Funzioni per punti

[Benny24]

E' sempre possibile costruire una funzione per tre punti non allineati (nel piano cartesiano)? E per 4?

[adaBTTLS1]

sulle ordinate non credo che vadano imposte condizioni, a parte essere numeri reali (e quindi finiti).
non intendevo che la funzione dovesse essere monotòna, ma solo la successione delle ascisse, in modo che si possa fare un ordinamento dei punti che segua l'ordine naturale, per tracciare segmenti "non sovrapposti" (spero si capisca il senso), in modo che ad ogni x corrisponda un solo y. una funzione può essere oscillante, ma tipo senx, non tipo sen^(-1)(x) che non è una funzione in R.
ciao.

[Fioravante Patrone1]

"adaBTTLS":infatti le caratteristiche di Benny presuppongono una successione monotòna secondo l'ordinamento naturale, mentre la "numerazione" dei razionali nel processo di diagonalizzazione di Cantor non segue l'ordinamento naturale.
oserei dire che la successione di punti deve essere discreta, nel senso che non deve avere punti di accumulazione (questo naturalmente se vogliamo costruire il grafico della funzione in questo modo, cioè unendo mediante segmenti coppie successive di punti).

Ma Benny ha imposto condizioni solo sulle ascisse, non sulla ordinate (e, in realtà, la condizione che ha posto l'ha messa essenzialmente per dire che ha punti con ascisse distinte, dopo la precisazione di Tipper).

Comunque, penso anch'io che ci si debba limitare a punti non troppo appiccicati tra loro.

[Leonardo891]

"Fioravante Patrone":Credo che ci sia un problema, se i punti sono infiniti.
Se prendiamo i punti di ascissa razionale (di $RR$ o anche su $[0,1]$), non mi è chiaro se si può sempre fare.
Se ad esempio numero questi punti col procedimento diagonale di Cantor e ad ognuno di questi punti associo l'indice che li individua in questa numerazione, non mi è chiaro se la funzione così ottenuta si può estendere ad una funzione continua (su $RR$ o su $[0,1]$).

Forse imponendo la condizione aggiuntiva:
"L'insieme costituito dalle ascisse di questi punti deve essere un insieme di punti isolati" si dovrebbe poter fare in ogni caso (fermo restando che la successione di queste ascisse deve essere strettamente crescente, ovviamente).
Il caso da te esposto, invece, è molto interessante

Edit: Non avevo visto il post di Ada prima di postare

[adaBTTLS1]

infatti le caratteristiche di Benny presuppongono una successione monotòna secondo l'ordinamento naturale, mentre la "numerazione" dei razionali nel processo di diagonalizzazione di Cantor non segue l'ordinamento naturale.
oserei dire che la successione di punti deve essere discreta, nel senso che non deve avere punti di accumulazione (questo naturalmente se vogliamo costruire il grafico della funzione in questo modo, cioè unendo mediante segmenti coppie successive di punti).
naturalmene anche una funzione tipo quella di Dirichlet, definita solo per i razionali, può essere estesa con continuità a tutto R; anche se consideriamo una quantità non numerabile di punti (cioè a partire dagli irrazionali) vale la stessa cosa.
più in generale penso che non si possa dire molto.
chissà che non venga fuori qualche altra generalizzazione!
ciao.

[Fioravante Patrone1]

"Leonardo89":[quote="Benny"]Supponiamo di avere tre punti non allineati nel piano cartesiano $(x_a, y_a), (x_b, y_b)$ e $(x_c, y_c)$ con $x_a
Dovrebbe bastare "tracciare" una spezzata da un punto all'altro. Tale soluzione dovrebbe funzionare anche per un insieme finito di punti e, forse, anche per un insieme infinito numerabile di punti. Intendo punti con le caratteristiche date da Benny, ovviamente.
[/quote]
Credo che ci sia un problema, se i punti sono infiniti.
Se prendiamo i punti di ascissa razionale (di $RR$ o anche su $[0,1]$), non mi è chiaro se si può sempre fare.
Se ad esempio numero questi punti col procedimento diagonale di Cantor e ad ognuno di questi punti associo l'indice che li individua in questa numerazione, non mi è chiaro se la funzione così ottenuta si può estendere ad una funzione continua (su $RR$ o su $[0,1]$).

[adaBTTLS1]

prego!

[Benny24]

Grazie a tutti per le risposte, in particolare ad Ada che mi ha detto esattamente cosa cercare.

[adaBTTLS1]

sì, è giusto sia come dice Leonardo89 (a patto di seguire l'ordine dei punti, ovviamente, quindi in caso di successione numerabile le ascisse devono essere monotòne), sia come dice giacor86 (con quattro punti puoi trovare una cubica, o anche una quartica, se qualche punto lo immagini doppio, ...).
puoi cercare INTERPOLAZIONE o POLINOMI INTERPOLATORI (fa parte di Analisi Numerica). ciao.

[giacor86]

"Benny":Sì, è vero, dovevo essere più preciso nella mia richiesta.
Supponiamo di avere tre punti non allineati nel piano cartesiano $(x_a, y_a), (x_b, y_b)$ e $(x_c, y_c)$ con $x_a

Oppure per 3 punti passa una ed una sola parabola.

[Leonardo891]

"Benny":Supponiamo di avere tre punti non allineati nel piano cartesiano $(x_a, y_a), (x_b, y_b)$ e $(x_c, y_c)$ con $x_a
Dovrebbe bastare "tracciare" una spezzata da un punto all'altro. Tale soluzione dovrebbe funzionare anche per un insieme finito di punti e, forse, anche per un insieme infinito numerabile di punti. Intendo punti con le caratteristiche date da Benny, ovviamente.
Almeno penso. Ditemi se ho detto una scemenza.

[_Tipper]

Disegna nel piano i tre punti, poi congiungi $(x_a, y_a)$ con $(x_b, y_b)$, poi $(x_b, y_b)$ con $(x_c, y_c)$. Quello è il grafico di una funzione continua. Se vuoi poi puoi prolungarla a destra di $x_c$ e a sinistra di $x_a$...

[Benny24]

Sì, è vero, dovevo essere più preciso nella mia richiesta.
Supponiamo di avere tre punti non allineati nel piano cartesiano $(x_a, y_a), (x_b, y_b)$ e $(x_c, y_c)$ con $x_a

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[_Tipper]

No. Basta prendere due punti con la stessa ascissa ma diversa ordinata.