiaro adesso che se un punto $(x,y)$ sta sull'ellisse,
cioè se la somma delle distanze dai fuochi è un assegnato $r$, allora tutti e quattro i punti $(\pm x,\pm y)$ sono sull'ellisse: puoi farti un disegno
o scrivere analiticamente la somma delle distanze dai fuochi ... se vuoi facciamo i conti, ma sono semplici.
Quindi l'asse $x$ e l'asse $y$ sono assi di simmetria per l'ellisse.
il centro dell'ellisse.
"turtle87":
Ho sbagliato a scrivere, avete ragione. Comunque intendevo il centro dell'ellisse, non ovviamente il centro del sistema di riferimento.
Però, non so se sono stato chiaro nell'esporre il mio dubbio. Io parto semplicemente dalla definizione di ellisse, quella che si basa sul fatto che due segmenti congiungenti un punto dell'ellisse con due fuochi abbiano la loro somma costante.
Cioè, lì mi dà per scontata questa simmetria, e quindi l'uguaglianza in valore assoluto dell'ascissa dei due fuochi (sempre in un ellisse avente per centro il centro del sistema di riferimento). E' questo che non capisco, perchè mi dia per scontata questa simmetria.
Permetti una domanda: che cosa chiami centro?
Ho sbagliato a scrivere, avete ragione. Comunque intendevo il centro dell'ellisse, non ovviamente il centro del sistema di riferimento.
Però, non so se sono stato chiaro nell'esporre il mio dubbio. Io parto semplicemente dalla definizione di ellisse, quella che si basa sul fatto che due segmenti congiungenti un punto dell'ellisse con due fuochi abbiano la loro somma costante.
Cioè, lì mi dà per scontata questa simmetria, e quindi l'uguaglianza in valore assoluto dell'ascissa dei due fuochi (sempre in un ellisse avente per centro il centro del sistema di riferimento). E' questo che non capisco, perchè mi dia per scontata questa simmetria.
Nella parabola, ebbi la stessa impressione. Lì dava per scontato il fatto che l'ordinata del fuoco e della generatrice (per semplicità, mi riferisco sempre ad una parabola con vertice nell'origine del sistema di riferimento) avessero ordinate opposte. Anche se lì la considerazione di carattere intuitivo c'era: era la stessa appartenenza del vertice alla parabola che, riferendomi alla definizione, giustificasse il fatto che fuoco e generatrice avessero coordinate opposte. Qui non riesco a trovarla, magari sarà anche semplice, ma mi sfugge.
Però, non so se sono stato chiaro nell'esporre il mio dubbio. Io parto semplicemente dalla definizione di ellisse, quella che si basa sul fatto che due segmenti congiungenti un punto dell'ellisse con due fuochi abbiano la loro somma costante.
Cioè, lì mi dà per scontata questa simmetria, e quindi l'uguaglianza in valore assoluto dell'ascissa dei due fuochi (sempre in un ellisse avente per centro il centro del sistema di riferimento). E' questo che non capisco, perchè mi dia per scontata questa simmetria.
Nella parabola, ebbi la stessa impressione. Lì dava per scontato il fatto che l'ordinata del fuoco e della generatrice (per semplicità, mi riferisco sempre ad una parabola con vertice nell'origine del sistema di riferimento) avessero ordinate opposte. Anche se lì la considerazione di carattere intuitivo c'era: era la stessa appartenenza del vertice alla parabola che, riferendomi alla definizione, giustificasse il fatto che fuoco e generatrice avessero coordinate opposte. Qui non riesco a trovarla, magari sarà anche semplice, ma mi sfugge.
"franced":
[quote="turtle87"]Perchè, se questo è vero, i fuochi in un ellisse sono simmetrici rispetto all'origine del sistema di riferimento?
Perchè, in sostanza, le coordinate dei fuochi F e F' sono F (c; 0) e F'(-c; 0)?
I fuochi sono simmetrici rispetto al centro dell'ellisse.
Se prendi ad esempio l'ellisse
$x^2+4y^2+2x-6y=0$
scoprirai che i fuochi non sono simmetrici rispetto all'origine del piano cartesiano.[/quote]
Si, immagino che questo fosse chiaro... I fuochi sono simmetrici rispetto al centro (e quindi hanno coodinate opposte il un riferimento che ha il centro come origine...)
"turtle87":
Perchè, se questo è vero, i fuochi in un ellisse sono simmetrici rispetto all'origine del sistema di riferimento?
Perchè, in sostanza, le coordinate dei fuochi F e F' sono F (c; 0) e F'(-c; 0)?
I fuochi sono simmetrici rispetto al centro dell'ellisse.
Se prendi ad esempio l'ellisse
$x^2+4y^2+2x-6y=0$
scoprirai che i fuochi non sono simmetrici rispetto all'origine del piano cartesiano.
Grazie Dorian, ma non credo di poter capire molte delle definizioni che adduci (oltre al fatto che non conosco le applicazioni e i metodi di risoluzione delle matrici).
Volevo però chiedere: è l'unico modo per dimostrare, partendo dalla stessa definizione di ellisse, che i fuochi sono simmetrici rispetto all'asse maggiore?
Non so se sono chiaro, ma ho avuto difficoltà simili (spesso davvero mi vergogno di me stesso) nel capire perchè in sostanza la retta generatrice della parabola avesse ordinata opposta a quella del fuoco, ma lì ho risolto, accontentandomene (quando studio matematica sono irrequieto fino a che non "mi faccio fesso in qualche modo", ma con raziocinio sia chiaro), accorgendomi che il vertice stesso della parabola appartiene alla parabola stessa (verificando quindi la definizione stessa di parabola come luogo dei punti equidistanti da fuoco e generatrice).
Volevo però chiedere: è l'unico modo per dimostrare, partendo dalla stessa definizione di ellisse, che i fuochi sono simmetrici rispetto all'asse maggiore?
Non so se sono chiaro, ma ho avuto difficoltà simili (spesso davvero mi vergogno di me stesso) nel capire perchè in sostanza la retta generatrice della parabola avesse ordinata opposta a quella del fuoco, ma lì ho risolto, accontentandomene (quando studio matematica sono irrequieto fino a che non "mi faccio fesso in qualche modo", ma con raziocinio sia chiaro), accorgendomi che il vertice stesso della parabola appartiene alla parabola stessa (verificando quindi la definizione stessa di parabola come luogo dei punti equidistanti da fuoco e generatrice).
E' vero. Basta pensare alla definizione di fuochi:
"Sia $C$ una conica non degenere del piano euclideo. Si chiamano fuochi di $C$ i punti di intersezione delle rette isotrope tangenti $C$"
...ricordando che si dicono isotrope le rette passanti per i punti ciclici.
Si scelga innanzitutto un riferimentento $P,v_1,v_2$ che canonizza la conica $C$. Previa quest'opportuna scelta, $C$ ha matrice:
$D=((-100),(0a0),(00b))$
Se consideriamo l'immersione canonica nello spazio proiettivo (attraverso la scelta di $r_oo: x_0=0$ retta impropria), i punti ciclici sono $A=((0),(1),(i))$ e $B=((0),(1),(-i))$. Una generica retta $r_A$passante per A ha coordinate pluckeriane:
$(k,-i,1)$
...e, similmente, una retta per $r_B$ per $B$:
$(k*,i,1)$ ($k=a+ib$, $k*=a-ib$)
condizione necessaria e sufficiente alla tangenza di $r_A$ è la seguente:
$(k,-i,1)D^-1((k),(-i),(1))=0$
mentre condizione necessaria e sufficiente alla tangenza di $r_B$ è:
$(k*,i,1)D^-1((k*),(i),(1))=0$.
Conclusione: $k=isqrt(1/a-1/b)$, quindi:
$r_1: ix-y=pmisqrt(1/a-1/b)$ e $r_2:pmix+y=isqrt(1/a-1/b)$
le intersezioni hanno coordinate affini:
$F_1=((sqrt(1/a-1/b)),(0))$ e $F_2=((-sqrt(1/a-1/b)),(0))$ (fuochi reali)
$F_3=((0),(-isqrt(1/a-1/b)))$ e $F_4=((0),(isqrt(1/a-1/b)))$ (fuochi immaginari).
Vediamo quindi che la simmetria discende da una questione di natura algebrica...
"Sia $C$ una conica non degenere del piano euclideo. Si chiamano fuochi di $C$ i punti di intersezione delle rette isotrope tangenti $C$"
...ricordando che si dicono isotrope le rette passanti per i punti ciclici.
Si scelga innanzitutto un riferimentento $P,v_1,v_2$ che canonizza la conica $C$. Previa quest'opportuna scelta, $C$ ha matrice:
$D=((-100),(0a0),(00b))$
Se consideriamo l'immersione canonica nello spazio proiettivo (attraverso la scelta di $r_oo: x_0=0$ retta impropria), i punti ciclici sono $A=((0),(1),(i))$ e $B=((0),(1),(-i))$. Una generica retta $r_A$passante per A ha coordinate pluckeriane:
$(k,-i,1)$
...e, similmente, una retta per $r_B$ per $B$:
$(k*,i,1)$ ($k=a+ib$, $k*=a-ib$)
condizione necessaria e sufficiente alla tangenza di $r_A$ è la seguente:
$(k,-i,1)D^-1((k),(-i),(1))=0$
mentre condizione necessaria e sufficiente alla tangenza di $r_B$ è:
$(k*,i,1)D^-1((k*),(i),(1))=0$.
Conclusione: $k=isqrt(1/a-1/b)$, quindi:
$r_1: ix-y=pmisqrt(1/a-1/b)$ e $r_2:pmix+y=isqrt(1/a-1/b)$
le intersezioni hanno coordinate affini:
$F_1=((sqrt(1/a-1/b)),(0))$ e $F_2=((-sqrt(1/a-1/b)),(0))$ (fuochi reali)
$F_3=((0),(-isqrt(1/a-1/b)))$ e $F_4=((0),(isqrt(1/a-1/b)))$ (fuochi immaginari).
Vediamo quindi che la simmetria discende da una questione di natura algebrica...
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